При изучении величины, принимающей случайные значения (результатов физических измерений в серии экспериментов, экономических показателей, параметров технологических процессов и т.п.), мы имеем дело с выборками. Выборочное наблюдение - это способ наблюдения, при котором обследуется не вся совокупность значений изучаемой величины, а лишь часть ее, отобранная по определенным правилам выборки и обеспечивающая получение данных, характеризующих всю совокупность в целом.
При выборочном наблюдении обследованию подвергается определенная, заранее обусловленная часть совокупности, а результаты обследования распространяются на всю совокупность.
Ту часть единиц, которая отобрана для наблюдения, принято называть выборочной совокупностью или выборкой, а всю совокупность единиц, из которых производится отбор, - генеральной совокупностью.
Число единиц (элементов) статистической совокупности называется ее объемом. Объем генеральной совокупности обозначается N, а объем выборочной совокупности п.
Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того, насколько состав выборки представляет генеральную совокупность, иначе говоря, от того, насколько выборка репрезентативна (представительна).
Элементами выборки (x1 х2,..., хп) являются числовые значения, называемые вариантами, которые могут быть дискретными, т.е. изолированными (например, целыми числами), или могут принимать значения из некоторого интервала (а, b).
Вариационный ряд получается из выборки упорядочением по возрастанию (или убыванию) и подсчетом частоты каждого значения. Если вариационный ряд содержит значения признака и соответствующие ему частоты,то такой ряд носит название дискретный вариационный ряд. Если нам известно, что исследуемый показатель может принимать любые значения из некоторого интервала, то строим интервальный вариационный.
Удобнее всего ряды распределения анализировать с помощью их графического изображения, позволяющего судить о форме распределения. Наглядное представление о характере изменения частот вариационного ряда дают полигон и гистограмма.
Пример 2.1.
Известны следующие данные о результатах сдачи студентами экзамена (в баллах):
| 18 | 16 | 20 | 17 | 19 | 20 | 17 |
| 17 | 12 | 15 | 20 | 18 | 19 | 18 |
| 18 | 16 | 18 | 14 | 14 | 17 | 19 |
| 16 | 14 | 19 | 12 | 15 | 16 | 20 |
Необходимо построить ряд распределения числа студентов по баллу, представить графически результаты.
Введем данные в диапазоне A1: A29, в ячейку A1 введем текст «Балл» (рис.2.6).
Рисунок 2.6. Баллы успеваемости студентов
Определим наименьший и наибольший балл по выборке. Для этого введем в ячейках С1 и С2 соответственно введем формулы =МИН(A2:A29) и =МАКС(A2:A29). Получим значения 12 и 20 соответственно (рис.2.7).
Рисунок 2.7. Минимальный и максимальный балл
Построим вариационный ряд. Для каждого значения необходимо подсчитать частоту. Так как значения признака (балл) отличаются на единицу, то можно воспользоваться следующим способом. В ячейку С4 введем формулу =С1, в С5 соответственно С4+1. Ячейку С5 протянем маркером заполнения (правый нижний угол ячейки) вниз до С12. Результаты представлены на рисунке 2.8.
Рисунок 2.8. Значения признака
Вычислим частоту для каждого значения признака. В ячейку D4 введем формулу =СЧЕТЕСЛИ(A$2:A$29;C4) и протянем D4 маркером вниз до заполнения D12. В ячейке D13 просуммируем частоты с помощью формулы =СУММ(D4:D12).
Получим вариационный ряд (значения признака и соответствующие им частоты) на рисунке 2.9.
Рис.2.9. Частоты вариационного ряда
Вычислим частость (относительную частоту) для каждого значения признака. В ячейку Е4 введем формулу = D4/D$13. Протянем Е4 маркером заполнения вниз до Е12 (рис.2.10).
Рисунок 2.10. Частости ряда распределения
Вычислим накопленные частоты. В ячейку F4 введем формулу =D4, а в ячейку F5 – формулу = D5+F4. Протянем F5 маркером заполнения вниз до F12 (рис.2.11).
Рисунок 2.11. Накопленные частоты ряда
Построим эмпирическую функцию распределения, т.е. найдем наколенные частости. Выделим F4:F12 и маркером заполнения протянем вправо на соседний столбец (рис.2.12). В G4 получим формулу = Е4, в ячейке G5 формулу =Е5+ G4 и т.д.
Рисунок 2.12. Накопленные частости ряда
Построим полигон распределения частот и частостей. Выделим диапазон ячеек С4:D12. Выполним команду меню «Диаграмма» и выберем тип «Точечная», вариант «Точечная с прямыми отрезками и маркерами». Полигон распределения частот представлен на рисунке 2.13.
Рисунок 2.13. Полигон распределения частот
Выделим диапазон ячеек С4:С12 и, удерживая клавишу CTRL, диапазон Е4:Е12. Выполним команду меню «Диаграмма» и выберем тип «Точечная», вариант «Точечная с прямыми отрезками и маркерами». Полигон распределения частостей представлен на рисунке 2.14.
Рисунок 2.14. Полигон распределения частостей
Построим гистограмму распределения частостей, для чего выделим диапазон Е4:Е12, выберем тип диаграммы «Гистограмма». Щелкнем правой кнопкой в области диаграммы, выберем «Выбрать данные», выберете «Ряд» - «Изменить», левой кнопкой щелкнем в строке «Подписи оси Х» и выделим диапазон С4:С12 (рис.2.15).
Рисунок 2.15. Гистограмма распределения частостей
Построим кумуляту частостей, для чего выделим диапазон ячеек С4:С12 и, удерживая клавишу CTRL, диапазон G4:G12. Выполним команду меню «Диаграмма» и выберем тип «Точечная», вариант «Точечная с прямыми отрезками». Кумулята представлена на рис.2.16.
Рисунок 2.16. Кумулята
Пример 2.2.
В таблице 2.7 представлены значения процентных ставок по кредитам по 30 коммерческим банкам.
Таблица 2.7
Банковские процентные ставки
| № Банка | Процентная ставка, % |
| 1 | 20,3 |
| 2 | 17,1 |
| 3 | 14,2 |
| 4 | 11,0 |
| 5 | 17,3 |
| 6 | 19,6 |
| 7 | 20,5 |
| 8 | 23,6 |
| 9 | 14,6 |
| 10 | 17,5 |
| 11 | 20,8 |
| 12 | 13,6 |
| 13 | 24,0 |
| 14 | 17,5 |
| 15 | 15,0 |
| 16 | 21,1 |
| 17 | 17,6 |
| 18 | 15,8 |
| 19 | 18,8 |
| 20 | 22,4 |
| 21 | 16,1 |
| 22 | 17,9 |
| 23 | 21,7 |
| 24 | 18,0 |
| 25 | 16,4 |
| 26 | 26,0 |
| 27 | 18,4 |
| 28 | 16,7 |
| 29 | 12,2 |
| 30 | 13,9 |
Построим интервальный вариационный ряд. Для этого вычислим границы интервалов (карманов) с использованием формулы Стэрджесса.
Введем данные в диапазоне A1:A31 (рис.2.17). Определим максимальное и минимальное значения (ячейки С2 и С3 соответственно) так же как и в примере 2.1. Определим число интервалов по формуле Стэрджесса, для чего в ячейку С6 введем формулу =ЦЕЛОЕ(1+3,322*LOG10(30)) (рис.2.18).
Рисунок 2.17. Процентные ставки банков
Рисунок 2.18. Число интервалов
Вычислим длину интервалов, для чего в ячейке С8 введем формулу =ОКРУГЛ((C3-C2)/C6;2) (рис.2.19).
Рисунок 2.19. Длина интервала
Определим нижние и верхние границы интервалов (карманы), для чего в ячейке Е2 запишем формулу =С2, в ячейке Е3 запишем ==E2+$C$8. Протянем Е3 маркером заполнения вниз до Е7 (рис.2.20).
Рисунок 2.20. Границы интервалов
Подсчитаем частоты – в интервал считаем те значения, которые больше нижней границы интервала или равны ей и меньше верхней границы.
Воспользуемся функцией ЧАСТОТА. Для этого в ячейке F2 введем формулу =ЧАСТОТА(A2:A31;E2:E7). Протянем F2 маркером заполнения вниз до F8.
Формулу в этом примере необходимо ввести как формулу массива. Выделим диапазон F2:F8, нажмем клавишу F2, а затем нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД (рис.2.21).
Если формула не будет введена как формула массива, отобразится только одно ее значение в ячейке F2.
Рисунок 2.21. Частоты значений признака
Также можно воспользоваться средством Пакета анализа (Анализ данных в Office 2007) ГИСТОГРАММА (рис.2.22). Выберем входной интервал, интервал карманов, метки, интегральный процент, поместим результаты на этом же листе (укажем ячейку $H$2).
Рисунок 2.22. Построение гистограммы
Полученная гистограмма представлена на рис.2.23.
Рис.2.23. Гистограмма частот
Замечание. Если диапазон карманов не был введен, то набор отрезков, равномерно распределенных между минимальным и максимальным значениями данных, будет создан автоматически.
