Кривые и области на комплексной плоскасти.

Комплексные числа и действия над ними.

где ,

x - действительная часть комплексного числа z, x=Rez,

y - мнимая часть комплексного числа z, y=Imz,

i - мнимая единица, .

- алгебраическая форма комплексного числа.

Правило: комплексное число в алгебраической форме можно складывать, вычитать и перемножать по закону элементарной алгебра с учетом того, что .

Пусть , .

Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу .

Перемножим,

Деление комплексных чисел: для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое необходимо и числитель, и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю.

Равенство комплексный чисел в алгебраической форме: тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

Изображение комплексного числа на конечномерной плоскости :

В ТФКП нет +∞ и -∞, бесконечность едина, ∞ - внешность окружности бесконечного радиуса (конец любого луча).

- расширенная комплексная плоскость. - рациональные числа).

Модуль вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается :

Любой угол между положительным направление оси Ox и вектором Oz называется аргументом числа z. Главное значение аргумента обозначается - это угол из промежутка ).

Множество всех углов - .

Свойства

1. Справедливы все свойства модуля действительного числа;

3. - расстояние между точками и на комплексной плоскости

Свойства

2 и 3 свойства справедливы для множества z.

Три формы комплексного числа: пусть , тогда

- тригонометрическая формула комплексного числа

- формула Эйлера

- три формы комплексного числа

Комплексное число в показательной форме удобно перемножать(при этом их модули перемножаются, а аргументы складываются), делить (модули делятся, а аргументы вычитаются), возводить в степень(модуль возводится в степень, аргументы на нее умножаются).

Равенство комплексных чисел в показательной форме:

Формула Муавра(извлечение корня n -нной степени):

Свойства

1. Справедливы все свойства показательной функции;

2. формула Эйлера ;

3. - 2π-переодическая функция;

- точки, лежащие на единичной окружности с центром в начале координат.

КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКАСТИ.

Опр1: пусть на промежутке действительной оси задана непрерывная комплекснозначная функция , такая, что (2.1)

Образ промежутка при отображении ф-ии называется непрерывной кривой.

Непрерывна, кривая, означает то должна быть непрерывными ф-ми.

Направление кривой соответствует возрастанию называется положительным направлением кривой (рис)

Опр2: уравнение (2.1) называется – параметрическим уравнением кривой в комплексной форме t – параметр.

- комплексная форма уравнения кривой

– действительная форма уравнения кривой

Опр3: если – кривая называется замкнутой в противном случае разомкнутой. (рис)

Опр4: если для некоторых значений , , то точка – называется т.самопересечения кривой.

Такая кривая называется самопересекающаяся.(рис).

Опр5: кривая без точек самопересечения называется простой или Жордановой кривой.

Опр6: кривая заданная уравнением (2.1) без т. самопересечения (простая) называется гладкой, если ф-ияz(t) непрерывна дифференцируема на . Причем если кривая замкнута то .

Геометрически гладкость кривой означает, что в каждой точке кривой существует касательная, которая меняется, непрерывна с движением точки по кривой (рис).

Опр7: совокупность конечного числа гладких, замкнутых, разомкнутых кривых имеющих м/у собой конечное число общих точек называется кусочно-гладкой линией. (рис)

Опр8: множество М – называется связанным если любые две точки можно соединить непрерывной кривой принадлежащей этому множеству.(рис)

Опр9: связанное открыток множество называется областью (рис)

Д – область: связанное открытое множество

Опр10: точки, в любой окрестности которых содержится как точки принадлежащие области, так и точки не принадлежащие ей - называются граничными точками. Множество всех граничных точек области называются границей области.

Опр11: количество несвязанных м/у собой компонентом границы области называется порядком связанности области.

Компонентами границы м/б замкнутые или разомкнутые кривые, а так же точки.

Примеры:

Положительным направлением обхода границы области считается то направление, при котором область остается слева.(рис)

Ограниченная область – область не содержащая бесконечно удаленную точку.

Непрерывная область – область содержащая (бесконечную удаленную точку – любая точка за пределами окружности бесконечного радиуса).