Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних (ДРЧП), рівняння гіперболічного, параболічного й еліптичного типів, приведення їх до канонічного вигляду

МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ - 2011 рік

Перелік запитань для підготовки до іспиту

Хвильове рівняння та його властивості, хвильове поле. Фізичні системи, що описуються хвильовим рівнянням: одновимірне пружне середовище, коливання струни, приклади з механіки суцільного середовища та електродинаміки. Фізичний смисл хвильового поля, його похідних та хвильового рівняння.

Рівняння в частинних похідних (РЧП) і задача для РЧП. Класичний розв’язок диференціального рівняння. Коректно поставлена задача для РЧП, приклади некоректно поставлених задач з курсу. Перша крайова задача для хвильового рівняння на відрізку, межові та початкові умови, вимоги до розв’язку задачі. Дані задачі й вимоги до них. Межові умови I, II і III роду та їх фізичний смисл у різних моделях, однорідні й неоднорідні межові умови. Фізична постановка задачі та співвідношення між фізичною і математичною постановками.

Поле в резонаторі. Основна допоміжна задача методу відокремлення змінних. Алгоритм відокремлення змінних, задача Штурма-Ліувілля, власні моди та їх фізичний смисл. Моди найпростіших одновимірних резонаторів, перевірка правильності знаходження власних функцій, використання осциляційної теореми.

Задача про вільні коливання поля в резонаторі при заданих початкових умовах. Постановка, загальний розв’язок і формальне задоволення початкових умов. Ортогональність власних функцій задачі Штурма-Ліувілля. Ряд Фур’є за системою ортогональних функцій.

Рівняння теплопровідності. Дифузія на прямій, рівняння дифузії і теплопровідності, їх можливі узагальнення.

Постановка задач для рівняння теплопровідності, загальні властивості розв’язків.

Рівняння Лапласа і Пуассона. Фізичні системи, що описуються цими рівняннями. Задачі Діріхле і Неймана.

Принцип суперпозиції в лінійних задачах МФ: поле і його джерела, характер зв’язку між ними. Розкладання розв’язку на складові за видами джерел поля, зведення загальної задачі до задач з окремими видами джерел. Методи розв’язання задач математичної фізики як варіанти реалізації принципу суперпозиції (самостійно підібрати приклади з практичних занять).

Метод частинних розв'язків, взаємозв'язки між задачами з різними видами джерел, перетворення одних задач в інші. Приклади застосування.

Метод розкладання за власними функціями, нормальні координати поля. Два варіанти реалізації на прикладі задачі з неоднорідним рівнянням і задачі з неоднорідними межовими умовами для хвильового рівняння на відрізку. Метод розкладання за власними функціями у багатовимірних задачах (див. §32).

Метод характеристик. Загальний розв’язок одновимірного хвильового рівняння та його фізична інтерпретація як суперпозиції хвиль з протилежними напрямками поширення, основні властивості хвиль в даній моделі та їх причини. Модова і хвильова картини поля.

Задача про вільні коливання нескінченної струни. Постановка задачі, формула Даламбера, її фізична інтерпретація, фазова площина, характеристичний трикутник, причинність, поняття про світловий конус.

Збереження парності для нескінченної струни і метод непарного продовження для напівнескінченної струни, його застосування до інших рівнянь і задач, приклади (підібрати самостійно).

Використання загального розв’язку хвильового рівняння у вигляді суперпозиції зустрічних хвиль до задач для напівнескінченної струни: про поширення межового режиму і про відбивання імпульсів(частково за матеріалами практичних).

Інтегральне перетворення Фур’є та його властивості. Приклад застосування: задача про поширення тепла на необмеженій прямій, особливості її постановки та розв’язок у вигляді інтеграла Фур’є.

Представлення розв'язків деяких одновимірних задач через функцію Гріна (ФГ). ФГ одновимірної задачі про поширення тепла на необмеженій прямій, її фізичний смисл та властивості. Поняття про - функцію (формальне означення і властивості) та узагальнений розв'язок. Приклади ФГ одновимірних задач, розв’язаних методом відокремлення змінних і методом характеристик. Представлення розв’язку задачі з неоднорідним рівнянням через ФГ.

Інтегральне перетворення Лапласа і його властивості. Означення і механізм дії на прикладі функції, аналітичні властивості зображення, приклади зображень окремих функцій. Спільне й відмінне між перетвореннями Лапласа і Фур’є, зв’язок між ними.

18. Приклад застосування перетворення Лапласа: крайові задачі з неоднорідними межовими умовами. Метод Дюамеля, поверхневі функції Гріна.

Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних (ДРЧП), рівняння гіперболічного, параболічного й еліптичного типів, приведення їх до канонічного вигляду.

Приведення до простішого вигляду лінійних ДРЧП другого порядку зі сталими коефіцієнтами, 5 лінійних рівнянь з двома змінними, які не зводяться до простіших. Приведення рівнянь до самоспряженого вигляду.

21. Властивості ортонормованої послідовності функцій, ряд Фур’є за системою ортогональних функцій, нерівність Бесселя, замкненість і повнота ортогональної системи функцій. Достатні умови збіжності ряду Фур’є даної функції до тієї ж функції.

22. Одновимірна задача Штурма-Ліувілля. Її походження (механічна модель, квантова механіка), загальна постановка, обмеження на коефіцієнти і їх фізичний смисл. Встановлення співвідношення ортогональності, загальні властивості власних функцій і власних значень.