Преимущества:
1) имеют простую вычислительную процедуру;
2) не требуют сложных специальных процедур для экономии памяти ЭВМ под нулевые элементы матрицы коэффициентов, как метод Гаусса;
3) самоисправление ошибок.
Недостатки:
1) не всегда могут решить систему уравнений (требуется выполнение условий сходимости)
2) сходимость итерационных процессов может быть медленной;
3) корни системы могут быть определены только приближенно с точностью ε.
ТЕМА 2.2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Понятие о системах нелинейных уравнений
И методах их решения
Для примера приведем нелинейные уравнения балансов мощностей в узлах электрической сети, составленных по методу узловых напряжений (без вывода).
Р г i и Q г i - активная и реактивная мощности, генерируемые в i -м узле;
Рнi и Qн i - активная и реактивная мощности нагрузки в i -м узле;
Руi и Qу i - активные и реактивные потоки мощности из узла j к узлу j.
Уравнения балансов активных и реактивных мощностей в узле i
 ;
|
 ,
|
где 
означает, что узел j ‚ принадлежит множеству всех узлов, которые связаны с узлом i.
Формулы для потоков активной и реактивной мощностей от узла к узлу j следующие:
Применяются две системы координат, в которых могут проводиться расчеты:
1) прямоугольная система координат (в комплексном виде);
2) полярная система координат (через тригонометрические функции).
В полярной системе координат выражения для потоков мощности имеют следующий вид:
|
|
где 
;
;
Y – заданные проходимости схемы замещения системы;
P, Q, U, 
- параметры режима, часть из них известна (обычно это мощности нагрузок в узлах, напряжение и угол в базисном узле), остальные являются искомыми переменными, которые следует определить в результате расчета.
Подчеркнем, что нелинейность в уравнениях выражается как наличием в них степеней второго порядка, так и наличием тригонометрических функций.
Для решения систем нелинейных уравнений используются только итерационные методы. В том числе для решения систем нелинейных уравнений могут использоваться методы простой итерации и Зейделя при условии их сходимости.
Пример: дана система нелинейных уравнений
;
.
Приведем к виду удобному для итерации
;
.
Результаты расчетов обоими методами сведем в таблицу (ε=0,001)
| Метод простой итерации | Метод Зейделя | |||||
| № итерации | х 1 | х 2 | № итерации | х 1 | х 2 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0,4 | -0,375 | 1 | 0,4 | -0,425 | |
| 2 | 0,355 | -0,425 | 2 | 0,3422 | -0,412 | |
| 3 | 0,3422 | -0,415 | 3 | 0,3457 | -0,41235 | |
| 4 | 0,345 | -0,412 | 4 | 0,3456 | ||
| 5 | 0,3457 | -0,4122 | ||||
Нелинейные уравнения, составленные для расчетов режимов, обычно сложнее чем в приведенном примере и их не всегда можно решить этими методами. Гораздо лучшую сходимость для решения нелинейных уравнений и вследствие этого большее применение имеет метод Ньютона. Но этот метод имеет более сложную вычислительную процедуру.
Метод Ньютона /2/ (называемый также методом линеаризации или методом касательных) применяется для решения системы нелинейных уравнений. Он эффективен, если известно достаточно хорошее приближение к корням системы нелинейных уравнений.
