Відокремлення змінних в рівнянні Лапласа в полярних координатах. Власні функції оператора Лапласа на одиничному колі. Задача Діріхле для круга

Відокремлення змінних в рівнянні Лапласа в сферичних координатах. Сферичні функції як власні функції оператора Лапласа на одиничній сфері. Частинні розв’язки та загальний розв'язок рівняння Лапласа в сферичній СК.

Відокремлення змінних в рівнянні Гельмгольца в полярних координатах. Диференціальне рівняння Бесселя та його розв'язки. Частинні розв'язки рівняння Гельмгольца в полярних координатах.

26. Відокремлення змінних в рівнянні Гельмгольца в сферичних координатах. Сферичні функції Бесселя. Частинні розв'язки рівняння Гельмгольца в сферичних координатах.

27. Диференціальні рівняння для спеціальних функцій, загальні властивості. Особливі точки диференціальних рівнянь. Поведінка розв’язків диференціального рівняння в околі особливої точки. Постановка крайових задач для диференціальних рівнянь з особливими точками. Підібрати конкретні приклади з курсу.

Диференціальне рівняння Бесселя. Поведінка розв’язків при малих і великих значеннях аргументу (якісний аналіз рівняння). Розв'язок у вигляді узагальненого степеневого ряду. Функція Бесселя, графіки функцій Бесселя.

29. Фундаментальна система розв’язків рівняння Бесселя. Частинні випадки та графіки функцій Бесселя.

30. Ортогональні системи функцій, побудовані з функцій Бесселя. Обчислення квадрата норми.

31. Перша й друга інтегральні формули Гріна та наслідки з них. Теореми єдиності розв’язку задач Діріхле та Неймана.

32. Загальні властивості власних функцій оператора Лапласа. Ортогональність функцій Бесселя як наслідок властивостей оператора Лапласа. Метод розкладання за власними функціями в просторових задачах. Узагальнення результатів на еліптичні оператори більш загального вигляду.

33. Інтегральне представлення Бесселя. Твірна функція.

34. Асимптотичний вигляд функцій Бесселя при великих значеннях аргументу. Фізична інтерпретація циліндричних функцій як циліндричних хвиль.

35. Наближення функції рядом при великих значеннях аргументу. Поняття про асимптотичні ряди.

36. Модифіковані функції Бесселя.

Поліноми Ерміта. Твірна функція, диференціальна формула, елементарні властивості та графіки. Диференціальне рівняння для поліномів Ерміта. Ортогональність і норма. Одновимірний квантовий гармонічний осцилятор і функції Ерміта, графіки хвильових функцій осцилятора.

38. Поліноми Лагерра ((на самостійне вивчення –електронний конспект, Тихонов і Самарский)). Функції Гаусса-Лагерра. Квантовомеханічні задачі, розв’язки яких виражаються через поліноми Лагерра.