Формулы для интервала и радиуса сходимости степенного ряда

¨ Все коэффициенты ряда , т.е. ряд содержит все целые положительные степени выражения .

В этом случае:

или .

(Данные формулы следует использовать осторожно, так как эти пределы часто не существуют (например, это имеет место, если степенной ряд содержит члены только с четными или только с нечетными степенями выражения .)

¨ Коэффициенты ряда — любые числа.

В этом случае:

степенной ряд рассматривается как функциональный ряд общего вида

и применяются общие формулы, определяющие интервал сходимости:

; .

17. Теорема (Дифференцирование и интегрирование степенных рядов)

Ряды, полученные почленным дифференцированием или интегрированием степенного ряда

имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд, и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной или интегралу от суммы исходного ряда, т.е.:

Ряды Тейлора и Маклорена

Формула Тейлора.

Для функции , имеющей все производные до порядка включительно в некоторой окрестности точки , справедлива формула Тейлора:

где

19. Теорема (Ряд Тейлора)

Пусть функция — бесконечно дифференцируема (имеет производные всех порядков) в некотором интервале .

Тогда:

1. если функция может быть разложена в этом интервале

в сходящийся к ней степенной ряд по степеням , то этот ряд

(ряд Тейлора) имеет вид:

или

2. При получается частный случай ряда Тейлора – ряд Маклорена:

3. Ряды Тейлора и Маклорена сходятся к функции только в том случае, если при остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при , т.е. если:

(Если , то ряд может сходиться, но уже не к функции ).

Ряды Фурье

20. Определение (Условия Дирихле)

Говорят, что функция удовлетворяет условиям Дирихле в интервале длины , если в этом интервале:

1. функция кусочно-монотонна (имеет конечное число экстремумов);

2. функция непрерывна, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, т.е. в точках существуют конечные пределы:

21. Определение (Ряд Фурье)

Рядом Фурье периодической функции с периодом называется тригонометрический ряд

Числа называют коэффициентами Фурье.

В частности, для периодической функции с периодом ( т.е. ) ряд Фурье имеет вид

22. Замечание

Можно показать, что интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна длине периода, имеет всегда одно и то же значение.

Поэтому коэффициенты Фурье периодической функции периода можно записать в виде:

где любое действительное число.

23. Теорема (Дирихле)

Если периодическая функция (периода ) удовлетворяет в интервале условиям Дирихле, то ряд Фурье функции сходится для любого , его сумма равна:

1. , т.е.

для всех точек, в которых функция непрерывна;

2. ,

где точка разрыва 1-го рода функции ;

— на концах промежутка.

24. Замечание

Если доопределить функцию в точках разрыва и на концах промежутка соответствующими значениями суммы ряда Фурье ,

т.е. принять

;

то можно считать, что при выполнении условий Дирихле ряд Фурье функции сходится к ней для любого :

25. Ряд Фурье для четных функций

Если — четная функция периода , то:

;

Ряд Фурье для четной функции содержит только свободный член и косинусы:

26. Ряд Фурье для нечетных функций

Если — нечетная функция периода , то:

;

Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусы:

27. Определение (Функция с «двойной симметрией»)

Если функция периода четная или нечетная и удовлетворяет условию

то говорят, что функция обладает «двойной симметрией».

График функции с «двойной симметрией» симметричен относительно прямой .

28. Ряд Фурье функций с «двойной симметрией» периода :

¨ если функция четная, то коэффициенты ее разложения в ряд Фурье

определяются так:

¨ если функция нечетная, то коэффициенты ее разложения в ряд Фурье

определяются так:

29. Ряд Фурье для функций с «двойной симметрией» периода

1. Ряд Фурье для четной функции с «двойной симметрией», периода , имеет вид:

2. Ряд Фурье для нечетной функции с «двойной симметрией», периода , имеет вид:

30. Комплексная форма ряда Фурье