Вепринцев Р.А., аспирант кафедры ПМиИ, ТулГУ

ИСПРАВЛЕНИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В.В. ГЛАГОЛЕВА ТЕОРЕМЫ БОУЗА-ЧАУДХУРИ В ТЕОРИИ КОДОВ, ИСПРАВЛЯЮЩИХ ОШИБКИ

Вепринцев Р.А., аспирант кафедры ПМиИ, ТулГУ

Научный руководитель: Иванов В.И., д.ф.-м.н., проф.

В учебном пособии [1] его автор известный математик В.В. Глаголев формулирует и доказывает теорему Боуза-Чаудхури. Настоящая работа содержит логически более строго доказательство этой теоремы.

Теорема Боуза-Чаудхури. Линейный код с проверочной матрицей

где , - ненулевые различные двоичные векторы длины , принадлежащие некоторому полю , исправляет ошибок.

Доказательство В.В. Глаголева. См.[1, с. 49--51].

Доказательство Р.А. Вепринцева. Обозначим столбцы проверочной матрицы через . Из теории линейных кодов известно, что двоичный линейный код исправляет ошибок, если в его проверочной матрице любые столбцов, рассматриваемые как элементы линейного пространства строк соответствующей длины с координатами из поля вычетов по модулю 2 над полем , линейно независимы. Возьмем в матрице любые столбцов с номерами

Обозначим

Так как элементы поля не равны нулю, то и их степени также отличны от нуля, поскольку в поле нет делителей нуля:

Допустим, что некоторая линейная комбинация выбранных столбцов равна нулю, и обозначим через коэффициенты этой линейной комбинации:

(1)

Отметим, что в (1) .

От соотношения (1) можно перейти к системе следующих соотношений:

(2)

Очевидно, что от соотношений (2) можно наоборот перейти к соотношению (1), и потому их можно назвать эквивалентными. Заметим, что в (2)

С другой стороны, - ненулевой элемент поля. Пусть - единица поля . Если , то ; при имеем . Обозначим через . Они обладают следующим свойством: .

Тогда получаем, что

(3)

Слева от равенства (3) элемент получается умножением элемента поля на элемент линейного пространства , а справа от равенства происходит умножение элементов поля по правилу, которое в нем заданно.

Поскольку в поле операция умножения элементов коммутативна, то соотношения (2) теперь можно, используя равенства (3), переписать уже в виде системы уравнений относительно неизвестных :

(4)

Так как - поле характеристики 2, то, возводя в четные степени первое уравнение системы (4) и пользуясь теорией конечных полей и соотношением , приходим к системе однородных линейных уравнений над полем , в которой неизвестных и уравнений:

(5)

Однородная система уравнений всегда совместна. Определитель системы (5) представляет собой известный определитель Вандермонда и в данном случае отличен от нуля поля . Из теории решения систем линейных уравнений [2] следует, что система совместна и имеет единственное нулевое решение .

Так как , то и . Таким образом, выбранные вначале доказательства столбцы матрицы линейно независимы. Следовательно, по указанному свойству линейных кодов рассматриваемый код исправляет ошибок, ч. т. д.

В доказательстве Глаголева существенный переход в смысле логической строгости рассуждений (3) не описан, что может привести к недоразумениям.

Также отметим в заключение, что в известных монографиях по теории кодов, исправляющих ошибки Мак-Вильямса и Слоэна, Питерсона и Уэлдона, Берлекэмпа автор не обнаружил теорему Боуза-Чаудхури.

Список литературы

1. Глаголев В.В. Алгебраическая теория кодирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. 114 с.

2. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Изд-во “Факториал Пресс”, 2001. 544 с.