Задания для самостоятельного решения

Занятие 8 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой дифференциальных уравнений называют совокупность дифференциальных уравнений, т.е. уравнений, содержащих независимые переменные, неизвестные функции и их производные (или дифференциалы).

Система n дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно всех производных, называется нормальной. Она имеет вид

где у ₁, у ₂,..., у _n — неизвестные функции независимой переменной х; f ₁, f ₂,..., f_n — известные функции, зависящие от х, у ₁, у ₂,..., у _n, заданные и непрерывные в некоторой области.

Число уравнений, входящих в систему,называют порядком системы.

Решить систему или проинтегрировать в некотором интервале [ a, b ] — значит найти совокупность n функций у ₁(х), у ₂(х),..., у _n (х), определённых и непрерывно дифференцируемых в указанном интервале, обращающих каждое уравнение системы в тождество.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений (1) состоит в нахождении решения

у ₁= у ₁(х), у ₂ = у ₂(х),..., у _n = у _n (х),

удовлетворяющего начальным условиям:

, ,..., .

Общим решением системы (1) называют совокупность n функций:

зависящих от переменной х и произвольных постоянных С ₁, С ₂,..., С _n и удовлетворяющих следующим условиям:

1) функции у ₁, у ₂,..., у _n определены в области изменения переменной х и имеют непрерывные частные производные по х;

2) функции у ₁, у ₂,..., у _n должны являться решением системы (1) при любых значениях С ₁, С ₂,..., С _n.

Частным решением системы называют решение, полученное из общего при некоторых частных значениях постоянных С ₁, С ₂,..., С _n.

При решении систем часто используют следующее утверждение: cистему дифференциальных уравнений можно свести к одному дифференциальному уравнению n -го порядка:

y ⁽ ⁿ ⁾ = f (x, y, , ,..., y ⁽ ⁿ ^- ¹⁾),

и наоборот, одно дифференциальное уравнение n -го порядка можно свести к системе дифференциальных уравнений.

Система называется линейной, если неизвестные функции и их производные (или дифференциалы) входят в каждое из уравнений только в первой степени. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид

где функции а _ij (х), f_i (х) (i = 1,..., n; j = 1,..., n) непрерывны в некотором интервале.

Если все f_i (х) = 0, то система называется однородной, в противном случае — неоднородной.

Если а _ij (х) = а _ij = const, то система (2) называется линейной с постоянными коэффициентами.

Существуют различные методы решения систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим простейшие из них.

Метод исключения

Метод исключения основан на следующем утверждении: нормальная система n дифференциальных уравнений первого порядка эквивалентна одному дифференциальному уравнению n —го порядка. Следовательно, можно исключить в системе все неизвестные функции, кроме одной, и получить одно дифференциальное уравнение n -го порядка.

Пример 1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

Решение. Решим систему методом исключения.

1. Дифференцируем по х любое, например первое уравнение заданной системы и подставляем вместо y ' ₁, y ' ₂, y ' ₃ их выражения из этой системы. В результате получим

Дифференцируем y '' ₁, по х и опять заменяем y ' ₁, y ' ₂, y ' ₃ их выражениями из системы:

Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений:

Из первых двух уравнений находим у ₂ и у ₃:

Выражения для у ₂ и у ₃ подставим в третье уравнение системы:

Получили неоднородное линейное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами:

Его общее решение найдём по формуле

у ₁ = у ₁⁰ + у ₁ ^*,

где у ₁⁰ — общее решение соответствующего линейного однородного уравнения;

у ₁ ^* — частное решение линейного неоднородного уравнения

2. Найдём общее решение у ₁⁰ соответствующего линейного однородного уравнения .

Запишем для него характеристическое уравнение

Его корни: k ₁= 1, k ₂= 2, k ₃= 5 — простые действительные числа. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

у ⁰₁ = С ₁ е ^x + C ₂ е ^2х + С ₃ е ^5х.

3. Найдём частное решение у ₁ ^* линейного неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

Правая часть уравнения (5) f (x) = е^х – 2 х является суммой двух специальных функций
f ₁(x) = и f ₂(x) = – 2 х, следовательно, частным решением уравнения будет являться
у ₁ ^* = у ₁ ^* ¹ + у ₁ ^* ², где у ₁ ^* ¹ и у ₁ ^* ² — частные решения неоднородных линейных уравнений

и .

Для f ₁(x) = k = 1, для f ₂(x) = – 2 х k = 0, тогда получаем частное решение у ₁ ^* линейного неоднородного уравнения:

у ₁ ^* = А ₁ x е^х + А ₂ x + А ₃.

Найдём неизвестные величины А ₁, А ₂, А ₃. Для этого продифференцируем три раза полученное уравнение:

= А ₁ x е^х + А ₁ е^х + А ₂;

= А ₁ x е^х + 2 А ₁ е^х;

= А ₁ x е^х + 3 А ₁ е^х.

Подставим выражения для , , и у ₁ ^* в уравнение (5):

А ₁ x е^х + 3 А ₁ е^х – 8(А ₁ x е^х + 2 А ₁ е^х) + 17(А ₁ x е^х + А ₁ е^х + А ₂) – 10(А ₁ x е^х + А ₂ x + А ₃) = е^х – 2 x.

После преобразований получим уравнение:

4 А ₁ е^х + 17 А ₂ – 10 А ₂ x – 10 А ₃ = е^х – 2 x.

Приравняем коэффициенты в левой и правой частях при соответствующих выражениях, получим:

А ₁ = 1/4; А ₂ = 1/5; А ₃ = 17/50.

Подставим эти значения в частное решение у ₁ ^* линейного неоднородного уравнения:

у ₁ ^* = x е^х + x + .

4. Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами (5) имеет вид

у ₁ = у ₁⁰ + у ₁ ^* = С ₁ е ^x + C ₂ е ^2х + С ₃ е ^5х + x е^х + x + .

5. Найдём производные у' ₁, у'' ₁:

у' ₁ = С ₁ е ^x + 2 C ₂ е ^2х + 5 С ₃ е ^5х + x е^х+ е^х + ;

у'' ₁ = С ₁ е ^x + 4 C ₂ е ^2х + 25 С ₃ е ^5х + x е^х+ е^х.

Подставим найденные значения у' ₁, у'' ₁ в равенства (4):

= С ₁ е ^x + 4 C ₂ е ^2х + 25 С ₃ е ^5х + x е^х+ е^х– 6(С ₁ е ^x + 2 C ₂ е ^2х +
+ 5 С ₃ е ^5х + x е^х+ е^х + ) + 6(С ₁ е ^x + C ₂ е ^2х + С ₃ е ^5х + x е^х + x + ) + 2 е^х – x =