ВВЕДЕНИЕ. Цель работы: опытная проверка расчета частоты колебания тела на пружине

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЫ

КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА НА ПРУЖИНЕ

Цель работы: опытная проверка расчета частоты колебания тела на пружине.

Принадлежности: штатив с масштабной линейкой, пружи­на, чашечка, разновески, секундомер.

Вопросы, знание которых обязательно для допуска к выполнению работы

1. Какие колебания называются гармоническими? Напишите уравнение гармонических колебаний.

2. Что называется амплитудой, частотой, периодом, фазой гармонического колебания?

3. Как связаны между собой период, частота, циклическая частота?

4. Две колеблющиеся материальные точки имеют одинаковые (раз­ные) фазы. Что это означает?

5. Как выражаются скорость и ускорение при гармоническом колебании?

6. Что называется квазиупругой силой? Приведите примеры.

7. Что называется коэффициентом жесткости пружины?

8. От каких параметров пружины зависит коэффициент жест­кости?

9. От чего и как зависит частота колебания тела на пружине?

10. Расскажите порядок выполнения работы.

ВВЕДЕНИЕ

Тело, подвешенное на пружине и выведенное из по­ложения равновесия, совершает гар­монические колебания. Гармоническими называются колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса и косинуса. Для механичес­ких колебаний это означает, что смещение тела х от положения рав­новесия происходит по закону:

х = х₀ Ч sin (wЧt + j), (1)

где х₀ - амплитуда (максимальное отклонение от положения равновесия), w = 2ЧpЧn = - циклическая частота (n - час­тота колебания; Т - период); t - время, в течение которого совершается колебательный процесс; j - начальная фаза; (wЧt + j) - фаза колебания, определяющая состояние системы в момент времени t.

Рассмотрим пружинный маятник (рис. 1), состоящий из легкой пружины, имеющей достаточно большое число витков, и тела массой m. Если оттянуть тело маятника строго вертикально вниз на небольшое расстояние и отпустить, то маятник начнет совершать колебания только вдоль вертикальной линии (колебания с одной степенью свободы). Колебание тела на пружине в вертикальном направлении происходит под действием двух сил: силы тяжести и упругой силы пружины. При отклонении маятника из положения равновесия будет возникать внутренняя возвращающая сила упругости, направленная к точке равновесия. Если величина отклонения маятника мала (много меньше первоначальной длины маятника), можно воспользоваться законом Гука:

F = – k×x, (2)

где k - коэффициент жесткости пружины, зависящий от ее геометрических размеров и материала, из которого она изготовлена. По второму закону Ньютона:

F = m×a = – k×x; .

Тогда уравнение гармонических колебаний получим в виде:

. (3)

Общее решение этого уравнения имеет вид:

. (4)

Действительно:

, (5)

. (6)

Подставляя в левую часть уравнения (3) выражение (6), а в правую - значение х из (4), приходим к тождеству, что означает правильность выбора решения в виде уравнения (4).

Из уравнений (4) и (1) следует, что циклическая частота колебаний зависит от коэффициента жесткости пружины и массы колеб­лющегося тела:

. (7)

Значение начальной фазы определяется в каждом конкретном случае из начальных условий.

Обобщая вывод, сделанный выше, можно утверждать, что гар­монические колебания будут совершаться и при действии на тело силы любой природы, лишь бы она подчинялась уравнению (2). Си­лы или результирующие силы, хотя и неупругие, но подчиняющие­ся уравнению (2), называются квазиупругими. Примером такой си­лы является результирующая двух сил (силы тяжести и силы натяжения нити), возникающая при отклонении пружинного маятника из положения равновесия.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Для расчета частоты колебаний груза на пружине необходи­мо определить массу этого груза m и коэффициент жесткости пружины k. Кроме того, нужно быть уверенным, что коэффициент k будет постоянным в достаточно широком диапазоне наг­рузок и деформации пружины.

1. Определение коэффициента k.

Определим k через приращение силы df и приращение смещения dx:

k =dF/dx.

Для этого на чашечку, подвешенную к пружине, следует класть гирьки так, чтобы нагрузка увеличивалась каждый раз на 20 г, и, соответственно, производить отсчет x_i положений чашечки и пружины.

Растяжение пружины отмечают с помощью указателя (горизонтального кусочка проволоки, укрепленного в нижней части пружины). Для избежания ошибок из-за параллакса используют зер­кальную шкалу. Для правильного отсчета показаний глаз следует расположить на такой высоте, чтобы указатель совпал со своим изображением в зеркале, укрепленном рядом со шкалой. Затем, не изменяя положения головы, производят отсчет по шка­ле.

По разности x_i до и после нагрузки определяют dx для соответствующей нагрузки: dF = dmg.

Чтобы убедиться, что не произошло неупругих деформаций пружины, необходимо произвести отсчеты и при уменьшающейся нагрузке. Если при разных нагрузках значения коэффициента k в пределах по­грешности получаются одинаковыми, то закон Гука выполняется во всем диапазоне нагрузок. В этом случае можно определить среднее значение k.

2. Измерение массы груза.

Масса груза выбирается произвольно. Обычно это чашечка со свинцовой отливкой, к которой можно добавить произвольное число гирек. При подборе массы груза, для которого будет производиться расчет частоты колебаний (причем частота будет проверяться экспериментально), следует учесть, что чем больше масса груза, тем меньше частота. Но при большом количестве гирек при колебаниях они могут выпасть из чашечки.

3. По формуле (7) рассчитать циклическую частоту (при расчете обратите внимание на систему единиц).

4. Результаты измерений занесите в таблицу, определите от­носительную и абсолютную погрешности w.

Таблица

№ п/п	m, кг	xi, м	dxi, м	k, H/м	w, 1/c	wў, 1/c
	0.02
	0.04
	0.06
	0.08
	0.10
	0.12
	0.10
	0.08
	0.06
	0.04
	0.02
Среднее значение

5. Необходимо экспериментально проверить рассчитанную циклическую частоту wў. Для этого с помощью секундомера определяют вре­мя t числа N полных колебаний, откуда

Опыт выполняется следующим образом. На чашечке устанав­ливают тот же груз, для которого по формуле (7) был произве­ден расчет w. Слегка оттянув чашечку (строго вертикально вниз), приводят груз в ко­лебание. Измерение времени не рекомендуется начинать с момен­та запуска. После нескольких качаний, усвоив темп счета, запускают секундомер в момент, когда груз занимает крайнее нижнее по­ложение (либо крайнее верхнее). В момент запуска секундомера начинают счет колебаний с цифры "ноль" (а не "раз"). Для одно­го и того же числа полных колебаний N (N і 20) определяют время колебаний t не менее трех раз. При этом не обязатель­но каждый раз останавливать чашечку с грузом, а затем снова ее запускать. Расхождение в измеренных промежут­ках времени не должно сильно превышать погрешность секундомера (Dt = 0.2 с). Кроме того, если обнаружится расхож­де­ние во времени t больше, чем t /N, это озна­чает, что при подсчете числа колебаний допущен просчет.

По измеренным t найти t_ср. Используя t_сp и число полных колебаний N, определите Т и wў.

6. Сравните результаты для w и w' с учетом их абсолютных погрешностей.

7. Рассчитайте массу чашечки. Поясните, как вы это сделали.

Для получения зачета необходимо

1. Продемонстрировать умение экспериментально определять час­тоту колебаний тела на пружине.

2. Представить отчет по установленной форме.

3. Уметь отвечать на вопросы типа:

а) К пружине с жесткостью k подвешено тело массой m. Затем пружина перерезается пополам и к одной из ее половин снова подвешивается то же тело. Будет ли частота колебаний пружины одинакова в первом и во втором случаях? Если нет, то как будут относиться друг к другу обе частоты? Рассмотрите три случая: m_пр >> m, m_пр << m, m_пр @ m.

б) Поясните, как можно сравнить между собой массы тел, измеряя частоты колебаний этих масс, подвешенных к пружине.

в) Поясните качественно, как изменится период колебаний пружины, если учесть ее массу m?

г) Железная и медная проволоки одинаковых размеров висят в вертикальной плоскости. Нижние концы проволок прикреп­лены к горизонтальному стержню. Сохранится ли горизонтальность стержня, если к его середине прикрепить груз?

1. Что такое колебание? Какие колебательные движения вы знаете?

2. При каких условиях возникают гармонические колебания?

3. Что можно оказать о напряжении в металлическом бруске:

а) движущемся равномерно, а потом ускоренно в горизонтальном направлении?

б) вращающемся вокруг вертикальной оси?

в) свободно падающем?

4. Во сколько раз изменится частота колебаний автомобиля на рессорах после принятия груза, равного массе порожнего автомобиля?