Лекция3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид
или, если оно разрешено относительно старшей производной,
y ( n ) = f (x, y, 
, 
,..., y ( n - 1)). (1)
Решением дифференциального уравнения (1), как и уравнения первого порядка, называется дифференцируемая функция у = у (х), которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество.
Решения дифференциальных уравнений высших порядков могут быть общими, частными или особыми.
Общее решение уравнения (1) зависит от переменной х и n произвольных постоянных, т.е. имеет вид:
у = у (х, С 1, С 2,..., С n).
Решение, которое получается из общего решения при некоторых фиксированных значениях постоянных С 1, С 2,..., С n, называется частным решением уравнения (1).
Для того, чтобы получить частное решение из общего, обычно задают начальные условия:
, 
, 
,..., 
.
При этом отыскание частного решения уравнения (1), удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется решением задачи Коши для этого уравнения.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (1) аналогична соответствующей теореме, рассмотренной ранее (п. 1.1) для случая n = 1.
Особым решением уравнения (1) называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется.
Из всего многообразия дифференциальных уравнений высших порядков в данном разделе рассмотрим только основные простейшие виды, а именно — уравнения, допускающие понижения порядка, и подробнее остановимся на линейных уравнениях второго порядка.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим простейшие виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.
2.1.1. Уравнения вида y ( n ) = f (x).
Общее решение дифференциального уравнения такого вида получают n -кратным интегрированием самого уравнения:
y ( n ) = f (x);
;
;
……………………………...............
,
где 
.
Так как 
являются постоянными величинами, то общее решение можно записать в виде
.
Пример 1. Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям: у (0) = 1/32, 
, 
.
Решение. 1) Найдём общее решение последовательным интегрированием данного уравнения:
;
; 
;
.
2) Для нахождения частного решения необходимо определить константы С 1, С 2, С 3, С 4. Подставим начальные условия в полученные нами уравнения:
Видим, что С 1 = 0, С 2 = 1/4, С 3 = 0, С 4 = 0. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
.
Уравнения, не содержащие искомой функции и производных этой функции до порядка k – 1 включительно
Уравнения, не содержащие искомой функции и производных до порядка k - 1 включительно, можно записать в виде
. (2)
Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой 
, т.е. взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных. Тогда уравнение (2) примет вид
.
Из последнего уравнения можно определить функцию
z = f (x, С 1, С 2, ..., Сn -k ),
а затем найти у из уравнения y(k) = f (x, С 1, С 2,.., Сn -k ) k -кратным интегрированием.
Пример 2. Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям у (2) = 1, 
.
Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, не содержащим искомой функции.
1. Найдём общее решение данного уравнения. Полагая 
, преобразуем уравнение
к виду
. (3)
Это неоднородное линейное уравнение первого порядка. Решим его методом Лагранжа.
Сначала найдём общее решение соответствующего однородного линейного уравнения первого порядка:
.
Для этого разделим переменные и проинтегрируем:
, где 
.
Затем найдём общее решение неоднородного линейного уравнения (3). Пусть
. (4)
Дифференцируя это равенство, получим 
. Подстановка z и в уравнение (3) даёт
(x –1)∙ C ' (x) = x (x – 1) C' (x) = x
.
Подставим последнее равенство в (4), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (3):
.
Так как 
, получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получим общее решение исходного уравнения:
.
2. Для нахождения частного решения необходимо определить константы С 1, С 2. Подставим начальные условия у (2) = 1, 
в полученные нами уравнения:
Решив систему, получим С 1 = –3; С 2 = 1/3. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
.
