Глава 1. Испытание математикой

АЛЕКСАНДР ЛОБОК.

 

Д Р У Г А Я М А Т Е М А Т И К А,

или Как сформировать математическое мышление у детей 6-10 лет

 

У этой книги было много предварительных названий.

 "Математика, которой никогда не было". "Путешествия по тетради в клеточку". "Счастливая математика для Вашего ребенка". Ну и, наконец, самое неожиданное: "Терапия математикой".

В сущности говоря, все эти названия в той или иной мере отражают суть той книги, которая предлагается Вашему вниманию, и ниже я постараюсь показать, что это действительно так.

 

Математика, которой никогда не было

 

В самом деле, математика, представленная в настоящей книге - это математика, не имеющая аналогов в современной школьной дидактике а также среди тех математических пособий и учебников, на которые опирается в преподавании начальной школьной математики вся современная школа. Поэтому воистину это "математика, которой никогда не было". Но не в том смысле, что автор изобретает некую непонятную математику, которая не имеет никакого отношения к системе математического знания. Скорее, наоборот: в книге развернуто доказывается, что как раз практикуемая в массовой начальной школе математика является в значительной мере "псевдоматематикой", имеющей весьма приблизительное отношение к системе современного математического знания. И одну из своих задач автор видит как раз в том, чтобы приблизить содержание начального математического образования к “серьезной” математике.

Правда во второй половине XX века уже было осуществлено несколько попыток более или менее радикально обновить начальное математическое образование с ориентацией на современную науку; увы, все эти попытки следует признать в той или иной мере неудачными. Почему? Да потому прежде всего, что в этих попытках недостаточно учитывалась специфика мышления ребенка 6-10-летнего возраста. Скажем, тогда, когда курс брался на формирование у ребенка младшего школьного возраста сетки сугубо понятийного математического мышления (возможно одна из наиболее ярких попыток такого рода представлена в созданной Д.Б. Элькониным и В.В. Давыдовым концепции развивающего обучения).

Всякие попытки поднять мышление ребенка начального школьного возраста до понятийно-научного уровня современной математики (даже если это были филигранно выполненные попытки развивающего обучения) "зависали" в пространстве беспредметных абстракций, не отвечая потребностям детского мышления и вызывая у детей хроническую головную боль, а у учителей неистребимую ностальгию по "старой, доброй арифметике".

В настоящей книге предложена целостная концепция обновления начальной школьной математики совершенно иного рода. Эта концепция опирается на особое понимание возрастных возможностей и потребностей учащихся начальной школы, описанное еще в классических психологических исследованиях Пиаже и Выготского. Это понимание рассматривает мышление ребенка 6-10 лет как принципиально допонятийное мышление, а потому требующее совершенно особых средств учебной работы. Таких средств учебной работы, которые позволили бы ребенку вступить в понимающий диалог с миром глубочайших математических абстракций на принципиально ДОПОНЯТИЙНОМ уровне. А ключ к пониманию того, как возможно допонятийное понимание математики, дает идея математического ОБРАЗА. Математический образ — это и есть та допонятийная мыслительная структура, которая должна стать основным предметом формирования в математике начальной школы. А основным средством формирования математических образов становится математическое моделирование.

Таковы стратегические идеи, на которых держится здание выстраиваемой в настоящей книге математики. И это идеи, которые вступают в резкое противоречие с идеями, на которых до сих пор держалось преподавание математики в начальной школе. По сути, речь идет о двух педагогических парадигмах. И нетрудно понять, что столкновение этих образовательных парадигм может оказаться травматичным и болезненным для учителей, которые сегодня работают в начальной школе. В самом деле, все, о чем ведется речь в этой книге, резко противоречит тому, чему этих учителей учили в институтах и училищах и тому, что принято именовать важным словом "федеральный стандарт".

Конечно, все было бы гораздо проще, если бы предлагаемая мною книга претендовала на роль "дополнительной математики": мол, пусть в школе все идет так как есть, а кто хочет, тот пусть пользуется этой книгой как дополнительным пособием... Увы, этот номер не проходит. Вся книга выстроена КАК ЖЕСТКАЯ АЛЬТЕРНАТИВА той начальной математике, которую вынуждены сегодня преподавать тысячи учителей, и у меня нет оснований скрывать, что в ней бросается вызов всей этой традиционной математике. Вызов с позиций здравого смысла, современного математического знания и определенного понимания возрастных психологических особенностей ребенка, обучающегося в начальной школе. И чем больше читатель настоящей книги будет погружаться в ее содержание, тем неотвратимей будет вывод о том, что традиционная математика начальной школы себя практически исчерпала.

Вместе с тем надо понимать, что настоящая книга представляет собой не более чем НАБРОСОК математики нового типа. Ведь за традиционной математикой – многие десятилетия упорной методической работы сотен тысяч учителей и множество технологически отработанных учебников и учебных пособий. Что же касается математики, описываемой в настоящей книге, то она пока еще находится в процессе создания и потому по максимуму открыта критике, спорам и возражениям. Это прежде всего ПРОВОКАЦИЯ альтернативы и описание уже полученных результатов как содержательной альтернативы тому, что существует в современной начальной школе.

Но даже если читатель книги не согласится со столь глобальной постановкой вопроса, он будет вынужден признать, что в настоящей книге представлен комплекс совершенно оригинальных математических задач и учебных технологий, не имеющих аналогов в современной школьной дидактике ни с точки зрения содержания, ни с точки зрения обучающей эффективности.

 

От унижения математикой к терапии математикой

 

Впрочем, дело даже не в том, что настоящая книга - это альтернативный учебник математики, который с помощью умного учителя поможет сотням тысяч детей старшего дошкольного и младшего школьного возраста ПОНЯТЬ математику. Это книга, благодаря которой ребенок сможет пережить математику… с чувством острого наслаждения. И сможет почувствовать подлинное счастье от знакомства с миром математики.

Ведь ни для кого не секрет, что одна из трагедий сегодняшней школьной математики состоит в ее глубокой ОТЧУЖДЕННОСТИ от ребенка. Миллионы детей, "проходящих" математику в начальной и средней школе, воспринимают ее как мир абстрактной "цифири", бесконечно далекой от мира их собственных, личных смыслов. И дело вовсе не в том, что "задачки", которые приходится решать детям, излишне сложны. Беда в том, что школьные математические задачи имеют крайне незначительное отношение к собственному, личному миру ребенка: ребенок в начальной школе все время занимается математикой "про других", но совершенно не занимается математикой "про себя". А в результате математика воспринимается ребенком как нечто принципиально чуждое, внешнее, нимало не отвечающее за формирование его ЛИЧНЫХ смыслов. Но еще печальнее то обстоятельство, что миллионы детей, изучающих математику в начальной, а особенно в средней школе, переживают такую страшную вещь, как УНИЖЕНИЕ МАТЕМАТИКОЙ. Это когда ребенок на протяжении долгих школьных лет переживает чувство своей непроходимой математической тупости, а учитель всячески поддерживает в нем это чувство либо в щадящей форме ("ну что поделаешь - у него гуманитарные мозги!"), либо в форме откровенно циничной и злобной (“ну ты тупой!” и т.п. - не буду множить примеры, поскольку они известны всякому). И дело даже не в отдельных репликах того или иного конкретного учителя. Миллионы людей, прошедших цикл школьного математического обучения, искренне верят в то, что они беспросветно тупы математически, а время, затраченное на изучение математики, считают напрасно потерянным временем.

Тем не менее, я осмелюсь утверждать, что настоящая книга дает ключ к тому, как можно СФОРМИРОВАТЬ математические способности и математическую интуицию практически у любого ребенка. А это, согласитесь, более чем рискованная заявка. Тысячи учителей математики во всем мире убеждены в том, что сформировать математические способности невозможно, что они "от Бога", и что причина "математической невменяемости" миллионов детей, не понимающих математику, в природной ограниченности последних.

Однако не следует торопиться с обвинениями автора книги в педагогическом шарлатанстве. Тем более, что ее содержание –это не плод досужего умствования, а результат многолетних экспериментов в ряде российских школ.

На сегодня можно считать практически доказанным тот факт, что предлагаемая нами модель начального математического образования позволяет сформировать глубокие структуры математического понимания практически у любого ребенка и дает ключ к решению многих традиционных для математического образования проблем. Формирование самих структур математического понимания, формирование мира математических смыслов составляет важнейшее содержание описываемой математики, в каждом своем шаге раскрывающейся как глубоко философская и психологическая дисциплина. Это математика, с помощью которой происходит самораскрытие внутреннего мира ребенка, происходит его личностная самореализация. Это математика, с помощью которой ребенок осуществляет восхождение в мир смыслов, и потому эта математика, осуществляющая смыслотерапию и психотерапию личности ребенка. Таким образом, если традиционная математика – это вечный источник головной боли и психологических травм для миллионов учащихся, то новая математика глубоко терапевтична по своему существу.

 

Математика из другого мира

 

С точки зрения тех образовательных норм, на которые ориентирована современная массовая школа, представленная в настоящей книге модель образования может показаться кому-то сумасшедшей. В самом деле, в ней подвергнуты ревизии основные идеи и принципы, на которых держится традиционная школа. В предлагаемой модели образования фактически упразднены урок, и урочный план, предметное разделение учебного материала и сам учебный материал как материал, который нужно "учить"; учебная программа и учебник… Взамен же предлагается нечто абсолютно странное для школы: работа с культурным контекстом, психодраматизация как мотивационная пружина обучения, математика как поиск личностных смыслов, моделирование "бытия в культуре" как мозаики культурных событий, рождающихся “здесь и теперь”, движение по ненаправленной, вероятностной траектории и т.п… Есть от чего закружиться голове!

“И вы утверждаете, что нашлась в России такая школа, и нашлись такие чиновники от образования, которые позволили осуществить эксперимент такого масштаба?!” – спросит недоверчивый читатель. –

Да, нашлись. Причем – в разных городах. И с каждым годом таких школ и таких чиновников становится все больше. Слишком очевидны и значительны результаты.

А началось все в 1990 году, когда при Октябрьском РОНО г. Екатеринбурга была создана экспериментальная лаборатория ненаправленного (вероятностного) образования. Именно тогда заведующий РОНО Владимир Юрьевич Козлов дал полный карт-бланш на проведение этого самого невероятного в истории отечественной педагогики эксперимента, а Ирина Владимировна Христосенко разработала и построила уникальную систему психологического наблюдения за его ходом и за развитием детей в условиях беспрограммного и безучебникового образования.

Но самое удивительное заключается в том, что обучение при этом не только состоялось, но и привело к целому ряду достаточно неожиданных содержательных последствий.

 Я имею в виду в первую очередь открытие необычайных возможностей авторской письменной речи первоклассника, переворачивающее все привычные представления о том, что есть письмо в начальной школе. Первоклассники, с невиданной энергией переплавляющие в письменную речь поэтические образы, являющиеся им откуда-то из глубин их сознания, - это казалось каким-то чудом, перечеркивающим все привычные представления о том, какой должна быть письменная речь семилеток. И что характерно: эта прорывная письменная речь первоклассников - речь, насыщенная невероятно мощной образностью и удивительно непохожая на унылость и заурядность традиционного для первоклассников письма - явилась как бы оборотной стороной предложенного нами математического образования. Свободная фантазия математического моделирования находила в образной письменной речи свое как бы естественное развитие и дополнение. Но самое главное, математика и язык оказались представлены и явлены как взаимодополнительные и взаимообусловленные способы ЛИЧНОСТНОГО бытия ребенка в мире, а не как сфера мертвой "предметности", усваиваемой ребенком во имя торжества той или иной школьной программы.

Таким образом, погружаясь в мир "другой математики" - математики, представленной на страницах настоящей книги, - следует помнить, что ее ПОСТОЯННОЙ оборотной стороной в реальном учебном процессе являлась ПОЭЗИЯ свободного детского слова, ПОЭТИКА свободной детской фантазии. Причем переход математики в поэтику а поэтики в математику происходил в сознании ребенка семилетнего возраста легко и органично - разумеется, в той мере, в какой учитель не был скован идеей урочного плана и был открыт этому переходу.

Правда, в настоящей книге я пытаюсь абстрагироваться от чисто языкового пласта работы; однако читатель должен иметь в виду, что преподавание ТАКОЙ математики будет непрерывно открывать в ребенке все новые и новые возможности свободного языкового высказывания, и потому учитель математики просто обязан быть тонким филологом. Математика в том виде, в котором она изложена в настоящей книге - это математика языковых провокаций, математика глубоких смыслов, и потому эта математика по необходимости предполагает совершенно иную модель языкового образования по сравнению с той, что принята в школе. Что ж, когда-нибудь дойдет дело и до нее. Но пока… Пока я был вынужден из целостной практики вероятностного образования вычленить лишь ту его составляющую, которая представляет математическую предметность.

Впрочем, даже при таком предметном ограничении предлагаемая вниманию читателя книга весьма многогранна и многослойна. С одной стороны, она до отказа насыщена огромным практическим материалом, к которому можно относиться с удивлением и даже недоумением, но едва ли без интереса. Здесь описываются задачи и технологические идеи, обладающие фантастическим обучающим потенциалом, но совершенно не известные современной школе.

Правда, чтобы понять и принять эти задачи и технологии, нужно иметь в виду, что они вводят школьную математику в существенно новый ФИЛОСОФСКИЙ КОНТЕКСТ. Это не технологии и задачи, которые помогают "усовершенствовать" процесс преподавания математики в начальной школе. Это технологии и задачи, которые РАДИКАЛЬНЫМ образом изменяют характер школьного преподавания математики. Они, если угодно, меняют ОНТОЛОГИЮ современной школы. И потому настоящая книга является не просто "методическим пособием". Будучи пронизана духом педагогической практики, эта книга вместе с тем является глубоко философской книгой, и каждая ее задача, каждая технологическая идея оказывается представлена в некоем ФИЛОСОФСКОМ контексте.

 

ГЛАВА 1. ИСПЫТАНИЕ МАТЕМАТИКОЙ

 

Загадка очевидности

 

Когда-то давным-давно, когда я еще учился в школе, я никак не мог понять: почему большинство моих одноклассников относятся к математике как к занятию безумно скучному и нудному, тогда как для меня математика всегда являлась чем-то чрезвычайно увлекательным и интересным? Я отчетливо помню, какое - ни с чем не сравнимое! - интеллектуальное наслаждение получал я, осуществляя очередное алгебраическое преобразование, решая систему уравнений или доказывая теорему. Я отчетливо помню, что это было именно наслаждение - острое и азартное эмоциональное переживание "вкуса" математического рассуждения, острое и азартное переживание тонкого, а порою весьма пикантного изящества математического построения. Одноклассники, которым я что-то пытался объяснить и показать, недовольно бубнили: "не понимаю я этой математики!" А я недоумевал: ну чего тут понимать? Ведь все же ОЧЕВИДНО. А одноклассники тупо слушали мои пояснения и НЕ ВИДЕЛИ НИЧЕГО.

Прошли годы. Я стал профессиональным философом и психологом. И понял, что как раз в этой так называемой "очевидности" и находится корень проблемы. Что "очевидность" как основа понимания - это и есть самое трудное в человеческой культуре. Что "очевидность" есть одновременно самое сложное, что только может быть. Что "очевидное" для одного вовсе не обязательно является "очевидным" для другого. И более того - как раз то, что является "очевидным" в системе одних координат, оказывается абсолютно закрытым для тех, кто пытается пробиться к этой очевидности из иной системы координат. И есть нечто такое, что можно было бы назвать "структурами очевидности". В частности - "структурами математической очевидности".

Любому учителю математики хорошо известно: есть дети, которые все схватывают на лету, все понимают с полуслова. И есть такие, которым "долбишь-долбишь, а они все равно ничего не понимают".

А может в том и состоит суть дела, что не надо "долбить", а надо попытаться сделать что-то принципиально другое? Например, попытаться понять, каким образом устроено сознание того ребенка, которому не приходится много объяснять, но который все понимает сам. И попробовать сделать такую школьную математику, которая помогла бы "устроить" таким же образом сознание любого без исключения ребенка. То есть как раз и сформировать у ребенка те самые “структуры математической очевидности”.

Увы, наше сознание (а тем более сознание учителя, привыкшее действовать по готовым методическим схемам и и двигаться по твердым программным траекториям) невероятно лениво. Нам гораздо легче приклеить к ребенку ярлык "математически неспособный", чем задуматься над вопросом о ПРИРОДЕ математических способностей. Как же это все-таки возможно, что некоторым детям удается понимать математику без особого труда? Что за особенное устройство у их мозгов?

Сознание современного просвещенного обывателя толкует вопрос о "природе" тех или иных способностей достаточно однозначно: это то, что каким-то таинственным образом дано ребенку от рождения, а, следовательно, это то, что следует принимать как данность. Мол, все, что мы можем - это "развить" имеющиеся способности, не более того. А если у ребенка "нет математических способностей", это значит, что бесполезно биться над его ПОНИМАНИЕМ; не понимает - так пусть тупо ЗАПОМИНАЕТ и хоть так осваивает какие-то математические азы.

А в результате миллионы "математически неспособных" детей во всем мире оказываются обречены на тупое заучивание ненавистной им математики. Они не понимают математику, не чувствуют ее красоты и не испытывают наслаждения от движения в мире математических формул и абстракций. Математика для них - это вечная головная боль и нудное заучивание непонятных правил.

 

Можно ли "запомнить" математику?

 

Но они не догадываются, что их попросту обманули. Они не догадываются, что "заученная" математика - это абсурд по определению, потому что сама суть математики - это логическое понимание и красота мыслительного движения, а не “знание”. Следовательно, "выучить" математику В ПРИНЦИПЕ не возможно. Если ученик запомнил некоторое математическое правило и научился в соответствии с этим правилом правильно совершать какие-то арифметические или алгебраические действия, это вовсе не значит, что у него появились в результате хотя бы зачатки математического мышления. А это и значит, что работа по запоминанию данного правила оказалась напрасной, бессмысленной. Она ни на йоту не приблизила ребенка к математике и ни в малой степени не способствовала          о-своению культуры математического мышления, не способствовала превращению математики в нечто СВОЕ, личное, прозрачное на уровне внутреннего интеллектуального зрения. А из сказанного следует, что множество методических приемов, находящихся сегодня на вооружении учителей школьной математики и помогающих школьникам усваивать (= запоминать) некие математические "знания", - это приемы математически бессмысленные.

Суть математики проявляется прежде всего в определенном КАЧЕСТВЕ МЫШЛЕНИЯ, стиле мышления, а вовсе не в "сумме знаний". И потому путь в пространство математики принципиально не может лежать через усвоение каких-то математических знаний. Если у человека поставлено математическое мышление - у него не будет проблем с математическими знаниями, математические знания будут легко и эффективно нанизываться на стержень математического понимания и математической интуиции. Но если у человека не поставлено математическое мышление - никакие знания это мышление не породят. Мышление - условие появления в голове человека знаний, но знания сами по себе не предполагают рождение в этой голове хотя бы начатков мышления. Сам по себе процесс овладения знаниями пуст в мыслительном отношении; тайна рождения мышления, тайна формирования мышления - это совершенно особая тайна, и ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ МЫШЛЕНИЯ РЕШАЕТСЯ ВОВСЕ НЕ ЧЕРЕЗ НАКОПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ, А ПОСРЕДСТВОМ КАКИХ-ТО СОВЕРШЕННО ДРУГИХ МЕХАНИЗМОВ.

Увы, в традиционной школе все перевернуто вверх ногами. Там - культ знаний. Там - слепая уверенность в том, что само по себе "накопление знаний" - это и есть генеральный путь образования человека. Там - настойчивая культивация свойств памяти как основного средства вхождения человека в мир культуры. И родители, ведущие своего ребенка в первый класс, пожалуй, наиболее озабочены вопросом: а хорошая ли у их ребенка память? Мол, главная деятельность ребенка в школе - это деятельность запоминания. Будет хорошо запоминать - будет хорошо учиться. "Хорошо запоминать" и "хорошо учиться" - это своего рода синонимы в сознании родителей и учителей. И никто не желает признаться себе в том, что это - откровенный блеф, и что способность запоминания слеплена из совершенно иного теста, нежели способность мышления, а, следовательно, и способность подлинного учения. На самом деле "хорошо учится" вовсе не тот, кто "хорошо запоминает", а тот, у кого каким-то образом поставлены базовые мыслительные структуры. Но из "знаний" эти базовые мыслительные структуры заведомо не образуются. И к структурам математического мышления это относится, пожалуй, в наибольшей степени.

Единственно возможный и по-настоящему действенный путь освоения математики - это путь понимания, а вовсе не путь запоминания. "Запоминать" математику абсолютно нелепо, смешно, абсурдно и бессмысленно, коль скоро понимание составляет ее наиболее глубокую и точную суть. А это и значит, что учителя, заставляющие тех детей, которые не понимают математику, тупо эту математику учить, демонстрируют крайний непрофессионализм, глубокую математическую и педагогическую неграмотность.

Вернемся к вопросу: почему некоторые дети оказываются математически способными? Конечно, легче всего все спихнуть на матушку-природу: мол, родились такими. Однако и это не снимает главного вопроса: что же это за качества такие, которыми обладает сознание ребенка, которого мы называем "математически способным"?

Признаемся честно: сегодняшняя школьная математика не знает ответа на этот вопрос, а, значит, и весь ее методический инструментарий непонятно на что направлен.

 

Счет в никуда

 

Особенно ярко этот методический абсурд представлен в содержании математического образования в начальной школе. Основная задача, которую решает математика в начальной школе - это освоение процедур счета. Но разве само по себе умение быстро и правильно считать является признаком математического мышления? Мы знаем замечательных циркачей-мнемотехников, так называемых "артистов оригинального жанра", которые демонстрируют чудеса вычислительной техники и памяти, перемножая и возводя в умопомрачительные степени астрономические числа или демонстрируя удивительную способность к запоминанию гигантских произвольных числовых рядов. Однако следует ли из этого, что они обладают хотя бы толикой математических способностей? И наоборот: хорошо известно, что многие великие математики весьма скверно считали в уме и нередко обладали отвратительной памятью. Тем не менее, традиция могуча и непреодолима: никому не приходит в голову усомниться в том, что смыслом и сутью начального математического обучения должно являться обучение счету - искусству быстро и правильно вычислять. А это значит, что содержание начального математического обучения вообще не озабочено вопросом формирования у ребенка основ математического мышления или вопросом постановки структур математического понимания.

Таким образом, механическое натаскивание на процедуры счета, столь любимое нашей начальной школой, является воистину "счетом в никуда" совокупностью операций скорее бессмысленных, чем продуктивных с точки зрения развития собственно математических способностей.

 

Разумеется, искусство счета или искусство арифметики включает в себя математическую составляющую - но эта составляющая менее всего имеет отношение к свойствам памяти. Скажем, ребенок, который ВЫУЧИЛ НАИЗУСТЬ таблицу умножения - это ребенок, который даже не соприкоснулся с собственно математической составляющей этой таблицы. Но вот ребенок, который ПОЧУВСТВОВАЛ КРАСОТУ этой таблицы, почувствовал красоту ее внутренней логики, красоту ее внутреннего построения, красоту числовых закономерностей и взаимосвязей, - это ребенок, который безусловно приблизился к математической сути этой таблицы, даже если он и не выучил эту таблицу "наизусть", "чтобы от зубов отскакивало". Зато у него появилось ощущение радости от переживания красоты числового орнамента, заключенного в эту таблицу, и появилось желание расширить учебную таблицу, построить таблицу умножения для расширенных числовых рядов… Математически мыслящий ребенок всегда предпочтет ЗАДУМАТЬСЯ и МОДЕЛЬНО ПРЕДСТАВИТЬ себе то или иное действие умножения, а не выпалить, не раздумывая, некий готовый ответ. Математически мыслящий ребенок всегда - хотя бы на секунду! - задумается при ответе на любой, даже самый простой вопрос.

"Сколько будет пятью пять?" Ребенок, совершенно равнодушный к математике, бездумно и радостно тут же выпалит: "Двадцать пять!", демонстрируя, что уж такую-то "легкотню" он знает наизусть. Зато ребенок с математическим мышлением, т.е. ребенок, который почувствовал "эстетический вкус" таблицы умножения, даже в таком - казалось бы, совершенно простом случае! - сделает хотя бы микросекундную задержку. И это будет не задержка, связанная с активизацией памяти, а задержка, связанная с активизацией мысли. Он не откажет себе в удовольствии лишний раз пережить ЭСТЕТИКУ данного арифметического действия и увидеть данное арифметическое действие СИСТЕМНО, в контексте всей таблицы или ГРАФИЧЕСКИ - как геометрическую форму квадрата со стороной в пять единиц. Но ни в коем случае не будет "выпаливать" выученную наизусть ритуальную формул: "пятью пять - двадцать пять!"

Математическая эстетика

Вообще принято считать, что математическое мышление принципиально противостоит мышлению гуманитарному. Мол, язык математики - это сухой язык цифр. А что можно делать с сухими цифрами? Только зубрить!

Однако вот парадокс: любой профессиональный математик знает, что "красота" является ничуть не меньшим критерием математичности, нежели "точность". Впрочем, и "красота", и "точность" - это такие понятия, которые в применении к математике требуют существенных пояснений.

"Какое красивое решение!"; "Какое красивое построение!"; "Какое изящное доказательство!" - для профессионального математика такие формулировки самоочевидны и повсеместны. И в этих формулировках, заметим, нет ни грана фальши, ни грана игры. Это абсолютно точные формулировки. Смею настаивать, они выражают самую глубокую суть математического мышления.

И здесь мы подходим к очень странному и поразительному обстоятельству: оказывается, математическое мышление ГЛУБОКО ЭСТЕТИЧНО по самой своей сути. Оно насквозь пронизано идеями гармонии и орнамента, идеями красоты и порядка. Можно выдвинуть даже более сильный тезис: в каких-то своих самых глубоких культурных основаниях ЭСТЕТИКА СОВПАДАЕТ С МАТЕМАТИКОЙ, и математика в своих исторически первых формах есть не что иное, как попытка описания и воспроизведения гармонии, попытка описания и воспроизведения красоты в ее орнаментальных формах. Любой элементарный орнамент есть не что иное, как простейший математический объект, который может быть описан как та или иная числовая последовательность. И наоборот: любая числовая закономерность может быть представлена орнаментально, графически.

Удивительно, но современные учебники математики для начальной школы совершенно упускают из виду это обстоятельство; они предпочитают язык голых цифр и язык голого счета - "счета вообще". Они предлагают множество арифметических "примеров" на те или иные арифметические правила; причем дают эти арифметические примеры с нарочитым пренебрежением к идее гармонизации, с нарочитым пренебрежением к идее числового орнамента. А ведь числовой орнамент - это великая сила, способная пробудить математический вкус, родить математическую увлеченность у любого без исключения ребенка.

 

Две математики

 

Любопытная вещь: ребенок, которого мы называем "математически способным", заведомо не нуждается в тех методических ухищрениях, которыми наполнены сегодняшние учебники математики для начальной школы. Как правило, для такого ребенка поэтапное, в соответствии с программой изучение математики в первых классах - это топтание на месте и потеря времени.

Но может быть эти учебники сделаны для математически неспособных детей? С этим можно было бы согласиться, но с одной-единственной оговоркой: разжевывая элементарное и бесконечно топчась на месте, эти учебники вовсе не направлены на то, чтобы неспособные дети ПОНЯЛИ математику, а лишь на то, чтобы они ее "усвоили", в смысле "запомнили". Абсолютное большинство современных методических ухищрений направлены на свойства памяти, но не на свойства мышления, не на свойства понимания.

Особенно ярко это проявляется при переходе из начальной школы в среднюю: содержание современной начальной школы, как это ни парадоксально, крайне слабо состыковано с содержанием среднего школьного звена. И это ни для кого не является тайной. Миллионы родителей сталкивались с этой проблемой: как бы замечательно ни учился ребенок в начальной школе, это ничуть не гарантирует хорошей успеваемости при переходе в среднее звено. Вчерашний отличник за один или два года превращается в унылого троечника, а то и двоечника, абсолютно не понимающего, чего от него хотят учителя.

И дело не просто в возрастных проблемах.

Ему говорят: "учи!", - и он добросовестно учит. С ничуть не меньшей степенью добросовестности, нежели в предшествующих классах. Но почему-то это перестает помогать. Почему? Ну, хотя бы потому, что программа начальной школы может быть освоена без включения способности понимания - исключительно средствами памяти. Зато в средней школе ребенок сталкивается с таким материалом, который уже принципиально не возьмешь памятью. А ему по-прежнему говорят: "учи!", и он добросовестно учит, потому что ничего другого не умеет. А в результате с каждым днем он не только не приближается к математике, а все более от нее отдаляется.

Но, таким образом, можно с высокой степенью уверенности утверждать, что математика начальной школы совершенно не подготавливает сознание ребенка к встрече с математикой среднего звена. Та математика, с которой сталкивается ребенок на пороге средней школы, - это математика из совершенно иного мира или даже из иной Вселенной по сравнению с математикой, которую ребенок изучал в начальной школе. Слова вроде бы все знакомы - а смысл ускальзывает напрочь. Все столь добросовестно выученные им понятия - сложение, вычитание, деление, число и т.д. - неожиданно оборачиваются таким своим содержанием, которое напрочь перечеркивает сложившиеся структуры понимания, и это заставляет ребенка почувствовать себя полным идиотом и тупицей.

 

Блеф вычитания

 

Приведу простой пример.

 Начиная с первого класса дети осваивают арифметическую операцию вычитания. Учебник, а вслед за учебником и учитель объясняют детям эту операцию с помощью терминов "уменьшаемое", "вычитаемое" и "разность". При этом ребенок получает "твердые знания", согласно которым вычитать можно из большего меньшее, но не наоборот, и что в результате вычитания всегда происходит "уменьшение" некоего исходного числа (кое и именуется поэтому "уменьшаемым").

Но это оборачивается полным абсурдом, когда наступает время математики среднего школьного звена. Ведь в алгебраической математике вообще нет такой операции "вычитание" (о каком "вычитании” из большего меньшего можно говорить, допустим, в алгебраической формуле a-b=c?), а есть лишь известная операция сложения, но сложения с отрицательными числами. Школьной программе приходится всячески изворачиваться, дабы сохранить романтическую верность понятию, введенному в начальной школе; однако мало кто из учащихся догадывается, что все те новые определения операции вычитания, с которыми он сталкивается в конце пятого класса - это по сути БЛЕФ. Ребенку пытаются объяснить, каким таким образом из трех можно вычесть восемь, а из минус пяти - пятнадцать (а ведь здесь явно из меньшего "вычитается" большее!), сохраняя традиционное правило вычитания (про "уменьшаемое", "вычитаемое" и "разность"). Однако ребенок смутно догадывается, что его каким-то образом дурят: классическая математическая Вселенная начальной школы переворачивается у него в голове вверх тормашками.

Какое уменьшаемое? Какое вычитаемое? Все традиционные понятия, вызубренные в начальной школе, выглядят сущей насмешкой по отношению к новой математической реальности - реальности действительных чисел.

Насколько понятнее и проще говорить о СЛОЖЕНИИ с отрицательными числами, когда равные численные значения (но с противоположными знаками) взаимно уничтожаются, так сказать "аннигилируют", сохраняя остаток большего (отрицательного или положительного) по модулю числа. В традиционной же школьной схеме получается, что вычитание из трех восьми приводит к появлению числа “минус 5”, которое по своему абсолютному численному значению... БОЛЬШЕ, нежели исходное, т.е. "уменьшаемое".

Напомню в этой связи, что в математике областью БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ чисел является область чисел, в пределе стремящихся как к плюс бесконечности, так и к минус бесконечности, а областью БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ - область чисел, стремящихся в пределе к нулю как в положительной, так и в отрицательной части рационального ряда; соответственно б’ольшими отрицательными или положительными числами мы должны называть числа, находящиеся ДАЛЬШЕ на числовой прямой от нуля ПО ОБЕ его стороны, и потому мы вынуждены признать, что отрицательное число -5 БОЛЬШЕ, чем отрицательное число -1 (что и выражается в понятии "абсолютного значения").

Таким образом, новый вираж, закладываемой школьной программой по математике, полностью противоречит всему предшествующему интеллектуальному опыту ребенку. И полностью противоречит программе, по которой учился ребенок в предшествующих классах. А это значит, что ребенка попросту обманули. Обманули учителя, методисты, учебники. Обманула школа. И любой ребенок, столкнувшийся с фактом этого обмана, понимает: обманывать - в природе школы.

 

Иллюзии равенства.

 

Впрочем, и остальная арифметика, преподаваемая в начальной школе, оказывается весьма далека от того математического содержания, с которым ребенок сталкивается в среднем и старшем звеньях школы. И не просто далека, а, зачастую, прямо противоположна.

Скажем, знак равенства - фундаментальный математический знак - представлен в начальном школьном образовании, мягко говоря, странным образом. Миллионы детей, приступающие к освоению начальной школьной арифметики, осваивают этот знак вовсе не как знак РАВЕНСТВА, т.е. знак, УРАВНИВАЮЩИЙ левую и правую части того или иного выражения, а как знак "ПОЛУЧИТСЯ", т.е. знак, означающий одностороннее движение слева направо: "если к двум прибавить три, ПОЛУЧИТСЯ пять!".

Но ведь математическая суть этого знака совершенно в ином: этот знак обозначает логически жесткую структуру РАВНОВЕСИЯ правого и левого! Однако множество детей, изучающих начальную арифметику, видят в этом знаке именно "получится", а не "равно". И потому сама идея УРАВНЕНИЯ как поиска того единственного значения неизвестного, при котором левая и правая части математического выражения окажутся равны, оказывается этим детям недоступна. Равно как недоступна оказывается им и идея НЕРАВЕНСТВА. И игры со значками "больше - меньше" здесь не помогают: слишком обширен вычислительный опыт, в котором знак равенства - это именно "получится", а не что-либо иное…

Можно еще много говорить о тех откровенных математических обманах, которыми наполнена программа по математике для начальной школы. Но естественно возникает вопрос: какова ПРИРОДА этих многочисленных обманов? В чем природа столь фундаментального разрыва между содержанием образования в начальной и средней школах?

 

ГЛАВА II.