Решение нелинейного уравнения методом Ньютона

Рассмотрим применение метода Ньютона сначала для решения одного нелинейного уравнения f (х)=0, где f (х) - непрерывно дифференцируемая функция.

Функцию f (х) можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях произвольно взятой точки х ⁽⁰⁾

.                     (1)

Если в многочлене (1) отбросить производные высших порядков и оставить только линейные члены, то получим

,                                                                 (2)

где  - называется поправкой.

Эта операция называется линеаризацией нелинейного уравнения.

Из линеаризованного уравнения (2) можно выразить поправку

                                                                                           (3)

и вычислить новое (первое) приближение к корню

.                                                                                             (4)

Если подставить значение  в f (х), то получим невязку . По величине невязки  можно судить о близости  к корню. Если невязка  значительно отличается от нуля, то требуется вычислять новую поправку , подставляя в линеаризованное уравнение (2) значение . Вычислительная процедура повторяется до тех пор, пока очередная невязка не станет достаточно близкой к нулю.

Таким образом, суть метода Ньютона заключается в линеаризации нелинейного уравнения и решении полученного линейного уравнения на каждой итерации. Значение корня линейного уравнения является очередным приближением к корню решаемого нелинейного уравнения.

Графическая иллюстрация применения метода Ньютона для решения нелинейного уравнения f (х)=0 дана на рисунке.

 

Как видно из рисунка, к действительному корню  нелинейного уравнения приближаемся последовательно от заданного начального приближения х ⁽⁰⁾.

Алгоритм решения нелинейного уравнения f (х)=0  методом Ньютона состоит из следующих действий:

1. Задаем начальное приближение х ⁽⁰⁾.

2. Вычисляем невязку f (х ⁽⁰⁾).

3. Определяем - значение производной (как тангенс угла , образованного касательной к кривой в точке В с осью х).

4. Вычисляем поправку ∆ х ⁽¹⁾ (как катет АС прямоугольного треугольника АВС).

.

5.

f (х)

Определяем новое приближение х ⁽¹⁾= х ⁽⁰⁾-∆ х ⁽¹⁾.

6. Вычисляем невязку f (х ⁽¹⁾) и проверяем условие ε.

Если условие выполняется, то вычислительный процесс заканчивается, в противном случае повторяем действия начиная с 3-го.

Примечание: 1. Значение ε задается в каждом конкретном случае и не должно быть равным нулю, так как итерационный метод не позволяет определить абсолютно точное значение корня (это обычно практически не требуется). Неоправданное снижение значения ε не рекомендуется, поскольку при этом увеличивается число итераций.

2. Если у функции f (х)=0 имеется несколько корней, то метод Ньютона позволяет найти вещественный корень и причем только один в области притяжения которого находится начальное приближение.

 

 

Пример: нужно решить нелинейное уравнение 7 х ³+5 х -1=0                                   (ε = 0,01)

0 итерация           1. х ⁽⁰⁾=0           Зададим х ⁽⁰⁾=0

2. | f (х ⁽⁰⁾)=1|>ε | Начальная невязка f (х ⁽⁰⁾)=1| ≥ε

1 итерация           1.

2.

3. х ⁽¹⁾= х ⁽⁰⁾-∆ х ⁽¹⁾=0-(-0,2)=0,2

4. f (x ⁽¹⁾)=7∙0,2³+5∙0,2-1=0,056                                                          |0,056| > ε

2 итерация      1.

2.

3. х ⁽²⁾= х ⁽¹⁾-∆ х ⁽²⁾=0,2-0,01=0,19

4. f (x ⁽²⁾)=7∙0,19³+5∙0,19-1=0,048+0,95-1=0,002                                 |0,002|< ε

Результаты расчетов целесообразно представить в следующей таблице

№ итерации (к)	тангенс	∆ х (к) поправка	х (к) приближение	f (х (к)) невязка
0	-	-	0	-1
1	5	-0,2	0,2	0,056
2	5,84	0,01	0,19	0,002