Лекции.Орг
 

Категории:


Универсальный восьмиосный полувагона: Передний упор отлит в одно целое с ударной розеткой. Концевая балка 2 сварная, коробчатого сечения. Она состоит из...


Макетные упражнения: Макет выполняется в масштабе 1:50, 1:100, 1:200 на подрамнике...


Искусственные сооружения железнодорожного транспорта: Искусственные сооружения по протяженности составляют в среднем менее 1,5% общей длины пути...

Решение нелинейного уравнения методом Ньютона

Загрузка...

Рассмотрим применение метода Ньютона сначала для решения одного нелинейного уравнения f(х)=0, где f(х) - непрерывно дифференцируемая функция.

Функцию f(х) можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях произвольно взятой точки х(0)

.                     (1)

Если в многочлене (1) отбросить производные высших порядков и оставить только линейные члены, то получим

,                                                                 (2)

где  - называется поправкой.

Эта операция называется линеаризацией нелинейного уравнения.

Из линеаризованного уравнения (2) можно выразить поправку

                                                                                           (3)

и вычислить новое (первое) приближение к корню

.                                                                                             (4)

Если подставить значение  в f(х), то получим невязку . По величине невязки  можно судить о близости  к корню. Если невязка  значительно отличается от нуля, то требуется вычислять новую поправку , подставляя в линеаризованное уравнение (2) значение . Вычислительная процедура повторяется до тех пор, пока очередная невязка не станет достаточно близкой к нулю.

Таким образом, суть метода Ньютона заключается в линеаризации нелинейного уравнения и решении полученного линейного уравнения на каждой итерации. Значение корня линейного уравнения является очередным приближением к корню решаемого нелинейного уравнения.

Графическая иллюстрация применения метода Ньютона для решения нелинейного уравнения f(х)=0 дана на рисунке.

 


Как видно из рисунка, к действительному корню  нелинейного уравнения приближаемся последовательно от заданного начального приближения х(0).

Алгоритм решения нелинейного уравнения f(х)=0  методом Ньютона состоит из следующих действий:

1. Задаем начальное приближение х(0).

2. Вычисляем невязку f(х(0)).

3. Определяем - значение производной (как тангенс угла , образованного касательной к кривой в точке В с осью х).

4. Вычисляем поправку ∆х(1) (как катет АС прямоугольного треугольника АВС).

.

5.

f(х)
Определяем новое приближение х(1)=х(0)-∆х(1) .

6. Вычисляем невязку f(х(1)) и проверяем условие ε.

Если условие выполняется, то вычислительный процесс заканчивается, в противном случае повторяем действия начиная с 3-го.

Примечание: 1. Значение ε задается в каждом конкретном случае и не должно быть равным нулю, так как итерационный метод не позволяет определить абсолютно точное значение корня (это обычно практически не требуется). Неоправданное снижение значения ε не рекомендуется, поскольку при этом увеличивается число итераций.

2. Если у функции f(х)=0 имеется несколько корней, то метод Ньютона позволяет найти вещественный корень и причем только один в области притяжения которого находится начальное приближение.

 

 

 

Пример: нужно решить нелинейное уравнение 7х3+5х-1=0                                   (ε = 0,01)

0 итерация           1. х(0)=0           Зададим х(0)=0

2. |f(х(0))=1|>ε | Начальная невязка f(х(0))=1| ≥ε

1 итерация           1.

2.

3. х(1)=х(0)-∆х(1)=0-(-0,2)=0,2

4. f(x(1))=7∙0,23+5∙0,2-1=0,056                                                          |0,056| > ε

2 итерация      1.

2.

3. х(2)=х(1)-∆х(2)=0,2-0,01=0,19

4. f(x(2))=7∙0,193+5∙0,19-1=0,048+0,95-1=0,002                                 |0,002|< ε

Результаты расчетов целесообразно представить в следующей таблице

№ итерации (к)   тангенс х(к) поправка х(к) приближение f(х(к)) невязка
0 - - 0 -1
1 5 -0,2 0,2 0,056
2 5,84 0,01 0,19 0,002

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Преимущества и недостатки итерационных методов | Клинико-морфологические формы некроза

Дата добавления: 2018-11-11; просмотров: 53 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.004 с.