Фильтры, построенные на основе метода переменных состояния

 

Изображенный на рис. 5.18 двухполюсный фильтр куда более сложен по сравнению с фильтрами на ИНУН, но он широко применяется благодаря повышенной устойчивости и легкости регулировки. Он называется фильтром на основе метода переменных состояния.

 

 

Рис. 5.18. Фильтр, построенный на основе метода переменных состояния.

 

Этот фильтр выпускается в виде интегральной схемы фирмами National (AF100 и AF150), Burr‑Brown (серия UAF) и другими. Поскольку этот фильтр является готовым модулем, то все элементы у него встроенные, за исключением резисторов R_G, R_Q и двух R_F. Среди прочих достоинств этой схемы существенна возможность путем коммутации выходов получать из одной схемы фильтры верхних и нижних частот, а также полосовой фильтр. Кроме того, частоту фильтра можно регулировать при неизменном значении добротности Q (или неизменной полосе пропускания – по выбору) характеристики в полосе пропускания. Как при работе с фильтрами на ИНУН, несколько секций могут быть соединены каскадно для создания фильтров более высоких порядков.

Изготовители этих интегральных схем предлагают для пользователей подробные расчетные формулы и таблицы. Они дают рекомендации по выбору номиналов сопротивлений внешних резисторов для получения фильтров Баттерворта, Бесселя и Чебышева разных порядков; при этом можно получать фильтры с характеристиками верхних, нижних частот или полосовые и полосноподавляющие. Привлекательной особенностью этих гибридных схем является то, что в модуль встроены конденсаторы; так что остается добавить только внешние резисторы.

Полосовые фильтры. Несмотря на большое число схемных элементов, фильтр, построенный на основе метода переменных состояния, представляется наиболее удачной схемой для реализации (высокодобротных) полосовых фильтров. Он обладает низкой поэлементной чувствительностью, не предъявляет высоких требований к ширине полосы пропускания ОУ, а также прост в настройке. Например, в представленной на рис. 5.18 схеме, используемой в качестве полосового фильтра, с помощью двух резисторов R_F устанавливается центральная частота полосы пропускания, в то время как резисторы R_Q и R_G совместно определяют добротность Q и коэффициент усиления в полосе пропускания

R_F = 5,03·10⁷/ f₀ Ом,

R_Q = 10⁵/(3,48 Q + G – 1) Ом,

R_G = 3,16·10⁴ Q / G Ом.

Следовательно, можно сделать настраиваемый по частоте фильтр с фиксированной добротностью Q при использовании в качестве резистора R_F двухсекционного переменного резистора (потенциометра). С другой стороны, переменным можно сделать резистор R_Q, при этом получается фильтр с фиксированной частотой и изменяемой добротностью Q (и, к сожалению, с переменным коэффициентом передачи).

_{Упражнение 5.4. Необходимо рассчитать номиналы резисторов показанной на рис. 5.18 схемы, используемой в качестве полосового фильтра с f 0 = 1 кГц, Q   = 50 и G   = 10.}

 

На рис. 5.19 изображена полезная модификация полосового фильтра на основе метода переменных состояния.

 

 

Рис. 5.19. Фильтр с независимой регулировкой усиления и добротности Q  

 

Недостатком является использование в ней четырех ОУ, достоинство же заключается в возможности регулировать ширину полосы пропускания (т. е. добротность Q) без изменения коэффициента усиления в полосе. Действительно, как добротность Q, так и коэффициент усиления устанавливаются единственным резистором. Добротность Q, коэффициент усиления и центральная частота полосы пропускания полностью независимы и задаются следующими простыми соотношениями:

f ₀ = 1/2π R_FC, Q = R₁ / R_Q, G = R₁ / R_G,

R ~= 10 кОм (значение некритично, подгоняемое).

Биквадратные фильтры.   Наиболее близко к фильтру на основе метода переменных состояния примыкает изображенный на рис. 5.20 так называемый биквадратный фильтр. В этой схеме также используются три ОУ и ее можно сконструировать с помощью упомянутой ранее ИС на основе метода переменных состояния.

 

 

Рис. 5.20. Биквадратный фильтр.

 

Замечательным свойством такого фильтра является возможность регулировки его частоты (с помощью R_F) при сохранении постоянности ширины полосы пропускания (это предпочтительнее, чем сохранение неизменности добротности Q). Далее предлагаются расчетные уравнения:

f ₀ = 1/2π R_FC, BW = 1/2π R_BC, G = R_B / R_G.

Сама добротность Q определяется как f₀ / BW и равна R_B / R_F. При изменении значения центральной частоты (с помощью R_F) пропорционально изменяется и добротность Q, при этом сохраняется неизменной ширина полосы пропускания Qf₀.

Когда вы проектируете биквадратный фильтр вчерновую (правильнее использовать ИС активного фильтра, которая уже содержит большинство необходимых элементов), то основная методика определяется следующим образом:

1. Выберем ОУ с шириной полосы пропускания f_с, которая по крайней мере в 10–20 раз превышает Qf₀.

2. Подберем округленный номинал конденсатора, ближайший к следующему значению С = 10/ f₀ мкФ.

3. Используем требуемое значение центральной частоты для расчета значения сопротивления R_F согласно приведенному выше первому уравнению.

4. Используем второе расчетное уравнение для вычисления по заданному значению ширины полосы пропускания номинала сопротивления R_G.

5. Исходя из требуемого коэффициента передачи на центральной частоте полосы пропускания и согласно третьему расчетному уравнению получаем значение сопротивления R_G.

Если расчетные значения сопротивлений получаются слишком велики или слишком малы, что неудобно в некоторых случаях, то можно подобрать другой номинал конденсатора. Например, в высокодобротном фильтре потребуется использовать увеличенное значение конденсатора С, отчасти с тем чтобы предотвратить существенное увеличение значение сопротивления R_B (или можно использовать описанную в разд. 4.19 Т‑образную цепь). Следует отметить, что каждое из сопротивлений R_F, R_B и R_G является нагрузкой для ОУ и, следовательно, их значение не должно становиться меньше, скажем, 5 кОм. Манипулируя номиналами элементов схемы, можно найти их значения, так чтобы просто удовлетворялось требование 1 путем уменьшения коэффициента передачи интегратора (увеличение значения R_F) при соответствующем увеличении коэффициента передачи инвертирующего каскада (увеличение значения резистора обратной связи, которое в исходной схеме составляет 10 кОм).

Для иллюстрации предположим, что желательно спроектировать фильтр с теми же характеристиками, как в последнем упражнении. Мы должны начать с того, что временно зададим С = 0,01 мкФ. Затем найдем R _F = 15,9 кОм (f₀ = 1 кГц) и R_B = 796 кОм (Q = 50; BW = 20 Гц). Наконец, R_G = 79,6 кОм (G = 10).

_{Упражнение 5.5. Необходимо спроектировать полосовой фильтр со следующими параметрами: f 0 = 60 Гц, BW   = 1 Гц и G   = 100.}

 

Полосовые фильтры высокого порядка. Как и для рассмотренных ранее фильтров нижних и верхних частот имеется возможность проектировать полосовые фильтры более высоких порядков с приблизительно плоской полосой пропускания и крутым переходом к полосе задерживания. Это можно сделать с помощью каскадного соединения нескольких полосовых фильтров более низкого порядка, комбинируя их таким образом, чтобы обеспечить характеристику фильтра требуемого вида (Баттерворта, Чебышева и любые другие). Как и раньше фильтр Баттерворта имеет «максимально плоскую» характеристику, в то время как фильтр Чебышева удовлетворяет требованиям плоской характеристики в полосе пропускания при крутых скатах (переходной области).

Только что рассмотренные полосовые схемы, такие как фильтры на ИНУН, биквадратные фильтры и фильтры на основе метода переменных состояния, являются фильтрами второго порядка (два полюса). Увеличение крутизны характеристики фильтра путем добавления дополнительных секций приводит, как правило, к ухудшению переходной и фазо‑частотной характеристик. Сама «ширина полосы пропускания» полосового фильтра определяется как ширина характеристики между точками –3 дБ, кроме, естественно, равноволновых фильтров, для которых эта ширина определяется точками, где характеристика спадает на величину пульсации в полосе пропускания.

В справочниках по активным фильтрам или в технических руководствах по применению ИС активных фильтров приводятся таблицы и методики проектирования таких сложных фильтров. Существует также несколько прекрасных программ по расчету фильтров, которые предназначены для недорогих машин (IBM PC, Macintosh).

 

 

5.09. Двойной Т‑образный фильтр‑пробка

 

Изображенная на рис. 5.21 пассивная RC‑цепь имеет бесконечное затухание на частоте, равной f_c = 1/2π RC.

 

 

Рис. 5.21. Пассивный двойной T‑образный фильтр‑пробка.

 

Такое бесконечное ослабление для RС‑фильтров, вообще говоря, не характерно – данный фильтр действует столь эффективно благодаря сложению двух сигналов, которые на частоте среза имеют разность фаз в 180°. Получение достаточно близкого к нулю значения характеристики на частоте f_c требует хорошего согласования элементов. Этот фильтр называется двойным Т‑образным и может употребляться для устранения сигнала помехи, например сетевой наводки 60 Гц. Трудность состоит в том, что характеристика этой цепи такая же «мягкая», как и у всех пассивных RC‑цепей, и лишь в окрестности частоты f_c обрывается почти отвесно. Например, двойная Т‑образная цепь, управляемая идеальным источником напряжения, имеет затухание 10 дБ на частоте, равной удвоенной (или половинной) частоте f_c, и ослабление 3 дБ на частоте, равной учетверенной (или деленной на четыре) частоте f_c. Один из способов улучшить характеристику этой цепи – сделать ее «активной» – по типу фильтра Саллена и Ки (рис. 5.22).

 

 

Рис. 5.22. Т‑образный фильтр со следящей связью.

 

Эта идея кажется в принципе хорошей, но на практике разочаровывает из‑за невозможности сохранения хорошего затухания на частоте нуля. Дело в том, что при увеличении резкости провала характеристики (большее усиление в петле следящей связи) ослабление на частоте нуля уменьшается.

Двойные Т‑образные фильтры выпускаются в виде готовых модулей на диапазон частот от 1 Гц до 50 кГц с глубиной ослабления на частоте провала около 60 дБ (с некоторым ухудшением при высоких и низких температурах). Такие фильтры легко собрать из отдельных элементов, но для получения глубокого и стабильного провала следует выбирать конденсаторы и резисторы со стабильными параметрами и низкой температурной зависимостью. Один из элементов должен быть регулируемым.

Двойной Т‑образный фильтр функционирует прекрасно при фиксированной частоте провала, но основные трудности возникают при попытке сделать его перестраиваемым, поскольку три резистора необходимо изменять одновременно, сохраняя постоянным их соотношение. Однако замечательная своей простотой изображенная на рис. 5.23, а RC‑схема, которая ведет себя аналогично двойной Т‑образной схеме, может перестраиваться в широком диапазоне частот (по крайней мере две октавы) с помощью единственного потенциометра.

Подобно двойному Т‑образному фильтру (как и большинство активных фильтров), для него требуется провести определенное согласование элементов; в этом случае номиналы всех трех конденсаторов должны быть идентичны, а значение фиксированного резистора должно точно в шесть раз превышать значение нижнего (регулируемого) резистора. Сама частота подавления определяется следующим образом:

f_{провала} = 1/2п С √(3 R₁R₂)

На рис. 5.23, б показана реализация этого фильтра, которая перестраивается в диапазоне от 25 до 100 Гц. Подстроечный резистор с номиналом 50 кОм позволяет установить максимальную глубину провала.

 

 

 

Рис. 5.23.  Регулируемый фильтр‑пробка на основе мостового дифференцирующего звена. Допускается настройка схемы б в диапазоне от 25 до 100 Гц.

 

Как и в случае пассивной двойной Т‑образной схемы, этот фильтр (известный как мостовой дифференциатор) имеет пологое нарастание затухания за пределами точки провала и бесконечное затухание (при условии идеального согласования значений всех элементов) на самой частоте провала. Его также можно «активировать» с помощью подачи на отвод потенциометра следящей связи с усилителя напряжения, как правило, с коэффициентом передачи меньше единицы (как на рис. 5.22).

Увеличение коэффициента передачи в петле следящей связи, а именно его приближение к единице, сужает ширину провала, а также приводит к появлению нежелательного пика характеристики со стороны более высоких частот относительно провала, наряду со снижением обеспечиваемого затухания.