Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где а ₁, а ₂,..., а _n — некоторые действительные числа.

Для нахождения частных решений уравнения составляют характеристическое уравнение

Общее решение уравнения (строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения по следующему правилу:

1) каждому действительному простому корню k в общем решении соответствует слагаемое вида С × е ^kx;

1) каждому действительному корню кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида (С ₁+ C ₂ x + C ₃ x ² +... + C_m x ^m ^{- 1}) × е ^kx;

3) каждой паре комплексных сопряжённых простых корней k _1,2 = б ± в i в общем решении соответствует слагаемое вида е ^a ^x × (С ₁cos b x + C ₂sin b x);

4) каждой паре комплексных сопряжённых корней k _1,2 = a ± b i кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида

е ^a ^x ((С ₁+ C ₂ x +... + C_mx ^m ^{– 1})cos b x + (С ₁+ C ₂ x +... + C _m x ^m ^{– 1})sin b x).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

Его корни k ₁= 0, k ₂= 1, k ₃= 2 — простые действительные числа (случай 1). Следовательно, е ⁰^× ^x = 1, е ¹^× ^x = е ^x, х · е ^x — частные линейно независимые решения, а общее решение данного уравнения имеет вид

у = С ₁+ C ₂ е ^x + C ₃ е^2х.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Его корни: k ₁= 0 — простой действительный корень (случай 1), k _2,3= 1 — действительный корень кратности 2 (случай 2). Следовательно, е ⁰^× ^x = 1, е ¹^× ^x = е ^x, x × е ^x — частные линейно независимые решения, а общее решение данного уравнения имеет вид

у = С ₁+ C ₂ е ^x + C ₃ хе^2х.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением четвёртого порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

Его корни: k _1,2= ± i, k _3,4= ± 2 i — две пары комплексных сопряжённых простых корней (случай 3; a = 0, b = 1 для первой пары корней и b = 2 для второй пары корней). Следовательно, е ⁰^× ^x × cos x = cos x, е ⁰^× ^x × sin x = sin x, е ⁰^× ^x × cos 2 x = cos 2 x, е ⁰^× ^x × sin 2 x = sin 2 x — частные линейно независимые решения, а общее решение данного уравнения имеет вид

у = С ₁cos x + C ₂sin x + С₃cos 2 x + C ₄sin 2 x.

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением шестого порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

Для нахождения корней преобразуем характеристическое уравнение к виду . Откуда имеем: k _1,2= ± 2 i — комплексные сопряжённые корни кратности 2 (случай 4; a = 0, b = 2); k _3,4= ± i — пара комплексных сопряжённых простых корней (случай 3; a = 0, b = ). Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

у = (С ₁+ C ₂ x)cos 2 x + (С₃+ C ₄ x)sin 2 x + С₅cos x + C ₆sin x.

Выделим особо частный случай линейных однородных уравнений n - го порядка с постоянными коэффициентами (11) при n = 2, т.к. решение различных практических задач часто сводится к решению уравнений именно второго порядка.

Линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где p, q — некоторые действительные числа.

Для практического использования указанный алгоритм оформим в виде таблицы 1.

Таблица 1. Решение линейного однородного уравнения
2-го порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант	D > 0	D = 0	D < 0
Корни характеристического уравнения	k ₁¹ k ₂Î R	k ₁= k ₂= k Î R	k _1,2 = a ± b i Î C
Общее решение	С ₁ + C ₂	С ₁ е ^kx + C ₂ х е ^kx	е ^a ^x (С ₁cos b x + C ₂sin b x)

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

Его корни (D < 0) k _1,2 = 1 ± 3 i — комплексные сопряжённые числа (случай 3; a = 1, b = 3), следовательно, е ^x cos 3 x, е ^x sin 3 x — частные линейно независимые решения, а общее решение данного уравнения имеет вид

у = е ^x (С ₁cos 3 x + C ₂sin 3 x).

Пример 6. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: у (0) = 1, .

Его корни (D > 0) k ₁= 0, k ₂= – 3 — простые действительные числа (случай 1). Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

у = С ₁+ C ₂ е^–3х.

Дифференцируем это решение: у' = – 3 C ₂ е^-3х. Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнений относительно С ₁и C ₂:

откуда С ₁= 5/3, C ₂ = – 2/3. Значит решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид

Проинтегрировать уравнения (1—21):

1.	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12. .
13. .	14. .
15. .	16. .
17. .	18. .
19. .	20. .
21. .

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям (22—39):

22.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 30.
23.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = – 1.
24.	y (0) = 0,	у' (0) = 2,	у'' (0) = 4.
25.	y (0) = 0,	у' (0) = 1,	у'' (0) = 1.
26.	y (0) = 0,	у' (0) = 1,	у'' (0) = 133.
27.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 1.
28.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 2.
29.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 2.
30.	y (0) = – 1,	у' (0) = 0,	у'' (0) = ‑ 6.
31.	y (0) = 0,	у' (0) = 2,	у'' (0) = 4.
32.	y (0) = 1,	у' (0) = ‑ 1,	у'' (0) = 0.
33.	y (0) = – 1,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 1.
34.	y (0) = – 2,5,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 0.
35.	y (0) = 0,	у' (0) = 9,	у'' (0) = ‑ 18.
36.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 4.
37.	y (0) = 0,	у' (0) = 2,	у'' (0) = ‑ 3.
38.	y (0) = ‑ 3,
39.	y (р/4) = 1,