Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Теорема 11.1. (Пуассона) Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а p →0, причём n ∙ p = a – величина постоянная, то P n (k) .

По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях  

P n (k)= pkqn-k= pk (1 - p) n-k.

Отсюда

P n (k)= pk (1 - p) n-k= pk (1 - p) n-k.

По условию a = n ∙ p p = , подставляя, получим:

P n (k)= =

=  =

= .

Переходя к пределу при n →∞

= = [ т.к. ].

Замечание 11.2. Теоремой Пуассона удобно пользоваться, когда p →0, причём a = n ∙ p 10.Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных параметров a и k.

Формула Бернулли удобна, когда значение n не очень велико. В противном случае используют приближенные формулы из теорем Муавра-Лапласа.

Теорема 11.3. (локальная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0< p <1, то вероятность того, что событие A появится ровно k раз в n независимых испытаниях

P n (k) , где – малая функция Лапласа, , q =1- p.

Имеются специальные таблицы значений функции . Нужно учитывать, что функция – чётная, т.е. = .

Теорема 11.4. (интегральная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от отлична от 0 и 1, т.е. 0< p <1, то вероятность того, что событие А появится от k 1 до k 2 раз в n независимых испытаниях, определятся выражением:

P n (k 1, k 2) , где – функция Лапласа, , , q =1- p.

Функция Лапласа – нечётная, т.е. . Значения находят по таблице.

Пример 11.5. Пусть вероятность события А в каждом отдельном испытании p =0,8. Найти вероятность того, что событие А появится 75 раз в 100 независимых испытаниях.

 По локальной теореме Муавра-Лапласа х = = = –1,25. Значение (–1,25)= (1,25)=0,1826 находится по таблице.

Тогда вероятность

P100(75) *0,1826 0,04565.

Пример 11.6. Вероятность Р(А) появления события А в одном испытании равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится более 69 раз в 100 независимых испытаниях.

  n =100, p =0,8, q =0,2, k 1 = 70, k 1 = 100.

По интегральной теореме Муавра-Лапласа = = = –1,25, = = = 5. По таблице (-2,5)= - (2,5)= -0,4938, (5)=0,5, P100(70,100) (5) - (-2,5)=0,5+0,4938=0,9938

Случайные величины

Определение 12.1. Случайной величиной Хназывается функция Х(ω), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множество действительных чисел . Т.о. Х(ω): Ω→ .

Пример 12.2. Дважды подбрасывается монета. Рассмотрим случайную величину Х – число выпадений герба, определённую на пространстве элементарных исходов Ω={(г,г),(г,p),(p,г),(p,p)}. Множество возможных значений случайной величины Х-{0,1,2}. Составим таблицу

ω (г,г)  (г,p) (p,г) (p,p)
Х(ω) 2 1 1 0

 

Одной из важнейших характеристик случайной величины является её функция распределения.

Определение 12.3. Функцией распределения случайной величины Хназывается функция F(x)=F X (x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х

F(x)=P{ X < x }=P{ X (-∞; x)}.

Замечание 12.4. Если рассматривать случайную величину Х как случайную точку на оси O x, то функция распределения F(x) с геометрической точки зрения – это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадёт левее точки х.

Свойства функции распределения

Свойство 12.5. Функция распределения F(x) – неубывающая функция, т.е.для  таких, что  выполняется условие F(x) F(x).

Поскольку , то события { }={ }+{ }, по определению функции распределения F()=F()+P{ }.

Т.к. P{ } 0, то F()>F().

Свойство 12.6. Для  таких, что  справедливо равенство P{ }= F()–F().

Замечание 12.7. Если функция распределения F(x) – непрерывная, то свойство 12.6 выполняется и при замене знаков  и < на < и .

Свойство 12. 8.   F(x)=0; F(x)=1.

  F(-∞)=P{ X < -∞ }=P(Ø)=0, F(+ )=P{ X <+ }=P(Ω)=1.

Свойство 12.9. Функция распределения F(x) непрерывна слева ( F(x)=F()).

Свойство 12.10. P{ X x }=1-F(x).

{ X <+∞ }={ X < x }+{ X x }, по свойству вероятности  P{ X <+∞ }=P{ X < x }+P{ X x };

P(Ω)=1= F(x)+ P{ X x }, откуда P{ X x }=1- F(x).



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей | Дискретные случайные величины
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2018-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 180 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Начинайте делать все, что вы можете сделать – и даже то, о чем можете хотя бы мечтать. В смелости гений, сила и магия. © Иоганн Вольфганг Гете
==> читать все изречения...

2312 - | 2095 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.