Свойства трехкратного интеграла

Свойство 1. Если область V разбить на две области V ₁ и V ₂ плоскостью, параллельной какой-либо из плоскостей координат, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям V ₁ и V ₂.

Следствие. При любом разбиении области V на конечное число областей V ₁,..., V_n плоскостями, параллельными координатным плоскостям, имеет место равенство .

Свойство 2 (теорема об оценке трехкратного интеграла). Если m и М − соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x, у, z) в области V, то имеет место неравенство , где V есть объем данной области, а I_V − трехкратный интеграл от функции f (x, у, z) по области V.

Свойство 3 (теорема о среднем). Трехкратный интеграл I_V от непрерывной функции f (x, у, z) по области V равен произведению его объема V на значение функции в некоторой точке Р области V, т. е. .

Теорема. Тройной интеграл от функции f (x, у, z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области, т. е.