Уравнение волны

Рассмотрим поперечную волну. В поперечной волне частицы среды не смещаются в направлении распространения волны. Но колебания каждой последующей частицы среды запаздывают по фазе относительно предыдущих частиц. Вследствие этого гребни и впадины волны, заметные для глаза, перемещаются в направлении распространения волны. Это и отмечается наблюдателем как движение волны.

Под скоростью волны понимается скорость, с которой в среде перемещаются одинаковые фазы колебаний частиц. Эта скорость называется фазовой скоростью волны. Скорость волны зависит от упругих свойств (а также плотности) среды.

Расстояние между двумя ближайшими точками среды, колебания которых происходят в одинаковой фазе, называется длиной волны " l " или расстояние, на которое распространяются колебания в среде за время, равное одному периоду колебания; она численно равняется произведению скорости " V " распространения волны на период " Т " или отношению скорости распространения волны к частоте " n " колебания:

l = VT = .

Поскольку скорость распространения волны зависит от свойств среды, длина волны при переходе волны из одной среды в другую изменяется, хотя частота колебаний остается неизменной.

Кроме l, А, или Т колебаний волна характеризуется формой колебания частиц в волне. Так же как и колебания, волны делятся на простые (гармонические) и сложные.

Колебания, возбуждаемые в одной точке, в однородной изотропной среде распространяются от нее равномерно по всем направлениям, такая волна называется сферической. Если источник колебаний имеет значительную плоскую поверхность, то волна от него будет распространяться направленным потоком перпендикулярно поверхности источника; такая волна называется плоской.

Составим уравнение плоской гармонической волны, позволяющее определить смещение " S " точки Бсреды, находящейся на любом расстоянии " x " от начальной точкиА, в направлении распространения волны в любой момент времени. Пусть для начальной точки А уравнение колебания:

S_A = A sinw t. (S_A = A cosw t).

Точка Б совершает колебание с запаздыванием по фазе на угол j₀=w t₀, соответствующий промежутку времени t, за который волна проходит расстояние " x " между точками А и Б. Тогда для точки Б уравнение колебания будет:

S_Б = Acos(wt - j₀) = A cos(wt - wt₀) = A cosw(t - t₀)

S_Б = A sin(wt - j₀) = A sin(wt - wt₀) = A sinw(t - t₀).

Подставляя значение t₀ = , где V - скорость распространения волны, получим: S_Б = , S_Б = . Заменив в уравнении V = nl и w = 2 pn, тогда:

S_Б =

S_Б = .

Таким образом, смещение " S " точек среды в упругой волне является функцией двух переменных: времени " t " и расстояния " x " точки от центра возбуждения колебаний, то есть S = f₁(x,t).

Если выбрать определенный момент времени (t₁ = const), то уравнение дает зависимость смещения от расстояния " x ": S_t = f₂(x), то есть величину смещений точек среды вдоль направления " x " в заданный момент времени " t₁ ". График этой зависимости (как бы моментальный снимок волны) называют графиком волны. Для простой (гармонической) волны график имеет форму синусоиды:

Зависимость между смещением " S " точки, ее координатой " x " и временем " t ", выраженная в дифференциальной форме называется волновым уравнением. Для составления уравнения плоской волны находим частные производные второго порядка от смещения " S " по времени " t " и координате " x ":

То есть вторая производная смещения по времени пропорциональна второй производной смещения по координате, причем коэффициентом пропорциональности служит квадрат скорости распространения волны V.. Это и есть дифференциальное уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси “ Х ” со скоростью “ V ”. Оно в наиболее общем виде описывает распространение волнового процесса.

Основные характеристики (амплитуда, период или частота, длина волны и форма колебаний) продольной волны, её уравнение и графику аналогичны поперечной.