Свойства двойных интегралов

(а) Линейность.

(Имеется в виду, что если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).

(б) Аддитивность. Если область V есть объединение областей V ₁и V ₂,пересекающихся только по своей обшей границе,то

(Аналогично, если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).

(в) Интеграл от константы. Двойной интеграл от константы по области V равен произведению этой константы на площадь области V , если C = const.

(г) Переход к неравенству. Если для всех точек верно неравенство f (x, y) ≤ g (x, y),то

(л) Теорема об оценке. Если числа m ₁и m ₂ таковы, что для всех точек верны неравенства m ₁ ≤ f (x, y, z) ≤ m ₂, то

Определение. Средним значением функции f (x, y, z) на множестве V называется число

(ж) Теорема о среднем. Если множество V замкнуто, ограниченно и связно, а функция f (x, y, z)непрерывна на множестве D, то найдется точка такая, что , т.е. такая, что

Теорема. Если функция f (x y, z)непрерывна в кубируемой области V, то она интегрируема в этой области.

(Далее будем рассматривать только непрерывные функции).

Определение. Область V − правильная в направлении оси Oz, если:

1) всякая прямая, параллельная оси Oz, проведенная через внутреннюю (т. е. не лежащую на границе S)точку области V, пересекает поверхность S в двух точках.

2) вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную (двумерную) область D;

3) всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей (Oxy, Oxz, Oyz), также обладает свойствами 1) и 2).

Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение , а поверхность, ограничивающая эту область сверху, имеет уравнение .

Введем понятие трехкратного интеграла I_V по области V от функции трех переменных f (x, у, z), определенной и непрерывной в области V. Предположим, что область D − проекция области V на плоскость Оху − ограничена линиями

.

Определение. Тогда трехкратный интеграл от функции f (x, у, z)по области V определяется так: