Развитие математического анализа в XVIII веке

Одной из характерных черт развития математического анализа в XVIII веке, было разветвление на несколько наук: дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, в свою очередь расчленившейся на учение об обыкновенных дифференциальных уравнениях и об уравнениях в частных производных, вариационного исчисления, теории специальных функций, начал теории функций комплексного переменного. Выделяется также учение о бесконечных рядах. В рамках дифференциального и интегрального исчисления в качестве нового отдела вырастает анализ функций многих переменных.

Ниже приведен вклад в развитие математики четырех самых выдающихся ученых XVIII столетия.

Даниил Берну́лли (1700–1782), швейцарский физик-универсал и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики, сын Иоганна Бернулли. Академик и иностранный почетный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского Королевского общества (1750). Более всего Даниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теории дифференциальных уравнений — его считают, наряду с д’Аламбером и Эйлером, основателем математической физики. утверждением, что причиной давления газа является тепловое движение молекул. В своей классической «Гидродинамике» он вывел уравнение стационарного течения несжимаемой жидкости (уравнение Бернулли), лежащее в основе динамики жидкостей и газов. С точки зрения молекулярной теории он объяснил закон Бойля – Мариотта.

Бернулли принадлежит одна из первых формулировок закона сохранения энергии (живой силы, как тогда говорили), а также (одновременно с Эйлером) первая формулировка закона сохранения момента количества движения (1746). Он много лет изучал и математически моделировал упругие колебания, ввел понятие гармонического колебания, дал принцип суперпозиции колебаний.

В математике опубликовал ряд исследований по теории вероятностей, теории рядов, численным методам и дифференциальным уравнениям. Он первый применил математический анализ к задачам теории вероятностей (1768), до этого использовались только комбинаторный подход. Бернулли продвинул также математическую статистику, рассмотрев с применением вероятностных методов ряд практически важных задач.

Первое место в разработке дифференциального и интегрального исчисления, как и всего анализа в целом, принадлежало в течение почти пятидесяти лет рассматриваемой эпохи Леонарду Эйлеру (1707–1783) – математику, механику, физику и астроному, академику Петербургской АН (1726–1741 гг. и с 1766 г.), с Эйлер 1741 по 1766 гг. работал в Берлинской АН. Он обладал феноменальной трудоспособностью, его научные интересы относились ко всем областям естествознания. В 1736 г. вышел трактат Эйлера по механике, в котором он впервые изложил динамику точки с помощью математического анализа и ввел силы инерции. Он является одним из основоположников дифференциального и интегрального исчисления, а также вариационного исчисления. В книге «Корабельная наука» (1749) заложил основы теории колебаний и теории устойчивости. Эйлер является автором около 850 научных трудов.

Жан Лерон д’Аламбер (1717–1783) – французский ученый-энцикло­педист. Широко известен как философ, математик и механик. Член Парижской академии наук (1740), Французской Академии (1754), Петербургской (1764) и других академий. В 1743 г. вышел «Трактат о динамике», где сформулирован фундаментальный «Принцип д’Аламбера», сводящий динамику несвободной системы к статике. Здесь он впервые сформулировал общие правила составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем.

Основные математические исследования д’Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений, где он дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных, описывающего поперечные колебания струны (волнового уравнения).

Выдающийся вклад д’Аламбер внес также в небесную механику. Он обосновал теорию возмущения планет и первым строго объяснил теорию предварения равноденствий и нутации.

Одной из основных проблем, которую разрешали крупнейшие математики XVIII в., была теория движения Луны. Ее разработка имела глубокое теоретическое значение и была важна для практики. Практическое значение этой теории было связано с созданием метода достаточно точного определения географической долготы мест. В основном теория движения Луны была создана в середине века Л. Эйлером, Алексисом Клодом Клеро (1713–1765) и д’Аламбером. В ряде мемуаров 1747–1756 гг. д’Аламбер независимо от своих двух великих современников дал теорию движения Луны с тщательно вычисленными таблицами, которые он постепенно уточнял и улучшал. В трактате, вышедшем в свет в 1749 г., д’Аламбер показал, что не только явление прецессии, ранее математически исследованное Ньютоном, но и явление нутации, незадолго до этого обнаруженное Брадлеем, обусловлены гравитационным воздействием Луны.

Жозеф Луи Лагранж (1736–1813). Великий математик и механик. Родился в Турине, окончил Туринский университет и в 17 лет начал преподавать в Артиллерийской школе в Турине, а в 19 лет стал ее профессором. В 1766 году перебирается в Берлин и становится президентом Берлинской АН вместо вернувшегося в Петербург Эйлера. Берлинский период был самым плодотворным в творчестве Лагранжа. Там он подготовил свою знаменитую «Аналитическую механику», которая была опубликована 1788 году уже после того, как автор перебрался в Париж. Во Франции Лагранж ведет активную преподавательскую работу, а также решает и практические задачи.