Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,                                    

где  а ₁, а ₂,..., а _n — некоторые действительные числа.

Для нахождения частных решений уравнения  составляют характеристическое уравнение

,                                         

Общее решение уравнения (строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения  по следующему правилу:

1) каждому действительному простому корню k в общем решении соответствует слагаемое вида С × е ^kx;

1) каждому действительному корню кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида (С ₁ + C ₂ x + C ₃ x ² +... + C_m x ^{m - 1}) × е ^kx;

3) каждой паре комплексных сопряжённых простых корней k _1,2 = б ± в i  в общем решении  соответствует слагаемое вида е ^{a x} × (С ₁cos b x + C ₂sin b x);

4) каждой паре комплексных сопряжённых корней k _1,2 = a ± b i кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида

е ^{a x} ((С ₁ + C ₂ x +... + C_mx ^{m – 1})cos b x + (С ₁ + C ₂ x +... + C _m x ^{m – 1})sin b x).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

.

Его корни k ₁ = 0, k ₂ = 1, k ₃ = 2 — простые действительные числа (случай 1). Следовательно, е ^{0× x} = 1, е ^{1× x} = е ^x, х · е ^x — частные линейно независимые решения, а общее решение данного уравнения имеет вид

у = С ₁ + C ₂ е ^x  + C ₃ е^2х.

 

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

.

Его корни: k ₁= 0 — простой действительный корень (случай 1), k _2,3 = 1 — действительный корень кратности 2 (случай 2). Следовательно, е ^{0× x} = 1, е ^{1× x} = е ^x, x × е ^x — частные линейно независимые решения, а общее решение данного уравнения имеет вид

у = С ₁ + C ₂ е ^x  + C ₃ хе^2х.

 

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением четвёртого порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

.

Его корни: k _1,2   = ± i, k _3,4 = ± 2 i — две пары комплексных сопряжённых простых корней (случай 3; a = 0, b = 1 для первой пары корней и b = 2 для второй пары корней). Следовательно, е ^{0× x} × cos x = cos x, е ^{0× x} × sin x = sin x, е ^{0× x} × cos 2 x = cos 2 x, е ^{0× x} × sin 2 x = sin 2 x — частные линейно независимые решения, а общее решение данного уравнения имеет вид

у = С ₁ cos x + C ₂sin x + С₃ cos 2 x + C ₄sin 2 x.

 

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением шестого порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

.

Для нахождения корней преобразуем характеристическое уравнение к виду . Откуда имеем: k _1,2 = ± 2 i — комплексные сопряжённые корни кратности 2 (случай 4; a = 0, b = 2); k _3,4= ± i — пара комплексных сопряжённых простых корней (случай 3; a = 0, b = ). Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

у = (С ₁+ C ₂ x)cos 2 x + (С₃ + C ₄ x)sin 2 x + С₅cos x + C ₆sin x.

Выделим особо частный случай линейных однородных уравнений n - го порядка с постоянными коэффициентами (11) при n = 2, т.к. решение различных практических задач часто сводится к решению уравнений именно второго порядка.

Линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,                                                         

где p, q — некоторые действительные числа.

Для практического использования указанный алгоритм оформим в виде таблицы 1.

 

Таблица 1. Решение линейного однородного уравнения
2-го порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант	D > 0	D = 0	D < 0
Корни характеристичес­кого уравнения	k 1¹ k 2Î R	k 1 = k 2= k Î R	k 1,2 = a ± b i Î C
Общее решение	С 1 + C 2	С 1 е kx + C 2 х е kx	е a x (С 1cos b x + C 2sin b x)

 

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

.

Его корни (D < 0) k _1,2 = 1 ± 3 i — комплексные сопряжённые числа (случай 3; a = 1, b = 3), следовательно, е ^x cos 3 x, е ^x sin 3 x — частные линейно независимые решения, а общее решение данного уравнения имеет вид

у = е ^x (С ₁cos 3 x + C ₂sin 3 x).

 

Пример 6. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: у (0) = 1, .

Решение. Данное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

.

Его корни (D > 0) k ₁= 0, k ₂= – 3 — простые действительные числа (случай 1). Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

у = С ₁+ C ₂ е^–3х.

Дифференцируем это решение: у' = – 3 C ₂ е^-3х. Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнений относительно С ₁и C ₂:

откуда С ₁= 5/3, C ₂ = – 2/3. Значит решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид

.

Проинтегрировать уравнения (1—21):

1.	2.  .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12. .
13. .	14. .
15. .	16. .
17. .	18. .
19. .	20. .
21. .

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям (22—39):

22.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 30.
23.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = – 1.
24.	y (0) = 0,	у' (0) = 2,	у'' (0) = 4.
25.	y (0) = 0,	у' (0) = 1,	у'' (0) = 1.
26.	y (0) = 0,	у' (0) = 1,	у'' (0) = 133.
27.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 1.
28.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 2.
29.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 2.
30.	y (0) = – 1,	у' (0) = 0,	у'' (0) = ‑ 6.
31.	y (0) = 0,	у' (0) = 2,	у'' (0) = 4.
32.	y (0) = 1,	у' (0) = ‑ 1,	у'' (0) = 0.
33.	y (0) = – 1,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 1.
34.	y (0) = – 2,5,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 0.
35.	y (0) = 0,	у' (0) = 9,	у'' (0) = ‑ 18.
36.	y (0) = 0,	у' (0) = 0,	у'' (0) = 4.
37.	y (0) = 0,	у' (0) = 2,	у'' (0) = ‑ 3.
38.	y (0) = ‑ 3,
39.	y (р/4) = 1,