Дисперсия постоянной равна нулю.

Доказательство.   Пусть . По формуле (4.8) имеем

так как математическое ожидание постоянной есть эта постоянная:

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

                                     (4.9)

Доказательство. На основании соотношения (4.8), можно записать

Так как   

и

то

3°. Если  и   - независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

                         (4.10)

Доказательство. По формуле (4.8) имеем

Но

Так как   и   - независимые случайные величины, то

Следовательно

Далее,

поэтому

Таким образом

Следовательно

Замечание. Свойство 3° распространяется на любое конечное число попарно независимых случайных величин:

 

Средним квадратическим отклонением  случайной величины    называется корень квадратный из ее дисперсии:

                                       (4.11)

Среднее квадратическое отклонение  имеет ту же размерность, что и случайная величина .

 

Пример 4.1. Случайная величина  - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение.

Решение: Используя формулы (4.1), (4.6) и (4.11) соответственно получим

 

3. Числовые характеристики некоторых случайных величин.

Найдем теперь числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение) случайных величин, рассмотренных выше.

1. Распределение Бернулли. Здесь случайная величина  - число наступления события A при одном испытании, причем . Найти математическое ожидание и дисперсию для этого распределения.

Величина  принимает два значения 0 и 1 соответственно с вероятностями  и p.  Поэтому по формулам (4.1) и (4.6) находим

2. Биноминальный закон распределения. Определяется формулой Бернулли: , где  - постоянная вероятность появления события   в данном конкретном опыте.

Пусть  - случайная величина, принимающая значения 1 или 0 в зависимости от того, происходит или не происходит событие A в i -м опыте. Тогда . Ясно, что  попарно независимы. Из результата примера 2 следует, что ,  для любого . На основании свойства 3° для математического ожидания и дисперсии имеем

3. Пусть  - случайная величина,  распределенная по закону Пуассона:  .   Найти   и .

Используя соотношение (4.1), получим

Так как

Найдем теперь выражение для дисперсии закона Пуассона

Следовательно,

 

4. Пусть теперь   -  случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью

Найдем математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение этой случайной величины.

По формулам (4.2), (4.7) и (4.11) находим

 

5. Сейчас можно выяснить смысл параметров   и    нормального закона распределения случайной величины.

Пусть  - нормально распределенная случайная величина, с параметрами  и . Найдем   и .

Так как  , то по формуле (4.2) находим

Проведем в интеграле замену переменной, полагая . Тогда , . Следовательно,

Но

cм. формулу (3.7). Далее, так как функция  нечетная, то по свойству нечетных функций . Следовательно, .

Дисперсию находим по формуле (4.7)

(вычисление интеграла не приводим).

Итак, .

Таким образом, параметры  и  для нормально распределенной случайной величины имеют простой вероятностный смысл: a есть математическое ожидание,   - среднее квадратическое отклонение.

 

4. Линейные функции случайных величин.

 Пусть  - нормально распределенная случайная величина с параметрами  и . Тогда, если A и B - постоянные, то случайная величина , линейно зависящая от , также нормально распределена, причем *

Докажем это утверждение. Пусть для простоты B>0. Оценим вероятность неравенств . Ясно, что эти неравенства равносильны неравенствам , т.е.

Поэтому       

Так как величина   распределена нормально, то

Проведем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда   и, следовательно,

Итак,

Это равенство показывает, что случайная величина  имеет нормальное распределение, причем  и .

Имеет место и более общее утверждение. Пусть  - постоянные, а  - нормально распределенные попарно независимые случайные величины, причем .

Тогда случайная величина

также имеет нормальное распределение, причем

В частности, если  при любом i, то случайная величина распределена нормально, причем , , . 

* Это утверждение можно получить просто из свойств математического ожидания и дисперсии. Так, например,