Міністерство освіти і науки України
Херсонський державний університет
Факультет фізики, математики та інформатики
Кафедра алгебри, геометрії та математичного аналізу
Курсова робота
з диференціальної геометрії і топології
з теми: геометрія кіл
Студентки3 курсу 321 групи з.ф.н.
напряму підготовки: 6.040201.Математика*
Спеціалізація: Інформатика
Степаненко Т. _______________________
Керівник ст. викл. Григор ’ єва В.Б._____
Підсумкова оцінка
Національна шкала ________________
Кількість балів ____________________
ECTS ____________________________
Члени комісії ___________ ст. викл. Григор’єва В.Б.
___________ доц. Самойленко В.Г.
___________ доц.Плоткін Я.Д
Херсон – 2014 р.
Зміст
| Вступ.................................................................................................... | 3 |
| Розділ 1. Правильні многогранники та їх властивості …………… | 4 |
| Розділ 2. Алгебраїчні групи правильних многогранників | |
| 2.1. Групи симетрій правильних многогранників....................... | 8 |
| 2.2. Група симетрій тетраедра Т d.................................................. | 10 |
| 2.3. Група симетрій куба Oh.......................................................... | 12 |
| 2.4. Група симетрій октаедра........................................................ | 14 |
| 2.5. Групи симетрій ікосаедра та додекаедра.............................. | 15 |
| Висновки............................................................................................. | 18 |
| Список використаних джерел......................................................... | 19 |
Вступ
Топологія, яка є одним з найважливіших розділів сучасної математики, сформувалась на початку ХХ ст. В наш час ця наука інтенсивно розвивається, в ній розрізняють певні самостійні напрямки. Одним з об‘єктів дослідження в топології є геометричне тіло, прикладами якого є многогранники. Майже усі цікаві конкретні класи многогранників входять до загального класу опуклих многогранників. Основні результати, що стосуються загальної теорії опуклих многогранників, належать О.Александрову [3]. На основі цих досліджень О.Погорєлов створив основи загальної теорії опуклих многогранників. Особливий інтерес викликають так звані правильні многогранники, що відрізняються однорідністю і, отже, симетрією.
Мета даної роботи полягає у визначенні алгебраїчних властивостей правильних многогранників та встановленні зв‘язку між їх групами симетрій.
Об ’ єктом дослідження виступає загальна теорія опуклих многогранників та їх метричних властивостей, а предметом дослідження – клас правильних многогранників.Основні методи дослідження, що використовуються у роботі, – це метод зображення скінчених груп, метод трансцендентних групових підстановок.
Виходячи з мети, визначені завдання роботи:
- розгляд метричних властивостей опуклих многогранників;
- дослідження груп симетрій правильних многогранників за допомогою апарату загальної теорії груп;
Робота складається з двох основних розділів. В першому розділі розглядаються відомості з теорії опуклих многогранників. Другий розділ розкриває алгебраїчні властивостей груп симетрій кожного з п‘яти типів правильних многогранників та містить безпосередньо зображення цих груп за допомогою визначаючих співвідношень.
Розділ 1
Правильні многогранники та їх властивості
Як відомо [9], серед плоских n-кутників найбільшою рухомістю володіє правильний n-кутник, у якого однакові усі сторони і – двоїсто – однакові усі кути. Правильний n-кутник може бути суміщений сам з собою при умові, що довільна його сторона (вершина) суміститься з довільною наперед заданою стороною (вершиною). Множина усіх рухів, що залишають дану фігуру на місці, утворює групу [7].
Розділ 2
Алгебраїчні групи правильних многогранників
Групи симетрій правильних многогранників
Нехай F – довільна фігура. Множина DF усіх рухів простору, що переводять фігуру F у себе, є групою (підгрупа групи D рухів простору) [4]. Якщо група DF містить більше одного елемента, то вона називається групою симетрій фігури F, а елементи цієї групи називаються перетвореннями симетрії або просто симетріями фігури F. Якщо ж DF складається тільки з тотожного перетворення, то будемо говорити, що фігура F не має симетрій.Важливу роль у вивченні властивостей фігури F відіграють елементи симетрії цієї фігури. Розглянемо їх означення.
Висновки
В ході виконання дослідження одержано такі основні висновки, що стосуються властивостей алгебраїчних груп правильних многогранників.
Правильні многогранники становлять конкретний клас в множині усіх опуклих многогранників. Існує лише п‘ять типів правильних многогранників: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр та ікосаедр. Основні співвідношення між елементами цих геометричних тіл визначаються за допомогою теореми Ейлера. Для кожного з п‘яти визначених типів правильних многогранників існують певні типи рухів простору. Що стосується груп симетрій правильних многогранників, то стосовно них можна зробити наступні висновки:
1) група обертань тетраедра ізоморфна знакозмінній групі А 4 симетричної групи S 4. Тетраедр допускає 24 перетворення, які переводять його в себе, має дві невласні групи обертань, при цьому група поворотів тетраедра не комутативна;
2) група обертань куба ізоморфна симетричній групі S 4 і порядок цієї групи дорівнює 24;
3) куб та октаедр двоїсті один з одним і тому мають однакові групи симетрій. Група поворотів октаедра ізоморфна групі поворотів куба і містить 24 елементи. Існує 19 поворотів, при яких октаедр переходить в себе;
4) ікосаедр та додекаедр взаємні один до одного, отже, їх групи симетрій ізоморфні. Ікосаедр має 31 ось симетрії та допускає 60 обертань, при яких переходить сам в себе. Групи симетрій ікосаедра та додекаедра складаються зі 120 елементів.
Список використаних джерел
1. Александров А. Д. Геометрия / А. Д. Александров, Н. Д. Нецветаев. – М.: Наука, 1990. – 312 с.
2. Балк М. Б. Геометрия масс / М. Б. Балк, В. Г. Болтянский. – М.: Наука, 1987. – 132 с.
3. Болтянский В. Г. Лекции и задачи по элементарной математике / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров. – М.: Наука, 1984. – 351 с.
4. Гельфанд С. И. Задачи по элементарной математике. Геометрия / С. И. Гельфанд, М. Л. Гервер, А. А. Кириллов. – М.: Наука, 1975. – 259 с.
5. Гельфанд И. М. Метод координат / И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева. – М.: Наука, 1973. – 135с.
6. Делоне Б. Н. Задачник по геометрии / Б. Н. Делоне, О. К. Житомирский. – М.:Физматгиз, 1959. – 348 с.
7. Дынкин Е. Б. Математические задачи / Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь. – М.: Наука, 1971. – 372 с.
8. Киселев А. П. Геометрия / А. П. Киселев. – М.:Физматлит, 2004. – 328 с.
9. Куланин Е. Д. Геометрия треугольника в задачах / Е. Д. Куланин, С. Н. Федин. – М.:Либроком, 2009. – 208 с.
10. Никулин А. В. Планиметрия. Геометрия на плоскости / А. В. Никулин, А. Г. Кукуш, Ю. С. Татаренко. – Висагинас: Альфа, 1998. – 592 с.
11. Островский А. И. Задачи по элементарной математике / А. И. Островский. – М.: Просвещение, 1996. – 274 с.
12. Погорелов А. В. Геометрия / А. В. Погорелов. – М.: Наука, 1984. – 340 с.
13. Шклярский Д. О. Избранные задачи и теоремы планиметрии / Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглов. – М.: Наука, 1987. – 164с.
14. Яглов И. М. Выпуклые фигуры / И. М. Яглов, В. Г. Болтянский. – М.:Гостехиздат, 1981. – 243 с.
