¨ Все коэффициенты ряда 
, т.е. ряд содержит все целые положительные степени выражения 
.
В этом случае:
или 
.
(Данные формулы следует использовать осторожно, так как эти пределы часто не существуют (например, это имеет место, если степенной ряд содержит члены только с четными или только с нечетными степенями выражения .)
¨ Коэффициенты ряда 
— любые числа.
В этом случае:
степенной ряд рассматривается как функциональный ряд общего вида
,
и применяются общие формулы, определяющие интервал сходимости:
; 
.
17. Теорема (Дифференцирование и интегрирование степенных рядов)
Ряды, полученные почленным дифференцированием или интегрированием степенного ряда
,
имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд, и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной или интегралу от суммы исходного ряда, т.е.:
Ряды Тейлора и Маклорена
Формула Тейлора.
Для функции 
, имеющей все производные до 
порядка включительно в некоторой окрестности 
точки 
, справедлива формула Тейлора:
где
.
19. Теорема (Ряд Тейлора)
Пусть функция — бесконечно дифференцируема (имеет производные всех порядков) в некотором интервале 
.
Тогда:
1. если функция может быть разложена в этом интервале
в сходящийся к ней степенной ряд по степеням , то этот ряд
(ряд Тейлора) имеет вид:
,
или
.
2. При 
получается частный случай ряда Тейлора – ряд Маклорена:
.
3. Ряды Тейлора и Маклорена сходятся к функции только в том случае, если при 
остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при 
, т.е. если:
.
(Если 
, то ряд может сходиться, но уже не к функции ).
Ряды Фурье
20. Определение (Условия Дирихле)
Говорят, что функция удовлетворяет условиям Дирихле в интервале 
длины 
, если в этом интервале:
1. функция кусочно-монотонна (имеет конечное число экстремумов);
2. функция непрерывна, за исключением конечного числа точек 
разрыва первого рода, т.е. в точках существуют конечные пределы:
,
.
21. Определение (Ряд Фурье)
Рядом Фурье периодической функции с периодом называется тригонометрический ряд
Числа 
называют коэффициентами Фурье.
В частности, для периодической функции с периодом 
( т.е. 
) ряд Фурье имеет вид
22. Замечание
Можно показать, что интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна длине периода, имеет всегда одно и то же значение.
Поэтому коэффициенты Фурье периодической функции периода можно записать в виде:
где 
любое действительное число.
23. Теорема (Дирихле)
Если периодическая функция (периода ) удовлетворяет в интервале 
условиям Дирихле, то ряд Фурье функции сходится для любого 
, его сумма 
равна:
1. 
, т.е.
,
для всех точек, в которых функция непрерывна;
2. 
,
где 
точка разрыва 1-го рода функции ;
3. 
— на концах промежутка.
24. Замечание
Если доопределить функцию в точках разрыва 
и на концах промежутка соответствующими значениями суммы ряда Фурье ,
т.е. принять
;
,
то можно считать, что при выполнении условий Дирихле ряд Фурье функции сходится к ней для любого 
:
25. Ряд Фурье для четных функций
Если — четная функция периода 
, то:
;
.
Ряд Фурье для четной функции содержит только свободный член и косинусы:
26. Ряд Фурье для нечетных функций
Если — нечетная функция периода , то:
;
.
Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусы:
27. Определение (Функция с «двойной симметрией»)
Если функция периода 
четная или нечетная и удовлетворяет условию
,
то говорят, что функция обладает «двойной симметрией».
График функции с «двойной симметрией» симметричен относительно прямой 
.
28. Ряд Фурье функций с «двойной симметрией» периода 
:
¨ если функция четная, то коэффициенты ее разложения в ряд Фурье
определяются так:
.
¨ если функция нечетная, то коэффициенты ее разложения в ряд Фурье
определяются так:
29. Ряд Фурье для функций с «двойной симметрией» периода 
1. Ряд Фурье для четной функции с «двойной симметрией», периода , имеет вид:
2. Ряд Фурье для нечетной функции с «двойной симметрией», периода , имеет вид:
30. Комплексная форма ряда Фурье
