Способы сравнения альтернатив

Когда все показатели приведены к нормированному виду, можно приступить к основному этапу на пути сравнения альтернатив — к выбору способа сравнения, приводящему к определению наилучшей альтернативы из множества возможных.

Рассмотрим основные подходы.

5.4.1. Метод построения обобщенного критерия состоит в том, что из множества критериев выбирается один в качестве основного (главного), все остальные рассматриваются как ограничения. Ранжирование критериев и определение наиболее приоритетного может быть основанием для реализации задачи принятия решения по данному способу. Например, если бы в деловой игре в качестве основного был принят первый показатель — стаж работы в компании, и на показатель «возраст авто» было бы наложено ограничение, например 3 года, то можно было бы сразу в качестве лучшего решения принять вариант 2.

5.4.2. Введение некоего обобщенного показателя W, представляющего собой «взвешенную сумму» частных показателей y_i (i = 1 ,… I), в которую каждый из них входит с каким-то «весом» ω _i, отражающим его важность, представим следующей формулой:

, где I — число частных показателей.

Весовые коэффициенты могут меняться в зависимости от ситуации.

Пример. Человек выходит из дома, боится опоздать на работу и размышляет, каким транспортом воспользоваться:

1) автобус — быстрее, но с большими интервалами;

2) такси, но это обойдется дорого;

3) часть пути можно проехать на метро, а затем взять такси.

Задача принятия решения сводится к двум показателям:

Первый и _t — среднее ожидаемое время, которое хотелось бы минимизировать; второй и _c — стоимость проезда, ее желательно минимизировать. Но эти требования несовместимы, человек должен принять компромиссное решение. Обобщенный показатель будет иметь следующий вид:

W = ω _t • и _t  + ω _c • и _c

Весовые коэффициенты ω _t, ω _c  зависят от времени и денег, которые имеются у человека, и зависят от ситуации, в которой он находится. Если человек уже получил выговор от начальника за опоздание, то весовой коэффициент времени у него увеличится, а весовой коэффициент стоимости уменьшится. Однако на следующий день после заработной платы будет наоборот. Если назначать «веса» произвольно, то столь же произвольным будет и вытекающее отсюда оптимальное решение. Здесь мы встречаемся с типичным для подобных ситуаций приемом — «переносом произвола из одной инстанции в другую». Как пишет Е.С. Вентцель[42]: «Нечего надеяться полностью избавиться от субъективности в задачах, связанных с выбором решений. Даже в простейших, однокритериальных задачах она неизбежно присутствует, хотя бы в выборе показателя и математической модели». Тем более, неизбежна субъективность в задачах со многими критериями, что следует из системного анализа.

В качестве иллюстрации метода приведем расчеты по примеру из деловой игры на основании данных из таблицы 5.3.2. Обобщенный показатель для каждой альтернативы (варианта) будет определяться по следующим формулам:

W (B ₁) = 0.25 • ∙ 1 + 0.19 • ∙0 + 0.31 • 0 + 0.25 • ∙ 1 = 0.5

W (B ₂) = 0.25 • ∙ 0.57 + 0.19 • ∙1 + 0.31 • ∙0.5 + 0.25 • ∙ 0 = 0.488

W (B ₃) = 0.25 • ∙ 0.5 + 0.19 • 0.67 + 0.31 • ∙0.25+ 0.25 • ∙ 1 = 0.582

W (B ₄) = 0.25 • ∙ 0.14 + 0.19 • ∙0.33 + 0.31 • ∙0.75 + 0.25 • ∙ 1 = 0.578

W (B ₅) = 0.25 • ∙ 0 +0.19 • 1 + 0.31 • ∙1 + 0.25 ∙ 0 = 0.5

На основе полученных результатов наибольшее значение обобщенного показателя соответствует альтернативе B ₃. Поэтому наилучшим выбором будет передача нового автомобиля «Шевроле» работнику по имени Иван.

5.4.3. Выбор наилучшего решения из эффективных «паретовских» решений.

Рассмотрим суть данного подхода. Пусть имеется многокритериальная задача с несколькими критериями, т. е. W = (y ₁, y ₂, … y _I).. Для простоты предположим, что все их необходимо максимизировать. Пусть в составе множества возможных решений есть такие, что все критерии для первого решения больше или равны соответствующим критериям для второго решения.  Для иллюстрации подхода рассмотрим измененные альтернативы из деловой игры, тогда будем иметь следующие варианты:

W (B ₁) = (y ₁₁, y ₁₂, y ₁₃, y ₁₄) = (1, 0, 0,1);

W (B ₂) = (y ₂₁, y ₂₂, y ₂₃, y ₂₄) = (0.57, 1, 0.5, 0);

W (B ₃) = (y ₃₁, y ₃₂, y ₃₃, y ₃₄) = (0.5, 0.67, 0.75, 1);

W (B ₄) = (y ₄₁, y ₄₂, y ₄₃, y ₄₄) = (0.14, 0.33, 0.25, 1);

W (B ₅) = (y ₅₁, y ₅₂, y ₅₃, y ₅₄) = (0, 1, 0, 0).

Например, сравнение варианта 3 и варианта 4, показывает, что по первым двум показателям третий вариант превосходит четвертый, однако по третьему показателю условие превосходства не выполняется:

W (B ₃) ~ W (B ₄) → y ₃₁ > y ₄₁, y ₃₂ > y ₄₂, y ₃₃ > y ₄₃, y ₃₄ = y _44.

Другую ситуацию имеем при сравнении варианта 2 и варианта 5:

W (B ₂) ~ W (B ₅) → y ₂₁ > y ₅₁, y ₂₂ > y ₅₂, y ₂₃ > y ₅₃, y ₂₄= y _54.

Очевидно, что в составе множества решений нет смысла оставлять вариант 4 и 5, так как они не представляются перспективным, и поэтому эти варианты вытесняются или, как говорят, «доминируются», соответственно вариантами 2 и 3. Варианты 4 и 5 являются неконкурентоспособными. В результате описанной процедуры отбрасываются непригодные варианты (решения), множество оставшихся решений уменьшается, и в нем сохраняются так называемые «эффективные», или «паретовские», решения, характерные тем, что ни у одного из них не существует доминирующего решения. Анализ действительных вариантов возможных решений деловой игры показывает, что такими «паретовскими», недоминируемыми, вариантами являются все пять вариантов — B ₁, B ₂, B ₃, B ₄, В ₅ (см. табл. 5.3.2.). В приведенном примере множество возможных решений не сократилось, но возможны задачи, в которых число неэффективных вариантов может быть значительно больше.

Таким образом, множество Парето содержит только те варианты, которые не доминируются другими вариантами. После того как получены «паретовские» варианты, можно воспользоваться первым приемом сведения к обобщенному показателю уже только для недоминируемых вариантов.

5.4.4. Построение обобщенного критерия основано на определении качества альтернатив как расстояния между некой «идеальной» и рассматриваемой альтернативой. В качестве идеальной обычно принимается альтернатива, которой соответствуют наилучшие значения по всем показателям.

Наилучшим (целесообразным) по такому правилу будем считать вариант, у которого расстояние в пространстве координат, определяемое разностью показателей до «идеала» среди всех рассматриваемых альтернатив, минимально. Расстояние измеряется как корень квадратный из суммы квадратов разности координат идеала и сравниваемого варианта, либо как разница показателей «идеала» и сравниваемой альтернативы. Та альтернатива, у которой сумма расстояний до «идеального» варианта будем минимальна, считается наилучшей.

В качестве сравниваемых вариантов следует брать недоминируемые варианты.

Расчеты по этому способу несложны, правила позволяют учитывать любые количественные и формализованные качественные характеристики. Следует только предварительно преобразовывать критерии к одной шкале. Если это не сделать, то в различных масштабах будут и различные расстояния. Для этого подойдут описанные выше способы нормирования показателей, т. е. приведения их к шкале: [0, 1]. Проиллюстрируем на примере по данным деловой игры, описанном в предыдущих пунктах. В п. 5.4.2. были получены недоминируемые варианты:

B ₁ =(17, 2, 5, 1);

B ₂ = (11, 5, 3, 0); B ₃ = (10, 4, 4, 1);

B ₄ = (5; 3; 2; 1); B ₅ = (3; 5; 1; 0); 

Теперь запишем их в нормированном виде:

B ₁ = (1; 0; 0; 1);

B ₂ = (0.57; 1; 0.5; 0); B ₃ = (0.5; 0.67; 0.25; 1); 

B ₄ = (0.14; 0.33; 0.75; 1); B ₅ = (0; 1; 1; 0); 

Определим «идеальный» вариант B _ид = (1; 1; 1; 1). Проводим сравнение каждого варианта с «идеальным» и определяем значения по следующей формуле:

, где l —номер варианта (альтернативы).

Оптимальным будет считаться тот вариант, который ближе к «идеальному», т. е. определяется min(Δ W_l) по всем вариантам.

Для рассмотренного примера min(Δ W_l) достигается для l = 3, наилучшей альтернативой является первая, так как она ближе к «идеальному» варианту.

5.4.5. Использование теории полезности

Основоположники теории — фон Нейман и Моргенштерн. В теории полезности[43] производится измерение ценности различных свойств по единой шкале полезности. Полезности свойств объединяются, и мы имеем уже скалярную функцию полезности. Эта теория является аксиоматической и опирается на довольно простые интуитивные предположения. Не вдаваясь в подробное обсуждение аксиом, приведем некоторые из них, которые называются «постулатами рациональности».

Прежде всего, теоретически предполагается, что множество альтернатив с точки зрения их полезности может быть упорядочено, так как любые две альтернативы можно сравнить по их предпочтению. Первый постулат рациональности требует, чтобы полезности альтернатив составляли частично упорядоченное множество. Второй постулат, выражаемый теоремой транзитивности, означает согласованность предпочтений различных альтернатив, т. е. если одна альтернатива предпочтительней другой, а вторая — третьей, то первая будет предпочтительней третьей. Достоинство математической теории полезности состоит, прежде всего, в том, что она дает возможность ввести количественную оценку полезности, измерять ее по интервальной шкале. Такая интервальная шкала основывается не на метрическом, а на сравнительном понятии полезности, так как не всегда можно выразить полезность числом, иногда лишь с помощью математических сравнительных понятий «больше», «меньше», «равно». Тем не менее, такое сравнение оказывается весьма эффективным средством для исследования проблемы полезности различных альтернатив. Количественная оценка полезности альтернатив предполагает введение математической функции полезности по двум концепциям.  В теории фон Неймана и Моргенштерна реализована возможность измерить статистически ожидаемую полезность, в концепции Сэвиджа — субъективно ожидаемую полезность.

Теория полезности может быть использована на различных этапах развития и управления конфликтом. Люди, вступающие в конфликт, могут пользоваться различными шкалами ценности (полезности) при формулировании своих целей и сопоставлении их с внешними условиями. Когда стороны осознают это, они могут вступить в переговоры, чтобы «сравнить полезности», высказать и разъяснить свои цели и достичь соглашения на основе компромисса.

Приведем классическую модель принятия решения английского математика Томаса Бейеса, предложенную им еще в XVIII в. Эта модель легла в основу многих теорий, в том числе в основу теории полезности. Проиллюстрируем эту модель на простом примере[44].

Предположим, что нам предстоит поездка в Прибалтику осенью, когда там часто бывают дожди и туманы. Для поездки мы можем выбрать либо поезд, либо самолет. Какой выбор при этом окажется наилучшим? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо прежде всего оценить выбор поезда и самолета с точки зрения полезности, т. е. в данном случае затраты времени на поездку. Допустим, что нам потребуется на поезде затратить 12 часов, а на самолете 2 часа. Ясно, что при прочих равных условиях выбор самолета окажется наилучшим с указанной нами точки зрения. Однако необходимо учесть еще условия, которые определяют выбор, а именно состояние погоды в Прибалтике. Поэтому мы должны учесть вероятность различных погодных условий в Прибалтике, так как при густом тумане аэропорт не может принять самолет и нам придется вместо 12 часов на поезде затратить, скажем, все 28 часов. Иными словами, наряду с количественной оценкой полезности нашего выбора следует учесть еще и вероятность условий, которые также влияют на выбор. Схематично всю задачу принятия решения можно представить в виде матриц — полезности || и _li || и вероятности || p_li || где: L — альтернативы, J — возможные условия, представленных таблицами 5.4.5, 5.4.6, 5.4.7.

 

Таблица 5.4.5

Условия Выбор	Густой туман	Ясная погода
Поезд	– 12	– 12
Самолет	– 28	– 2

Использование отрицательных чисел для измерения затраты времени на поездку кажется здесь вполне обоснованным. Чтобы перейти к положительным числам, необходимо преобразовать исходную матрицу в эквивалентную матрицу, прибавив к каждому элементу матрицы число 28. В итоге получаем:

Таблица 5.4.6

Условия Выбор	Густой туман	Ясная погода
Поезд	16	16
Самолет	0	26

Поскольку вероятность погоды не зависит от выбора поезда или самолета, то, зная вероятность, скажем ясной погоды, можно вычислить вероятность густого тумана. Если первая вероятность равна р, то вторая будет равна 1–р, так как эти события составляют полную группу событий. Если туман и ясная погода одинаково возможны, то матрица вероятностей будет иметь весьма простой вид:

Таблица 5.4.7

0.5	0.5
0.5	0.5

Чтобы определить ожидаемую полезность первого выбора (поезда), надо перемножить соответствующие элементы строки матрицы полезности на соответствующие элементы матрицы вероятности и результаты сложить. Также поступают при вычислении ожидаемой полезности второго действия (выбор самолета). Общая формула будет иметь следующий вид:

.

Для данного примера будем иметь:

Поезд —    W ₁ =16 ∙0.5 + 16 ∙ 0.5 =16

Самолет — W ₂ =  0 ∙ 0.5 + 26 ∙ 0.5=13

Отсюда непосредственно видно, что поскольку первое действие имеет наибольшую ожидаемую полезность, то человек, принимающий решение, должен выбрать именно его.

.

Приведенный пример иллюстрирует основные идеи модели принятия решений, предложенной Бейесом. Он также дает возможность сравнить эту модель с тем интуитивным способом принятия решений, которым пользуется всякий разумный человек.