Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно воспользоваться понятием геометрической вероятности.
Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошен-ная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:
(2.1)
где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L. Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:
(2.1`)
где s – площадь части области, а S – площадь всей области.
В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:
(2.1``)
где v – объем части тела, а V – объем всего тела.
3.Теоремы теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Полная группа событий. Противоположные события.
Теорема1. (теорема сложения). Вероятность р (А + В) суммы событий А и В равна
Р (А + В) = р (А) + р (В) – р (АВ). (2.2)
Доказательство.
Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, тА – число исходов, благоприятных событию А, тВ – число исходов, благопри-ятных событию В, а тАВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле (1.1):
что и требовалось доказать.
Теорему1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С
Р (А + В + С) = р (А) + р (В) + р (С) – р (АВ) – р (АС) – р (ВС) + р (АВС)
Теорема 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
р (А) + р (
) = 1. Доказательство.
Так как А и образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в результате опыта, то есть событие А + является достоверным. Следовательно,
Р (А + ) = 1. Но, так как А и 
несовместны, из (2.4) следует, что Р (А + 
) = р (А) + р (
). Значит, р (А) + р () = 1, что и требовалось доказать.
Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5).
