Теорема 11

Доказательство. Докажем, что x(n) = возрастает и ограничена сверху.

Члены x (n) меньше соответствующих членов x (n+1), к тому же в x (n+1) имеется на один член больше. Из этого следует, что x (n)< x (n+1). То есть x(n) возрастающая.

С другойстороны

Изэтогоследует, что существуети его обозначают е.

Утверждение. = е ^-1.

Утверждение. = е ^k.

Утверждение. Пусть . Тогда

 

В книге [2]: лекция 7, стр. 48-50.

6. В книге [2]: лекция 8, стр. 52-53.

7. В книге [2]: лекция 8, стр. 54.

8. В книге [2]: лекция 6, стр. 43-45; лекция 8, стр. 55.

9. В книге [2]: лекция 6, стр. 43-45; лекция 7, стр. 46-48.

 

Задачи

 

1. Пусть B – непустое ограниченное множество вещественных чисел, b = supB и bÏB. Доказать, что b является предельной точкой множества B.

2. Пусть { x _n} – бесконечно малая последовательность неотрицательных вещественных чисел. Доказать, что ∀m ∈ N ∃ бесконечно много номеров n ≥ m таких, что x _n£ x _m.

3. Доказать, что если х > — 1, то справедливо неравенство (неравенство Бернулли)

(1 + x) ⁿ ³ 1 + nх, n > 1,

причем знак равенства имеет место лишь при х = 0.

4. Доказать, что последовательность убывает и ограничена снизу. Следовательно, она имеют общий предел c .

3. Доказать, чтоlim_n→∞ n ^k/2 ⁿ = 0, lim_n→∞n(a ^1/n− 1) = ln a, a > 0.

4. Пусть lim_n→∞ x _n = +∞. Доказать, что lim_n→∞(x₁+···+x_n)/n= +∞.

5. Пусть ∀n∈Np_n> 0 и lim_n→∞p_n = p. Доказать, что lim_n→∞(p₁...p_n)^1/n= p.

6. Исходя из равенства = e, доказать, что lim_n→∞n/(n!)^1/n = e.

7. Доказать, что последовательность a_n = (1 + 1/n)^n+pстрого убывает тогда и только тогда, когда p≥ ½.

8. Доказать, что ∀r ∈ Q: |r| < 1 верны равенства 1+ r£e^r£ 1 + r/(1 - r).

9. Пусть { x _n} последовательность с ограниченным изменением, т.е. ∃c > 0: ∀n ∈ N верно неравенство <c. Доказать, что последовательность { x _n} сходится.

10. Пусть 0£ x _m+n£ x _m + x _n. Доказать, что ∃lim_n→∞ x _n/n.

11. Верно ли, что

(a) _n→∞ (a _n + b _n) £ _n→∞ a _n + _n→∞ b _n, если последние пределы существуют;

(b) если lim_n→∞ a _n = a и _n→∞ b _n = b, то _n→∞ a _n b _n = ab;

(c) _n→∞ a _n = − _n→∞(− a _n).

12. Пусть lim_n→∞ a _n = +∞. Доказать, что ∃min_n∈N a _n.

13. Пусть lim_n→∞ a _n = a. Доказать, что последовательность { a _n} имеет либо наибольший, либонаименьшей элемент, либо и тот и другой.

14.Пусть s _n = a ₁ + ··· + a _n → ∞, a _k> 0, lim_n→∞ a _n = 0. Доказать, что множество предельных точек дробных частей { s _n} совпадает с отрезком [0;1].

15. Пусть lim_n→∞(s _n+1 − s _n) = 0 и не существует ни конечного, ни бесконечного предела lim_n→∞ s _n,и пусть l = _n→∞ s _n, L = _n→∞ s _n. Доказать, что последовательность { s _n} расположена всюду плотно на отрезке [ l; L ].

16. (a) Пусть a _n> 0 и lim_n→∞ a _n = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких, что a _n>max(a _n+1, a _n+2,...).

(b) Пусть a _n> 0 и _n→∞ a _n = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких, что a _n<min(a ₁, a ₂,..., a _n−1).