Приращение аргумента и приращение функции

Тема 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Определение. Переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х, взятому из области определения соответствует одно, вполне определенное значение у.В общем случае функция записывается в виде у = f (x).

При этом величина х называется независимой переменной, или аргументом функции y.

Рассмотрим некоторые понятия, которые применяются при анализе поведения функций.

Определение. Множество всех допустимых значений аргумента x функции называется областью определения функции. Область определения функции f(x) обозначается D(f).

Определение. Множество всех возможных значений функции f (x) (т. е. значений y) называется областью изменения (или множеством значений, либо областью значений) функции и обозначается E(f).

Определение. Функция y = f (x) называется возрастающей на интервале (a, b), если для любых двух значений аргумента x₁ и x₂ из области определения функции, удовлетворяющих условию x₁< x₂, выполняется неравенство f(x₁) ≤ f(x₂). Если из условия x₁<x₂ следует строгое неравенство f (x₁) < f (x₂), то функция называется строго возрастающей на интервале (a, b).

Определение. Функция y = f (x) называется убывающей на интервале (a, b), если для любых двух значений x₁ и x₂ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) ≥ f (x₂). Если из условия x₁< x₂ следует строгое неравенство f(x₁) > f(x₂), то функция называется строго убывающей на интервале (a, b).

Определение. Функция y = f(x) называется четной, если для любых значений x, принадлежащих области определения, выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси 0 y.

Определение. Функция y = f(x) называется нечетной, для любых значений x, принадлежащих области определения, выполняется равенство f (-x) = -f (x).

Определение. Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое положительное число T, что для любых значений x и x + T, принадлежащих области определения функции, выполняется равенство f (x + T) = f(x). Величина T называется периодом функции. Как правило понятие периодической применяется к тригонометрическим функциям (sinx, cosx, tgx, ctgx и.т.п.)

Понятие производной функции

Приращение аргумента и приращение функции

Пусть дана функция y = f(x), определенная на некотором интервале, например, представленная на рис1. Рассмотрим два значения аргумента х ₀ и x₁ = x₀ + Δ x, где Δ x - произвольно задаваемое число, положительное или отрицательное, которое называется приращением аргумента.

 

Определение. Приращением функции Δyназывается изменение функции, соответствующее приращению аргумента Δx:

 Приращение аргумента Δx и приращение функции Δy

Определение производной функции. Производной функции y = f(x) в некоторойточке x называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, при стремлении последнего к нулю, если этот предел существует:

Здесь y'(x) - обозначение производной функции в точке x (можно также писать f'(x)), Δ y - приращение функции, соответствующее приращению аргумента Δx (производная y'(x) читается как «игрек штрих от икс»).

Если производная функции y = f (x) существует в точке x, функция называется дифференцируемой в точке x. Если производная функции y = f (x) существует во всех точках некоторого промежутка (например, интервала), функция называется дифференцируемой на данном промежутке. В этом случае производная у'(x) также является некоторой функцией аргумента x.

Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием. Продифференцировать функцию означает найти ее производную.

Физический смысл производной заключается в следующем. Скорость прямолинейного движения тела равна производной его координаты s(t) по времени: