Кафедра физики
В.Г. Бекетов
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ РЕАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Методическое пособие
для студентов факультета экономики и управления
Москва, 2018
ВВЕДЕНИЕ
Хочу купить новый смартфон!
Сколько же денег мне собрать? Сколько стоит смартфон?
Залезаю в Интернет. Какая красота! Какой выбор! Тут и Apple, и НТС, иLG, и Meizu, и Nokia, и Samsung, и Sony, и Xiaomi. И какой разброс цен!
Останавливаю свой выбор на айфонах Apple. Смотрю цены. От 8900 до 52900 рублей. Сколько же стоит айфон Apple? Получается 
рублей. Оказывается, нельзя ответить точно на вопрос, сколько стоит айфонApple. В цене айфонов есть неопределенность в 22000 рублей, намного превышающая цену самого дешевого из них. Но это цены за разные модели айфонов.
Хорошо. Выберу AppleiPhone 7 128 GB. На одном сайте мне предлагают его за 47900рублей, на другом – за 46900 рублей. Опять получается неопределенность в 500 рублей: (47400 
500) рублей. А есть еще скидки от разных операторов связи. Итак, на вопрос, сколько стоит AppleiPhone 7 128 GB, нельзя ответить точно.
Теперь хочу узнать свой вес. Становлюсь на весы. Стрелка остановилась между 64 – ю и 65 – ю килограммами (на самом деле весы показывают не вес, а массу!). Итак, я вешу более шестидесяти четырех и меньше шестидесяти пяти килограммов. А как узнать поточнее? Нужно взять более точные весы. Я узнаю не только число килограммов, но и число граммов. Это будет точно? Нет! Ведь еще есть миллиграммы, микрограммы, нанограммы, пикограммы и т.д. до бесконечности. Значит, мой точный вес должен состоять из бесконечного числа цифр: 65,285452764587465…….. кг. Но таких весов просто нет, и даже, если бы они были, такое число записать невозможно! На какой бы цифре мы не остановились, все равно останется неопределенность.
Делаю вывод: любое число, взятое из реальной жизни, не может быть точным, потому что содержит неопределенность.
Многолетняя практика преподавания физики показала, что понятие числа и его точности является одним из самых трудных понятий для многих студентов. Вот один из примеров.
Предлагаю вопрос, сколько тысяч содержится в числе 2999 рублей? Большинство людей ответят на него – две тысячи. И только некоторые из них увидят в этом числе три тысячи. А ведь так оно и есть. Здесь три тысячи! Чтобы это увидеть, нужно воспринять вопрос так: сколько тысячерублевых купюр нужно иметь, чтобы оплатить эту сумму? Вот из-за этой наивности большинства людей и процветают рекламодатели.
Эта наивность воспитана у людей в школе на уроках математики. В математике все числа, с какими мы встречались при решении задач, считались абсолютно точными. Они как бы «падали с неба», и никто не сомневался в их точности.
Понятие реального числа и особенно числа в физике принципиально отличается от понятия числа в математике. Например,в математике дробь 
= 0,42857142… – бесконечная дробь с периодом, равным 428571.. В физике же дробь – это приблизительное число, равное 0,4 0,1. В чем же дело?
Физика, в отличие от математики, является отраслью естествознания. Физика – наука о природе, пронизанная количественными отношениями между различными физическими величинами. Вместе с тем все эти количественные соотношения базируются на законах и формулах математики. Поэтому, изучая физику, нужно отчетливо представлять себе, откуда берутся те или иные числа. Любое число в физике– это результат измерения, вычисления или подсчета числа предметов. Во всех этих случаях возможны ошибки. Поэтому любое число в физике всегда приблизительное.
А существуют ли абсолютно точные числа? Да! Это числа, пришедшие из математики. Вспомним известные формулы геометрии. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Объем прямого кругового конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Здесь 2 и 3 – абсолютно точные числа. Такими же точными они останутся в формулах физики, основанных на приведенных выше формулах геометрии. Например, в формуле для кинетической энергии
поступательного движения тела массы 
, движущегося со скоростью 
,или для момента инерции
стержня массы и длины 
относительно его конца. Неопределенность в значения кинетической энергии и момента инерции вносят масса, скорость и длина, но не числа 2 и 3. Также абсолютно точными можно считать любые другие доли: 
, 
и т.д.
Абсолютно точными являются числа 
и 
. Но эти числа содержат бесконечную непериодическую дробную часть. Поэтому, сколько бы цифр мы не написали, эти числа все равно будут иметь неопределенность.
ЧИСЛА И ЦИФРЫ
Число – это одно из основных понятий математики, служащее для определения количества чего-то. Результаты измерений и расчетов записываются с помощью чисел. Все физические величины выражаются числами с соответствующими единицами измерения. Числа состоят из цифр.
Цифрами называются знаки для обозначения числа. Цифр всего десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
В разговорной речи слова «цифра» и «цифры» часто используются вместо слова «число». В математике и физике такая подмена недопустима.
Числа состоят из целой и дробной частей. Дробную часть числа принято записывать в виде десятичной дроби. Каждая цифра в числе стоит на определенном месте, которое называется разрядом. Разряды с их наименованиями изображены ниже на схеме.
| 11111,11111 |
| тысячи сотни десятки единицы |
| десятые сотые тысячные десятитысячные |
| Целая часть числа |
| Дробная часть числа |
Любое число можно записать в стандартном виде с помощью степени с основанием 10. В стандартном виде целая часть числа содержит только разряд единиц. В разряде единиц может стоять любая цифра от 1 до 9 кроме 0. Остальные цифры числа находятся в его дробной части. Для сохранения разряда исходного числа используется множитель 
, где показатель n равен максимальному номеру разряда исходного числа.
Например, число 5237, в котором максимальный разряд – тысячи, в стандартном виде должно быть записано так: 5,237∙103, а число 0, 0005237, в котором максимальный разряд – десятитысячные, должно быть записано так: 5,237∙10-4.
ТОЧНОСТЬ ЧИСЛА.
Источником числовых данных о различных физических величинах могут быть только измерения. Подсчет предметов, в результате которого мы получаем некоторое натуральное число, также будем считать измерением. Любой результат измерения не может быть абсолютно точным и обязательно содержит в себе некоторую неопределенность. Чем меньше эта неопределенность, тем точнее само число.
Измерения физических величин осуществляются с помощью соответствующих измерительных приборов. При этом, как правило, производится отсчет измеряемой величины по шкале прибора: измерения линейных размеров по шкале линейки, штангенциркуля или микрометра; измерения температуры по шкале термометра, измерения силы тока по шкале амперметра и т.д. Во всех случаях результат измерения может быть записан в виде числа с конечным набором цифр. Число цифр определяется числом разрядов, имеющихся на шкале измерительного прибора. Покажем это на следующем примере.
| 2 3 |
Рис. 1.
Пусть мы измеряем длину отрезка с помощью обычной школьной линейки, кусочек которой показан на рис. 1.
Шкала линейки разделена на равные отрезки, длина каждого из которых равна 1 см. Каждый из этих отрезков в свою очередь разделен на десять равных отрезков длиной в 1 мм. Таким образом, шкала этой линейки является двухразрядной. Измеренная с помощью такой линейки длина отрезка может быть записана в виде числа, содержащего только две верные цифры: число сантиметров и число миллиметров. Если длина отрезка не составляет целое число миллиметров, то цифра, записанная в следующем разряде десятых долей миллиметра, будет приблизительной. Следовательно, сама длина отрезка будет выражена приблизительным числом.
В отличие от шкалы школьной линейки шкала микрометра, предназначенного для измерения небольших диаметров круглых отверстий и цилиндров, является четырехразрядной. С помощью специального механизма каждый миллиметр в микрометре разделен на 100 равных частей. Измеренный микрометром диаметр должен быть записан в виде числа, содержащего четыре верные цифры: число сантиметров, число миллиметров, число десятых долей миллиметра и число сотых долей миллиметра. Если диаметр, измеренный микрометром, составил, например, ровно 12 миллиметров, то результат измерения должен быть записан так:
R = 12,00 мм.
Кстати заметим, что четырехразрядные шкалы в измерительных приборах встречаются очень редко. Как правило, мы имеем дело с двухразрядными шкалами.
Таким образом, точного значения любой величины мы не знаем. Результаты ее измерения позволяют с некоторой вероятностью утверждать, что значение этой величины находится в интервале, который называется доверительным интервалом.
Абсолютная неопределенность данной величины принимается равной половине этого доверительного интервала. Принято говорить, что абсолютная неопределенность величины равна полуширине доверительного интервала.
Итак, все числа, с которыми мы имеем дело при решении задач, являются приближенными. Они записываются с помощью конечного количества цифр, которое зависит от разрядности шкалы приборов, с помощью которых эти числа были получены. Количество цифр связано с точностью этого числа. Сказанное относится и к числовым данным задачи, и к результатам расчетов. Следовательно, численный результат решения задачи всегда будет приблизительным. Причем, как будет показано дальше, точность результата, полученного при решении задачи, всегда будет меньше точности исходных данных.
Как правило, числовые данные задачи и результаты расчетов записываются без указания неопределенности. Принято считать, что все цифры записанного конкретного числа являются точными за исключением последней. Последняя цифра числа содержит некоторую неопределенность. Модуль неопределенности этой последней записанной цифры принимают равным 1. При этом неопределенность последней цифры считается абсолютной неопределенностью самого числа, причем в том разряде, в котором и находится эта последняя цифра.
Например, в числе 4,53 верными считаются цифры 4 и 5, а цифра 3 имеет неопределенность±1. При этом неопределенность самого числа равна ± 0,01. С указанием неопределенности этого числа оно должно быть записано так:
4,53 ± 0,01.
Внимание! Если число содержит только одну цифру, оно не может считаться верным.
Сама по себе абсолютная неопределенность числа не свидетельствует о точности этого числа. Например, одна и та же абсолютная неопределенность в 1 мм для отрезка, сама длина которого составляет 1 мм, очень велика, а для отрезка с длиной в 1 метр вполне приемлема.
Точность числа определяется его относительной неопределенностью. Относительная неопределенность – это отношение абсолютной неопределенности к самому числу. Относительную неопределенность принято выражать в процентах, то есть, умножать полученное отношение на 100 %. (Напомним, что один процент от какой-то величины – это просто одна сотая этой величины, а 100 % = 1).
Рассмотрим два числа с одинаковым набором цифр: 1,23 и 123. Какое из них точнее? Точность числа 1,23 равна 0,01/1,23 = 1/123, точность числа 123 равна 1/123. Значит, точности разных по величине (разряду) чисел с одинаковым набором цифр одинаковы. Например, число 123 г и число 123 кг имеют одинаковую точность, хотя само первое число в 1000 раз меньше второго. Как видим, точность числа никак не связана с разрядами этого числа, а зависит только от количества так называемых значащих цифр.
Цифры, составляющие число, могут играть двойную роль. Во-первых, они нужны для обозначения разряда числа. Во-вторых, они указывают на точность этого числа. Цифры, указывающие на точность числа, называются значащими цифрами. За каждой значащей цифрой стоит соответствующий разряд шкалы измерительного прибора, с помощью которого это число получено. Напомним, что в случае двухразрядной шкалы число значащих цифр равно двум.
Какие цифры являются значащими?
1) Все цифры числа, отличные от нуля, являются значащими.
2) Если число начинается с нуля и содержит дробную часть, то все нули, стоящие до первой цифры, отличной от нуля, не являются значащими.
3 ) Все нули, находящиеся внутри числа между цифрами, отличными от нуля, являются значащими.
4) Все нули, стоящие в конце дробной части числа, являются значащими.
Например, в числе 200,50500 все 8 цифр являются значащими, а в числе 0,00028500 из 9 цифр первые четыре нуля не являются значащими, и поэтому в этом числе 5 значащих цифр: 2, 8, 5, 0, 0.
Чтобы в этом убедиться, нужно представить эти числа в стандартном виде. Напоминаю, что мы при записи этих чисел не имеем право отбрасывать никакие цифры, в том числе и нули.
Особую трудность в понимании смысла точности числа представляют нули, стоящие в начале и в конце числа. Сравним, например, два числа: 2 см и 2,0 см. С точки зрения арифметики эти числа равны. Цифра «0» во втором числе для обозначения разряда не нужна. Следовательно, она указывает на точность и является значащей. Теперь сравним два числа: 2 см и 0,02 м. Опять-таки с точки зрения арифметики эти числа равны. Нули в записи второго числа необходимы только для обозначения разряда и, следовательно, не являются значащими.
Если число содержит дробную часть, то все первые нули, если они есть, не являются значащими цифрами, а все последние нули, если они есть, являются значащими цифрами.
Например, в числе 0, 00250 первые три нуля не являются значащими цифрами, а последний ноль является значащим, поскольку для обозначения разряда он не нужен. Он указывает на точность числа.
Если число заканчивается нулями и не содержит дробную часть, то последние нули в целой части числа необходимы для обозначения его разряда, но они ничего не говорят о точности самого числа. Например, сколько значащих цифр в числе 2000? Если нам не указали, какова неопределенность этого числа, то мы не сможем сказать, сколько в нем значащих цифр. Ведь мы видим только одну цифру 2 и можем прочесть это число как 2 тысячи – одна значащая цифра. А вот, если это число записано так: 2000,0, то сразу можно сказать, что в нем 5 значащих цифр, четыре верные: 2, 0, 0,0 и последняя цифра 0 содержит неопределенность.
Чтобы выяснить точность числа, заканчивающегося нулями и не содержащего дробной части, его нужно записать в стандартном виде. Если нули окажутся последними в дробной части числа, то единственным их назначением будет указание на точность этого числа, и они будут значащими цифрами.
Например, в записи числа 2000 нельзя обойтись без трех нулей, иначе это число превратится в 2. А если это число записать в стандартном виде 2,000∙103, то без этих трех нулей можно было бы обойтись. Ведь, числа 2; 2,0; 2,00 и 2,000 по величине совершенно одинаковы. Значит, эти нули необходимы для обозначения точности числа:
2 – это 2 ± 1,
2,0 – это 2,0 ± 0,1,
2,00 – это 2,00 ± 0,01,
2,000 – это 2,000 ± 0,001.
Так неопределенность числа 2 равна 1/2 = 50 %, неопределенность числа 2,0 равна 1/20 = 5 %, неопределенность числа 2,00 равна 0,5 %, а неопределенность числа 2,000 равна 0,05 %. Мы видим, что с ростом количества значащих цифр относительная неопределенностьуменьшается, и точность числа растет.
Теперь сформулируем правила подсчета значащих цифр:
