КЛЕЙН (Klein) Кристиан Феликс (1849—1925) — немецкий математик, глава математического мира и ос­нователь одного из основных центров мировой науки первой четверти 20 в.

КЛЕЙН (Klein) Кристиан Феликс (1849—1925) — немецкий математик, глава математического мира и ос­нователь одного из основных центров мировой науки первой четверти 20 в. — Геттингенской физико-мате­матической школы. Исследования К. оказали определя­ющее влияние на дальнейшее развитие математики и физики. Иностранный член Петербургской академии наук (1905), член-корр. Берлинской академии наук (1913), тайный советник и представитель Университе­та Геттингена в верхней палате Парламента Пруссии. Окончил Университет Бонна (1865, доктор философии с 1868). Большое влияние на К. в этот период оказали активные научные контакты с математиками К.Жорданом и С.Ли. Профессор Университета Эрлангена (1872), Высшей технической школы Мюнхена (1875), Университета Лейпцига (1880), Университета Геттин­гена (с 1886 и до ухода из жизни), декан математичес­кого факультета Университета Геттингена и созданного при нем Института математики (с 1890). К. был глав­ным редактором ведущего математического журнала мира "Mathematische Annalen" (1876—1914), руководи­тель работ по изданию полного собрания сочинений К.Ф.Гаусса (1898—1918), организатор и председатель "Международной комиссии по преподаванию математи­ки" (с 1898, сыгравшей большую роль в дальнейшем прогрессе в этом направлении). Основные труды: "Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований" (1872), "Лекции о римановой теории ал­гебраических функций и их интегралов" (1882), "Теория эллиптических модулярных функций" и "Теория автоморфных функций" (1890—1912, в четырех томах, в соавт. с Р.Фрикке), "Теория волчка" (1898—1910, в четы­рех томах, в соавт. с А.Зоммерфельдом), "Энциклопедия математических наук" (1898—1934, в шести томах), "Элементарная математика с точки зрения высшей" (1908), "Лекции о развитии математики в 19 столетии" (1925) и др. К. вел свои исследования в основном в об­ласти неевклидовых геометрий, а также теорий автоморфных и эллиптических функций, алгебраических уравнений, непрерывных групп. Основополагающие идеи К. в области геометрии изложены в "Сравнитель­ном обозрении новейших геометрических исследова­ний", получившем известность как "Эрлангенская про-

463

грамма К.". До рубежа 1820—1830-х понятие "геомет­рия" полностью отождествлялось с понятием "евкли­дова геометрия". На рубеже 1820—1830-х были опуб­ликованы работы Лобачевского и Л.Больяи по гипербо­лической геометрии. В конце 1860-х Б.Риман постули­ровал равноправность евклидовой, гиперболической и эллиптической "геометрий постоянной кривизны". Понселе начал изучать проективную (полностью неза­висимую от евклидовой), а Мебиус — круговую гео­метрии. В работах К. исследовались "общие" проек­тивные метрики и геометрии Евклида, и неевклидо­вых геометрий Лобачевского и Б.Римана. В Эрлангенской программе К. предложил теоретико-групповой подход к понятию "геометрия". Так как "содержание каждой науки можно описать, указав те объекты, кото­рые эта наука рассматривает, и те свойства этих объек­тов, которые изучаются в рамках интересующей нас науки", то К. фиксировал некоторое множество преоб­разований и принимал изучение сохраняющихся при этих преобразованиях свойств геометрических фигур за выделенное направление геометрии, соответствую­щее указанному множеству преобразований. Фактиче­ски К. определял любую геометрию областью дейст­вия (плоскость, пространство и т.п.) и группой симме­трии (автоморфизмов), причем новая группа симмет­рии дает новую геометрию. При этом, как пишет И.М.Яглом, "основное различие... евклидовой и ги­перболической геометрии К. видит вовсе не в возмож­ности проведения через данную точку одной или не­скольких прямых, не пересекающих указанную пря­мую — второстепенное и довольно малосущественное различие, — а лишь в разном строении групп симмет­рии евклидовой и гиперболической плоскостей". Рабо­тая в области неевклидовых геометрий, К. однако ин­терпретировал их только как структуры, возникающие при метризации геометрии Евклида новыми метрика­ми (функциями определения расстояния между точка­ми пространства). До создания теории относительнос­ти Эйнштейна — Пуанкаре многие научные лидеры от­казывали неевклидовым геометриям в признании их такой же фундаментальности и применению к внешне­му миру, что и евклидова геометрия. Работы К. оказа­ли существенное влияние на А.Пуанкаре, который сов­местно с Эйнштейном является одним из создателей специальной теории относительности. Установление связи между моделью Пуанкаре (плоской) неевклидо­вой геометрии Лобачевского и теорией автоморфных функций К. дало "геометрический ключ ко всей тео­рии" /специальной теории относительности — C. C./. К. являлся автором тезиса о важной роли "обычных" приемов математического творчества, а также абстрак­ции и идеализации: "примитивная интуиция не точна,

а утонченная интуиция вообще не является интуицией, а возникает в результате логического вывода из акси­ом". К. был убежден в возможности построения непро­тиворечивой теории на основании понятия "бесконечно малая". По К., для этого необходимо отказаться от акси­омы вещественных чисел Архимеда. В своих работах, как писал А.Н.Колмогоров, "К. стремился раскрыть внутренние связи между отдельными направлениями математики и между математикой, с одной стороны, физикой и техникой — с другой". В 1908 в одной из своих речей К. предостерегал против "чистой" матема­тики и "чрезмерной свободы в создании произвольных математических структур", являющихся "смертью вся­кой науки". Для К. геометрические аксиомы "не произ­вольные, а вполне разумные утверждения, как правило опирающиеся на наше восприятие пространства. Точ­ное содержание геометрических аксиом определяется их целесообразностью". При этом аксиома Евклида о параллельных, "как того требуют наглядные представ­ления, выполняется лишь с точностью, не превышаю­щей определенные пределы". В книге "Лекции о разви­тии математики в 19 веке" К. противопоставлял при­кладную ориентацию математической физики начала 19 в. и абстрактность идей математики 20 в.: "матема­тика в наши дни напоминает крупное оружейное произ­водство в мирное время. Витрина заполнена образцами, которые своим остроумием, искусным и пленяющим глаз выполнением восхищают знатока. Собственно про­исхождение и назначение этих вещей, их способность стрелять и поражать врага отходят в сознании людей на задний план и даже совершенно забываются". В тече­ние многих лет К. стремился объединить в Геттингене выдающихся ученых того времени, с тем, чтобы их сов­местные работы и активные научные контакты создали идеальные условия для научного творчества. К. пригла­сил в свой физико-математический центр нобелевского лауреата физика-теоретика М.Борна; В Геттингенской школе теоретической физики работали, например, фи­зик-ядерщик Р.Оппенгеймер (позднее — руководитель работ по созданию ядерного оружия) и один из создате­лей квантовой механики В.Гейзенберг. Были приглаше­ны выдающиеся кенигсбергские математики Гильберт и Г.Минковский. К. на протяжении всего своего творче­ства оставался ученым, для которого математика "явля­ется вполне живой наукой, которая беспрестанно вклю­чает в себя все новые проблемы, обрабатывает их, от­брасывает устаревшие, и, таким образом, она все вновь и вновь омолаживается". К. считал, что математика раз­вивается "подобно дереву, которое разрастается не пу­тем тончайших разветвлений, идущих от корней, а раз­брасывает свои ветки и листья вширь, распространяя их зачастую вниз, к корням... В основных исследовани-

464

ях в области математики не может быть окончательно­го завершения, а вместе с тем и окончательно установ­ленного первого начала".

C.B. Силков