Материалы к самостоятельному изучению темы
«Применение производной»
І. Исследование функций и построение графиков.
Схема исследования:
- Найти область определения функции: Д(у).
Определение: Д(у) – это область допустимых значений переменной Х, при которых функция имеет смысл.
- Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы:
.
- Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
Определение: Функция у = f (x) называется четной, если для любых значений х из Д(у) выполняется условие f (-x)= f (x).
Определение: Функция у = f (x) называется нечетной, если для любых значений х из Д(у) выполняется условие f (-x)= -f (x).
Определение: Функция у = f (x) называется общего вида (ни четной, ни нечетной), если для любых значений х из Д(у) f (-x)≠ -f (x) и f (-x)≠ f (x).
При построении графиков учесть, что график четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной – относительно начала координат.
Определение: Функция у = f (x) называется периодичной с периодом Т ≠ 0, если для любых значений х из Д(у) выполняется условие f (x+Т)= f (x).
- Найти точки пересечения с осями координат (если это возможно элементарным путем):
а) с осью ОХ: у=0, вычисляем х
б)с осью ОУ: х=0, вычисляем у.
5. Найти все асимптоты графика функции.
Определение: Асимптотой графика функции у = f (x) называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.
Виды асимптот:
1) горизонтальная асимптота
Пример:
 |  | ||
Определение: Кривая у = f (x) имеет горизонтальную асимптоту у = b только в том случае, когда существует конечный предел функции 
.
Замечание: Если конечен только один из пределов 
или 
, то функция имеет лишь левостороннюю 
или правостороннюю 
горизонтальную асимптоту.
2) вертикальная асимптота
Пример:
 |
Определение: Кривая у = f (x) имеет вертикальную асимптоту 
, если хотя бы один из пределов 
или 
равен бесконечности.
Замечание: 1. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции у = f (x) или на концах ее области определения.
2. Если функция непрерывна в точке 
, то в точке вертикальных асимптот быть не может.
3) наклонные асимптоты:
Определение: Кривая у = f (x) имеет наклонную асимптоту 
, если существуют конечные пределы: 
Замечание: 1.Если при вычислении k=0, то у = b – горизонтальная асимптота.
2.Следует отдельно рассматривать случаи 
.
- Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
Определение: Функция у = f (x) называется возрастающей на промежутке 
, если для любых значений 
и 
из этого промежутка из неравенства 
вытекает неравенство 
(т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции).
Определение: Функция у = f (x) называется убывающей на промежутке , если для любых значений и из этого промежутка из неравенства вытекает неравенство 
(т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).
Возрастающая и убывающая – это строго монотонные функции.
Определение: Функция у = f (x) называется неубывающей на промежутке , если для любых значений и из этого промежутка из неравенства вытекает неравенство 
.
Определение: Функция у = f (x) называется невозростающей на промежутке , если для любых значений и из этого промежутка из неравенства вытекает неравенство 
.
Невозрастающая и неубывающая - это монотонные функции.
Теорема (достаточное условие возрастания функции)
Если производная функции у = f (x) положительная внутри некоторого промежутка, то в этом промежутке функция возрастает.
Теорема (достаточное условие убывания функции)
Если 
внутри некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.
Интервалы возрастания и убывания функции – это интервалы монотонности.
Экстремумы функции – это значение функции в точках экстремума.
Точки экстремума – это точки максимума и минимума.
Определение: Точка 
называется точкой максимума функции у = f (x), если в некоторой открытости точки выполняется неравенство 
.
Определение: Точка - называется точкой минимума функции у = f (x), если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство: 
.
Теорема 1(необходимое и достаточное условие экстремума)
Для того чтобы точка являлась точкой максимума необходимым и достаточным является выполнение двух условий:
- - должна являться критической точкой (критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или совсем не существует);
- при переходе через точку производная меняет свой знак с «+» на «–».
Теорема 2(необходимое и достаточное условие экстремума)
Для того чтобы точка являлась точкой минимума необходимым и достаточным является выполнение двух условий:
1. - должна являться критической точкой (критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или совсем не существует);
2. при переходе через точку производная меняет свой знак с «–» на «+».
Схема нахождения интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции.
- Найти
(х). - Найти критические точки.
- Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
- Сделать вывод об интервалах возрастания и убывания функции, о наличии точек экстремума и найти экстремумы функции.
Примечание: Данное задание удобно выполнять с помощью таблицы:
Пусть 
- критические точки, причем 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
| + | + | – | + | |||
| 
| - |
| 
| 
| 
| 
|
| нет экстремума | max | min |
7. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости вверх и вниз.
Определение: В некотором интервале кривая у = f (x) называется выпуклой вверх(выпуклой), если она лежит выше касательной проведенной в любой ее точке.
Определение: В некотором интервале кривая у = f (x) называется выпуклой вниз (вогнутой), если она лежит ниже касательной проведенной в любой ее точке.
Определение: Точка перегиба - это точка на кривой, в которой меняется направление её выпуклости.
Теорема (условия перегиба)
Точка - будет являться точкой перегиба, если выполняются следующие условия:
1. 
.
2. При переходе через точку 
меняет свой знак. Причем, если:
– в некотором интервале 
, то кривая вогнута 
,
– в некотором интервале 
, то кривая выпукла 
.
Схема нахождения интервалов выпуклости и вогнутости:
1. Найти 
.
2. Найти точки, в которых 
или не существует.
3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек.
Сделать вывод.
4. Найти значение функции в точках перегиба.
Таблица для выполнения 7 задания:
| 
| 
| 
| 
| 
|
| – |  =0
| + |  =0
| + |
| 
| 
| 
|
| 
|
8. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования. При необходимости следует найти дополнительно несколько точек графика функции.
