Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим простейшие виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.
2.1.1. Уравнения вида y ( n ) = f (x).
Общее решение дифференциального уравнения такого вида получают n -кратным интегрированием самого уравнения:
y ( n ) = f (x);
;
;
……………………………...............
,
где 
.
Так как 
являются постоянными величинами, то общее решение можно записать в виде
.
Пример Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям: у (0) = 1/32, 
, 
.
Решение. 1)Найдём общее решение последовательным интегрированием данного уравнения:
;
; 
;
.
2) Для нахождения частного решения необходимо определить константы С 1, С 2, С 3, С 4. Подставим начальные условия в полученные нами уравнения:
Видим, что С 1 = 0, С 2 = 1/4, С 3 = 0, С 4 = 0. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
.
Уравнения, не содержащие искомой функции и производных этой функции до порядка k – 1 включительно
Уравнения, не содержащие искомой функции и производных до порядка k - 1 включительно, можно записать в виде
. (2)
Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой 
, т.е. взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных. Тогда уравнение (2) примет вид
.
Из последнего уравнения можно определить функцию
z = f (x, С 1, С 2, ..., Сn -k ),
а затем найти у из уравнения y(k) = f (x, С 1, С 2,.., Сn -k ) k -кратным интегрированием.
Пример Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям у (2) = 1, 
.
Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, не содержащим искомой функции.
1. Найдём общее решение данного уравнения. Полагая 
, преобразуем уравнение
к виду
.
Это неоднородное линейное уравнение первого порядка. Решим его методом Лагранжа.
Сначала найдём общее решение соответствующего однородного линейного уравнения первого порядка:
.
Для этого разделим переменные и проинтегрируем:
, где 
.
Затем найдём общее решение неоднородного линейного уравнения. Пусть
.
Дифференцируя это равенство, получим 
. Подстановка z и 
в уравнение даёт
(x –1)∙ C' (x) = x (x – 1) C' (x) = x
.
Подставим последнее равенство в (4), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (3):
.
Так как , получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получим общее решение исходного уравнения:
.
2. Для нахождения частного решения необходимо определить константы С 1, С 2. Подставим начальные условия у (2) = 1, 
в полученные нами уравнения:
Решив систему, получим С 1 = –3; С 2 = 1/3. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
.
Уравнения, не содержащие независимой переменной
Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной х, можно записать в виде
. (5)
Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой y ' = z. При этом z рассматривается как новая неизвестная функция от у: z = z (у). Все производные 
выражаются через производные от новой неизвестной функции z (у):
;
;
и т.д.
Подставив эти выражения вместо 
в уравнение (5), получим дифференциальное уравнение (n – 1)-го порядка.
Пример Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением третьего порядка, не содержащим независимой переменной х.
Пусть 
. Подставив эти выражения вместо 
в исходное уравнение, получим уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной у:
.
Ещё раз понизим на единицу порядок уравнения. Для этого введём замену z ' = p
. Получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
.
Отсюда р = 0 или 
. Интегрируем второе уравнение 
: 
р = z C 1.
Так как p = z ', то получим опять дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: 
z C 1. Разделив переменные и проинтегрировав, получим 
.
Вводим ещё раз обратную подстановку z = y '. Получим снова дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
.
Интегрируя его, найдём общее решение исходного уравнения:
.
Случай р = 0 даёт z ' = 0, откуда z = C y ' = C y = Cx + C 4 — частное решение, которое можно получить из общего при соответствующих значениях коэффициентов С 1, С 2, С 3.
