В поисках математической реальности.

 

Принципы вероятностного обучения и математика.

 

Как возможно построение математической предметности на вероятностной основе?

Математика на вероятностной основе - это математика, ориентированная на три основных принципа.

Первый принцип - это принцип динамических, подвижных условий.

 Это значит, что вероятностная математика предлагает задачи с нечеткими, размытыми очертаниями: это дает возможность переформулировки задач в процессе работы над ними, в результате чего каждая исходная задача превращается в своеобразный "куст" новых задач, с уточненными формулировками. Каждая задача в вероятностной математике - это принципиально открытая задача, обладающая способностью к известному саморазвитию. Несомненно, что этот принцип позволяет формировать у ребенка принципиально подвижное, открытое мышление - мышление, готовое к встрече с нестандартными ситуациями и нестандартными задачами.

Второй принцип - это принцип приоритета догадки над знанием и восхождения от догадки к знанию.

Ребенок все время играет в своеобразную "угадайку" по принципу столь любимой детьми этого возраста игры "холодно-горячо". Ребенок предлагает все новые и новые варианты, ориентируясь на реакцию учителя: "Холодно... Совсем холодно... А вот теперь теплее... Еще теплее... Совсем тепло... Горячо... Совсем горячо... Обжигает... Ура, правильно!". Ценность такого подхода состоит в том, что ребенок не просто приобретает какое-то знание, а проходит самостоятельный путь поиска, путь интуитивного восхождения к знанию через большее или меньшее количество "угадывающих" ходов. И чем меньше такого рода угадывающих ходов требуется ребенку для отгадывания верного решения, тем в большей степени это свидетельствует о развитости его интуитивного мышления. А в результате вероятностные задачи оказываются прекрасным способом тренировки интуиции.

Наконец, третий принцип - это принцип личностного знания.

 Ценным является не знание само по себе, а лишь такое знание, которое максимально индивидуализировано и существует на стержне внутреннего образа. При этом важнейшая задача математического обучения видится вовсе не в том, чтобы с максимальной эффективностью вложить в голову ребенка те или иные (в зависимости от программы) математические знания. Задача видится в том, чтобы сформировать у ребенка структуры индивидуальной математической образности, структуры индивидуального математического понимания и восприятия - те личностные точки опоры, которые только и позволяют действительно О-СВАИВАТЬ любое без исключения знание, т.е. делать его подлинно своим, СОБСТВЕННЫМ.

Однако само по себе описание базовых принципов вероятностного подхода не дает ответа на вопрос о природе и характере математической объектности и математической предметности. А это вопрос принципиальный для понимания того, как можно и нужно строить математическое образование.

 

Мышление математика.

 

Принято считать, что математическое мышление - это мышление сугубо абстрактное, принципиально оторванное от жизни. Об этом свидетельствуют и языковые клише нашего сознания ("сухой язык цифр", "математический сухарь"), и анекдотические представления о математиках как о людях, у которых явные нелады со здравым смыслом.

 Воспользуюсь помощью Ричарда М. Смаллиана, известного американского математика и логика, который в блестяще-юмористической форме описывает специфику так называемого "математического" мышления в отличие от мышления "физического", т.е. мышления, ориентированного на здравый смысл.

“Вы находитесь в летней кухне. В вашем распоряжении нерастопленная плита, коробок спичек, кран с холодной водой и пустая кастрюля. Требуется нагреть кастрюлю воды. Что бы вы стали делать? Должно быть, на этот вопрос вы бы ответили так: "Я налил бы холодной воды из крана, зажег плиту, поставил кастрюлю на огонь и подождал бы, пока вода в кастрюле не нагреется". Прекрасно! На этом этапе между математиками и физиками царит полное согласие. Различие в подходе обнаруживается при попытке решить следующую задачу.

Вы снова находитесь в летней кухне. В вашем распоряжении нерастопленная плита, коробок спичек, кран с холодной водой и кастрюля, в которую налита холодная вода. Требуется нагреть кастрюлю воды. Что бы вы стали делать? Большинство людей отвечают: "Зажег бы плиту и поставил кастрюлю с водой на огонь". Если вы думаете так же, то вы физик! Математик бы вылил воду из кастрюли и тем самым свел бы новую задачу к предыдущей, которая решена.

Мы могли бы продвинуться еще на один шаг и рассмотреть случай, когда кастрюля с холодной водой уже поставлена на огонь. Как получить горячую воду в этом случае? Физик просто подождал бы, пока вода не нагреется, а математик погасил бы огонь, вылил воду из кастрюли и тем самым свел бы нашу новую задачу к первой (или ограничился бы тем, что погасил огонь, сведя задачу ко второй, уже решенной).

Еще более наглядно различие между физиком и математиком проявляется в следующем ("драматическом") варианте задачи. Представьте себе, что в доме, где вы находитесь, начался пожар. В вашем распоряжении пожарный кран и шланг (не присоединенный ни к чему). Как потушить пожар? Ясно, что прежде всего необходимо присоединить шланг к крану, а затем пустить струю воды в пламя. Предположим теперь, что в вашем распоряжении пожарный кран, шланг (не присоединенны ни к чему), и никакого пожара в доме нет. Как бы вы стали тушить пожар? Математик сначала поджег бы дом, чтобы свести задачу к предыдущей”. (Р.М. Смаллиан. Как же называется эта книга? М., 1981. С.184-185).

Разумеется, это анекдот. Но анекдот, чрезвычайно точно указывающий на некоторые ключевые особенности того, что можно было бы назвать математическим мышлением.

Тем не менее, следует ли из сказанного, что мышление математика - это мышление, бесконечно оторванное от реальности, как это полагает среднестатистический обыватель, у которого воспоминания о школьной математике не вызывают ничего, кроме головной боли? Ни в коем случае.

На самом деле математика глубоко объектна; вот только объект у нее совсем другой, нежели у физики. Объект математики, если угодно - это сама техника мышления и красота интеллектуально-логических процедур.

Но вот беда - как раз это менее всего представлено в школьных математических программах. В школьных учебниках математика предстает как мир абстрактной цифири; как мир, в котором осуществляется таинственное взаимодействие неких непонятных значков. И мало кому из учащихся удается постичь ту истину, что у этого взаимодействия всегда есть глубокий и прекрасный смысл.

 

Тупики математической наглядности.

 

Сегодняшнее содержание начального математического образования таково, что ученик вынужден большую часть времени посвящать тренировке вычислительных навыков, которые выглядят как счет ради счета. Ученические тетради испещрены рядами вычислений, смысл которых оказывается бесконечно ускользающим от ученика. Особенно ярко это проявляется в том, как многие ученики решают так называемые "текстовые" задачи: зачастую ученик начинает вычислять (складывать, вычитать, делить и умножать), совершенно не задумываясь над логическим смыслом своих вычислений. И связано это в значительной степени с тем, что практически с самого начала школьная математика заявляет о себе как нечто безобъектное.

Точнее, на первых страницах математических учебников для начальной школы мы еще можем обнаружить некую физическую объектность (как предметную объектность для элементарного счета типа: "на ветке дерева сидело три птички, к ним прилетело еще три; сколько теперь птичек сидит на ветке?"). Взгляду ребенка предлагаются рисунки, на которых все можно сосчитать, а, стало быть, увидеть глазами. К примеру, с помощью указанных птичек увидеть физическое наполнение символической записи "2 + 3 = 5".

Но вот беда: эта физическая объектность, пресловутая "наглядность" имеет весьма приблизительное отношение к собственно математическому содержанию и к собственно математической объектности. Ведь математика не занимается сложением птичек, вишенок или флажков, а занимается СЛОЖЕНИЕМ КАК ТАКОВЫМ, т.е. сложением как некоей универсальной, НАДФИЗИЧЕСКОЙ процедурой. И собственно математика начинается не тогда, когда ребенку удалось сложить двух птичек с тремя, а когда он осознал, что сложение ЛЮБЫХ объектов соответствующего количества подчиняется некоей общей закономерности, выражаемой формулой 2+3=5. И, соответственно, когда мышление ребенка преодолело какую бы то ни было "наглядность", т.е. привязку к какому-то эмпирическому материалу.

Поэтому картинки "про птичек" ("про бабочек", "кузнечиков", "мальчиков" и "девочек"), исправно возникающие на первых страницах самых разных математических учебников для первого класса, - это, если угодно, ОБМАННАЯ ОБЪЕКТНОСТЬ..

 В сущности говоря, на этих картинках представлены всего лишь НАГЛЯДНЫЕ ПРИМЕРЫ того, как действуют некоторые математические закономерности, а вовсе не… сами математические закономерности как объект.

В самом деле, математическая формула 2+3=5 есть описание некоего общего, универсального принципа сложения, а вовсе не описание одного или другого конкретного случая. Эта формула есть абстракция всеобщности, индифферентной к каким бы то ни было персональным случаям. А складываемые мальчики, девочки, птички или кузнечики являются не объектами, а средствами наглядной демонстрации действия универсальных математических закономерностей, или ПРИМЕРАМИ действия этих закономерностей.

 Итак, есть общая математическая закономерность, выраженная формулой 2+3=5, и есть бесчисленные примеры, с помощью которых можно наглядно прокомментировать эту формулу: к двум птичкам присоединить трех, пересчитать получившуюся стайку, и обнаружить, что птичек действительно пять. А затем проделать ту же операцию с автомобилями, кроликами или чем угодно другим. И с удивлением обнаружить факт универсальной повторяемости результата.

Именно так и поступает школьная дидактика первого класса, настойчиво подменяя проблему математической объектности наглядностью изобразительных примеров. И не удивительно, что уже очень скоро "наглядность" начинает мешать: ведь усваивать-то ребенок должен не "наглядные примеры", а общие закономерности. Однако как раз усвоению последних наглядность, как это ни странно, мешает.

 

Чем же занимается математика?

 

Итак, когда я пишу о математической объектности, я имею в виду вовсе не пресловутую "наглядность".

"Наглядность" - это то, что привязывает мышление ребенка к физической конкретике; задача же заключается в том, чтобы сформировать некие надфизические структуры мышления.

 А для этого нужно решить совершенно особую задачу, которую я бы назвал ЗАДАЧЕЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ АБСТРАКТНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА. И этим абстрактным математическим объектом является, разумеется, вовсе не мир птичек, вишенок и прочих физических предметов, а нечто совершенно иное: математические закономерности, управляющие количественными взаимоотношениями (или описывающие количественные взаимоотношения) предметов.

 Смею настаивать: сегодняшнее начальное математическое образование ни в коей мере не занимается такого рода моделированием.

Более того: абсолютное большинство учащихся даже не задумывается над вопросом о том, чем же на самом деле занимается математика и чем занимаются те, кто занимается математикой.

Для большинства учащихся математика распадается на две части (в соответствии с содержанием и логикой математических учебников и программ).

 С одной стороны, это дисциплина, которая учит решать некие "жизненные" (а, точнее, полужизненные и псевдожизненные) задачи про вишенки, птичек, бассейны, велосипедистов и т.п. И это задачи, которые сохраняют в сознании ребенка пафос наглядности, а, значит, хотя бы какой-то небессмысленности.

А, с другой стороны, это бесчисленные "арифметические примеры" на вычисление, в которых начисто утеряна наглядность, а вместе с нею и остатки смысла в представлении среднестатистического ребенка.

Впрочем, и та физическая объектность-наглядность, которая представлена в текстовых задачах про птичек с вишенками и бассейны с велосипедистами, очень скоро отрывается в сознании ребенка от зрительного ряда и ребенок начинает воспринимать эти задачи настолько же безобъектными, насколько безобъектными являются бесконечные ряды "примеров", в которых происходит отработка вычислительных навыков.

 

Примеры человеческой ограниченности.

 

Кстати, об арифметических "примерах".

Ни учителя, ни тем более учащиеся, кажется, уже и не задумываются над смыслом словечка "пример", которое они привычно употребляют в применении к различного рода вычислительным тренингам.

Всякий раз, когда учебник или задачник предлагает выполнить учащимся некоторые задания на отработку вычислительных навыков, эти задания упорно именуются в просторечии ученического и учительского сленга "примерами".

"Примерами чего?" - хочется спросить.

Но даже ожеговский Толковый словарь никак не комментирует издавна закрепившееся словоупотребление. Просто констатирует в качестве одного из значений слова: "Математическое упражнение, требующее некоторых действий над числами".

 Но ведь по своему исходному семантическому полю "пример" - это либо некий образец, к которому примериваются и на который равняются, либо частный случай в доказательство или пояснение какого-то правила ("например..."). При чем же здесь математические упражнения?

А при том, что у любого математического упражнения вычислительного характера есть некий генезис, некое происхождение. Всегда есть общее математическое правило, математическая закономерность (или группа правил и закономерностей), которые, собственно говоря, и отрабатываются в процессе конкретного вычислительного тренинга.

Но это значит, что не корректно говорить о неких математических примерах вообще. Можно говорить о "примерах сложения", "примерах вычитания", "примерах деления и умножения" и т.д. или о "примерах вычисления" в самом широком смысле этого слова, но всякий раз надо иметь в виду, что это лишь ПРИМЕРЫ, за которыми скрывается реальность общих математических правил и закономерностей.

Однако для учеников и учителей слово "пример" давным-давно утратило свое родовое значение. Ни первые, ни вторые не видят (и не ищут) в арифметических примерах реализации каких-то общих закономерностей, а называют этим словом любое вычислительное задание безотносительно к его общематематическому смыслу.

А в результате арифметические "примеры" из школьных учебников оказываются торжеством безобъектности. И дети осваивают мир "примеров" как мир частных вычислительных случаев, как вычислений ради вычислений, но при этом крайне редко осваивают мир тех математических закономерностей, выражением которых только и являются эти конкретные примеры.

Реальная абстракция числа.

 

Впрочем, вернемся к проблеме математического объекта.

У любых математических вычислений на самом деле есть объект.

Однако этим объектом являются не конкретные физические предметы или процессы.

Специфика математического объекта заключается в том, что он… принципиально абстрактен.

Подлинным математическим объектом является ЧИСЛО и мир закономерностей, которые управляют взаимоотношениями величин, взаимоотношением чисел. И именно этот мир АБСТРАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ (принципиально несовпадающий с миром физических предметов) ускользает из поля зрения ученика, осваивающего азы математики в начальной школе.

Ведь что такое число?

Число - это нечто, не существующее в материи самих предметов, а, стало быть, нечто надматериальное.

Так, число “пять” является таковым независимо от того, описывает ли оно количество арбузов или количество километров; и числовые законы, в которые встроено число пять, также не зависят от конкретной предметности, в которой представлено это число.

Скажем, тот закон, согласно которому пять всегда будет вдвое меньше десяти никак не зависит от той или иной комментирующей этот закон физической предметности.

Однако, несмотря на то, что число - это абстракция, существующая независимо от той или иной физической конкретики, это РЕАЛЬНАЯ абстракция, т.е. абстракция, существующая в объективной реальности. Число существует как ОБЪЕКТИВНЫЙ ЗАКОН (или множество объективных законов), описывающий количественные взаимоотношения между предметами. А математика изобретает символический язык для описания этих взаимоотношений. И любая математическая формула - начиная с элементарных, типа 2+3=5 - является не чем иным, как описанием некоей ЧИСЛОВОЙ РЕАЛЬНОСТИ, скрывающейся за этой формулой. Ведь формула 2+3=5 вовсе не повествует о сложении каких-то конкретных предметов, а повествует о некоем абсолютном случае сложения, о сложении ЧИСЕЛ КАК ТАКОВЫХ - чисел, спрятанных под оболочкой математических значков. А это значит, что у ребенка, осваивающего математику, нужно формировать некий ОБРАЗ ЧИСЛА, скрывающегося за той или иной символической записью.

В самом деле, совершая операцию 2+3, мы складываем вовсе не символические обозначения двух и трех, т.е. не двойку с тройкой (в смысле цифры), а исключительно те численные значения, которые скрываются за этими значками. Двойка и тройка - это лишь символическое обозначение некоей числовой реальности, которую всегда можно сосчитать, и которую всегда можно представить на уровне некоего физического образа.

Однако, с другой стороны, сама эта числовая реальность есть некая абстракция, которую нельзя пощупать в объективной реальности, поскольку она не существует вне и независимо от конкретных предметов, но при том является надпредметной.

И в этом заключен глубочайший математический парадокс.

 Число реально. Оно существует в самом объективном мире. Но оно существует не в конкретном физическом предмете, а как универсальный параметр любых без исключения физических предметов.

 И в этом смысле оно всеобще. Оно существует как универсально-всеобщая реальность.

Отчуждение числового смысла.

 

Чрезвычайно важно, чтобы ребенок уловил эту универсальность, всеобщность числа и числовых закономерностей: то обстоятельство, что сумма двух и трех составляет пять не только в примере с флажками или счетными палочками, но и в любом универсально-безликом случае. И в этом смысле движение математических учебников для начальной школы от наглядных примеров-картинок (коими наполнены обычно самые первые страницы) к чисто символическим записям в виде так называемых "арифметических примеров" выглядит закономерно и оправданно. В самом деле, дети должны понимать, что математика имеет дело не с бабочками и кузнечиками, а с некими общими случаями числа.

 Да вот беда: описывая эти общие случаи символическим образом, учебники "проскакивают" мимо чего-то очень важного, и вместе с предметной наглядностью лишают ребенка предметного образа числа. С этого-то момента и начинается у детей восприятие математики как мира беспредметной (и беспросветной) цифири. И очень скоро наступает момент, когда для многих детей символические обозначения утрачивают какой бы то ни было ЧИСЛОВОЙ СМЫСЛ.

А в итоге одним из результатов начального школьного обучения становится то, что символический математический ряд (математическая запись с помощью цифр и других математических символов) приобретает в сознании ребенка самодовлеющий характер, характер превращенной формы.

В частности, это проявляется в том, что ребенок не видит принципиального различия между числом (каковое и является центральным математическим объектом) и цифрой (как одним из вариантов символического обозначения числа). Совершая бесконечные вычисления, ребенок оперирует не числами (всегда имеющими живую плоть), а... их символическими обозначениями, оторванными от своего числового (а, стало быть, мыслительного) содержания.

 Типичный пример - зубрежка таблицы умножения, когда второклассник, выучивший наизусть "шестью восемь - сорок восемь", совершенно не понимает смысла, скрывающегося за этой складной формулировкой. И это является одной из наиболее распространенных форм непонимания математики, характерных для учащихся современной школы: ребенок усваивает некое "знание" на уровне символической тарабарщины, даже не предполагая, что у этого знания есть ЧИСЛОВОЙ СМЫСЛ.

Просто никто не позаботился о том, чтобы ребенок усвоил этот числовой смысл.

 Ибо усвоение числового смысла требует решения совершенно особой задачи, которая даже не ставится в современной дидактике: ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЧИСЛОВОЙ РЕАЛЬНОСТИ.

 

Числовой код Вселенной.

 

Следует заметить, что идея числа - это одна из наиболее красивых идей, на которых держится мышление современного человека, да и вообще история культуры и цивилизации. И суть идеи числа заключается вовсе не в том, что некое множество предметов можно сосчитать: "один, два, три..." (а ведь именно в этом и исключительно в этом ключе число появляется в начальной школе).

 Суть идеи числа заключается в том, что есть некий параметр вещного мира (или параметр человеческого мышления, пытающегося описать вещный мир), который как бы независим от качественной определенности этого мира.

 Скажем, если мы к пяти арбузам прибавим пять арбузов (причем неважно, какой величины будут эти арбузы), или к пяти арбузным семечкам прибавим пять арбузных семечек, или к пяти килограммам арбузов прибавим пять килограммов арбузных семечек и т.д., то и в первом, и во втором, и в третьем случаях мы получим идентичный с количественной точки зрения результат.

Мы получим в результате десять.

 И, в общем, не важно, чего.

В первом случае - арбузов, во втором - арбузных семечек, а в третьем - килограммов.

 И как бы ни менялось физическое качество количественно описываемых объектов, это никак не повлияет на характер количественного, числового описания.

Не сходя со своего места, мы можем складывать планеты, звезды, галактики – и всякий раз мы будем уверены в точности получаемого результата. 

И это не может не поражать: оказывается, существуют некие универсальные правила, универсальные закономерности, которым подчинено ВСЕ БЕЗ ИСКЛЮЧЕНИЯ во Вселенной.

Но это значит, что, занимаясь математикой, мы занимаемся некими абсолютными силами, которым подчинена Вселенная в ее самых отдаленных уголках, а также в ее бесконечно далеком прошлом и не менее бесконечно далеком будущем. А математик оказывается… почти равновелик Богу. Есть от чего закружиться голове!

Несомненно, что именно этот пафос вдохновлял целые поколения математиков со времен Пифагора. Числовые, математические законы - это законы, которые носят абсолютно универсальный характер и не имеют никаких предметных, физических ограничений. А это значит, что математик не просто исследует числа и закономерности их взаимодействия. Исследуя числа, он фактически постигает то, что можно было бы назвать “числовым кодом Вселенной”, и потому число можно понять как ключ к миру и Богу.

 

Проблема математического моделирования.

 

Но, таким образом, проблема идентификации и учебного моделирования математического объекта раскрывается как проблема, существенно не совпадающая с той примитивной идеей "математической наглядности", с которой начинает вся начальная школа, и которая столь быстро исчерпывает свой дидактический потенциал.

Моделирование математического объекта - это вовсе не математическое описание конкретного физического случая, а нечто прямо противоположное. Речь идет о создании системы искусственных моделей, в которых были бы зримо и образно явлены ключевые математические закономерности. Именно математические закономерности, а не физические факты, подлежащие математическому описанию.

В связи со сказанным возникает проблема: возможно ли всю начальную математику построить как символическое описание некоего элементарного математического объекта или системы элементарных математических объектов? Возможна ли такая математика, в которой взгляду ученика были бы зрительно явлены вовсе не частные физические объекты как как псевдообъекты математического описания, а некие ОБРАЗЫ, ухватывающие и фиксирующие ключевые математические                  закономерности, на которых строится целостное здание математики? Иными словами, возможно ли построить начальную школьную математику через наглядное МОДЕЛИРОВАНИЕ математического объекта, т.е. через наглядное моделирование мира чисел и их взаимодействий? 

Еще раз подчеркну: речь идет именно о наглядном моделировании, а вовсе не о "наглядных примерах".

 Речь идет о создании целостной модельной реальности, через которую учащийся начальной школы смог бы почувствовать, если можно так выразиться, "абстрактную плоть" числа и увидеть глазами тайну межчислового взаимодействия.

 Естественно, речь идет об искусственной реальности - достаточно простой и достаточно емкой одновременно.

 Это должна быть реальность, которая могла бы представить число одновременно как счетную единицу и как некую бесконечную плотность, как некую бесконечную делимость, как некое бесконечное множество точек. Причем в первом случае речь идет об "единице вообще", об. единице, индифферентной к материально-физической природе, об единице, могущей обозначать все, что угодно, а во втором – об единице как элементарной целостности, содержащей в себе бесконечность.

И одновременно эта модельная реальность должна быть простой и зримой, доступной зрению малыша и достаточно эффективно выражающей самые разные числовые взаимодействия.

Как найти модельную реальность, которая бы вполне удовлетворяла всем перечисленным условиям?

 

Великое дидактическое изобретение, не известное никому.

 

Я очень долго бился над этим вопросом, предлагая разные варианты такого рода первичного математического моделирования; но когда в конечном итоге более или менее удовлетворительный ответ на поставленный вопрос был найден, моему удивлению не было границ, настолько простым и эффективным оказалось это решение.

Как это ни удивительно, но искомая модельная реальность оказалась буквально под боком. Оказалось, что, в общем, и не нужно ничего изобретать – все уже изобретено, только почему-то великое дидактическое изобретение практически никому неизвестно.

Дело в том, что искомой модельной реальностью оказалась… обыкновенная, известная каждому первокласснику тетрадь в клеточку, с помощью которой оказалось достаточно просто моделировать математические объекты различной степени сложности, принимая за единицу либо квадратики разной величины, либо стороны этих квадратиков.

Сегодня я твердо уверен: самым гениальным технологическим изобретением всех времен и народов в области математического образования являлось изобретение тетради в клеточку.

Да-да, той самой тетради, которая прекрасно известна любому первокласснику во всем мире, и которой школа пользуется с незапамятных времен.

Писчий лист, разлинованный на геометрически правильные квадратики со стороной в половину сантиметра или в один сантиметр, - это воистину удивительное дидактическое изобретение. Однако потенциал этого изобретения практически не используется в современной школе. Больше того, школа настолько равнодушна к этому изобретению, что писчебумажные фабрики зачастую выпускают тетради в клеточку с явными нарушениями ГОСТа: длина стороны клеточки случается больше или меньше полусантиметра; нередко нарушается строгая параллельность и перпендикулярность линий по отношению к краю тетради и т.д.

Увы, сегодняшняя судьба этой тетради в начальной школе достаточно незавидна. И чем дольше я размышляю над этим вопросом, тем в большей степени на ум приходит известная параллель с компьютером, используемым для забивания гвоздей.

В сущности говоря, клеточная разлиновка используется в начальной школе одним-единственным образом: клеточка выступает в качестве "ячейки" для цифры. Иначе говоря, детей учат записывать цифры и другие математические знаки так, чтобы каждый занимал строго одну тетрадную клеточку.

Ну, и известная польза от "клеточного" разграфления тетради просматривается при вычислениях "в столбик", поскольку благодаря клеточкам оказывается удобно записывать одно число под другим. Плюс элементарные геометрические построения - отрезок, квадрат, прямоугольник... Вот и все, пожалуй.

Но это значит, что реальный математический потенциал тетради в клеточку используется в начальной школе лишь на сотые доли процента. И это отнюдь не красивое преувеличение.

 

Маленький гимн тетрадной клетке.

 

Почему тетрадная клеточка или совокупность тетрадных клеточек является практически идеальной моделью элементарного математического объекта?

Дело в том, что любая клеточка может одновременно выступать и моделью счетной единицы (в функции счетной единицы), и моделью числа как некоей бесконечно делимой плотности.

В самом деле, с помощью тетрадной клеточки чрезвычайно легко показать, что один и тот же математический объект может быть как целым, так и частью любого другого целого. И все зависит от того, что мы принимаем за единицу.

Так, если мы принимаем за единицу одну клеточку, мы можем представить эту клеточку как бесконечно делимую, т.е. вмещающую в себя бесконечность и делимую на сколь угодно большое количество частей. Если же мы принимаем за единицу не клеточку, а группу из двух, трех, четырех или из сколь угодно большого числа клеточек, саму эту клеточку можно представить как часть любого другого целого. И это дает ключ ко всей математике.

Через построение и описание различных клеточных конфигураций (различных фигур, состоящих из клеточных единиц) можно моделировать и описывать самые разнообразные математические понятия и закономерности, составляющие основу школьного курса математики, а также глубинные математические парадоксы. Математические идеи количества, числа, единицы, множества, равенства, сложения (и, в том числе, сложения с отрицательными числами), деления, умножения, - все это может быть весьма эффективно смоделировано в пространстве "клеточных объектов". И при том у ребенка формируются не абстрактно-безличные понятия, а индивидуально-личностные ОБРАЗЫ, а, значит, продуцируется индивидуально-личностное отношение к математике как таковой, что и является залогом ее подлинного О-СВОЕНИЯ.

Правда, следует иметь в виду, что работа с тетрадными клеточками будет формировать у ребенка зримый образ числа и математических закономерностей только в том случае, если ведущий занятия учитель сам удерживает абстракцию числа и понимает, что любое клеточное построение это именно МОДЕЛЬ математического объекта, а не сам вечно ускользающий математический объект.

Иначе говоря, клеточки лишь помогают осознать феномен числа и элементарных математических закономерностей, но ни в коем случае не должны восприниматься натурально, как непосредственная математическая реальность (настолько натурально, насколько натурально воспринимаются первоклассником всякие птички и бабочки).

Так, если ребенок осуществляет сложение одной группы клеточек с другой, он должен осознавать, что при этом вовсе не натуральные клеточки складываются друг с другом, но лишь происходит процесс моделирования (с помощью клеточек) операции сложения как таковой.

Клеточка - это ведь тоже своего рода знак, обозначающий какую угодно единицу. Это своего рода условный заменитель натурального объекта; это универсальная модель единицы, которая может быть натурализована и с помощью бабочки, и с помощью кузнечика, и с помощью чего угодно другого. Это именно МОДЕЛЬ числа, а не наглядный (натурализованный) пример (типа птичек и бабочек).

Вместе с тем, это и не символическая буквенно-цифровая запись, условно описывающая математическую реальность. Это абстрактная модель. И потому это то СМЫСЛОВОЕ звено, которое позволяет связать в сознании ребенка объективную числовую реальность (мир объективных математических абстракций) с миром математических символов. А это и есть важнейшее условие формирования математического понимания у ребенка.

Таким образом, обыкновенная тетрадная клетка может быть чрезвычайно эффективно использована в качестве подлинной основы элементарного математического моделирования, и потому может явиться элементарной клеточкой всей вероятностной математики в начальной школе.

 

Приглашение к путешествию.

 

В настоящей работе будет предложена лишь малая часть тех задач, которые были изобретены в процессе многолетних вероятностных экспериментов в начальной школе, и которые позволяют совершенно удивительным образом формировать базовые структуры математического понимания у любого без исключения ребенка дошкольного и младшего школьного возраста с помощью элеметарной тетради в клеточку.

Следует, однако, иметь в виду, что описываемые ниже математические задачи не имеют аналогов в современной школьной дидактике, и, вместе с тем, удивительно эффективны с точки зрения формирования элементарных структур математического понимания. Многолетняя экспериментальная работа с этими задачами показала, что они являются чрезвычайно эффективной альтернативой той математике, которая сегодня, в соответствии с действующими учебниками и программами, преподается в начальной школе.

Но с одной оговоркой. Все описываемые ниже задачи являются действительно эффективной альтернативой той математике, которая сегодня преподается в начальной школе, именно потому, что они являются задачами вероятностного типа, т.е. задачами, которые "взрывают" идею пошагово-планового движения в материале. Это саморазвивающиеся задачи. Их мало освоить “по алгоритму”; они предполагают постоянно “встречное творчество”.

 И если я все же разбиваю описание этих задач на некие "шаги", то относиться к этому следует “с крупицей соли”: на самом деле любой описываемый мною "шаг" потенциально взрывоопасен - в том смысле, что может порождать фейерверк не учтенных и не поддающихся планированию возможностей.

Но если, глубокоуважаемый читатели, вы не боитесь такого рода опасностей; если жизнь, полная приключений и неожиданностей, вас привлекает больше, чем унылое железнодорожное расписание традиционного учебного плана; если вы готовы к тому, что ваши уроки математики будут отныне РЕЗВИТЬСЯ и развиваться в самых непредсказуемых направлениях, а вы сами никогда не будете точно знать, куда именно вывезет вас очередная "математическая кривая" (то бишь очередная вероятностная задача), тогда со священными словами: "За мной, читатель!" я приглашаю вас в увлекательное путешествие по клеточному пространству, и я сделаю все возможное, чтобы это путешествие оказалось для вас бесконечно интересным.

 

Сколько тетрадей нужно первокласснику?

 

Итак, вы начинаете заниматься математикой с ребенком, достигшим старшего дошкольного возраста или уже пошедшим в первый класс.

Или с группой детей (что, безусловно, предпочтительней, поскольку создает эффект игрового коллектвного азарта, соревнования и взаимной помощи).

Или с целым классом, если вы - работающий в школе учитель.

 И первый мой совет: спрячьте подальше те учебные пособия, которые сегодня взяты на вооружение нашей начальной школой.

Все, что вам потребуется - это элементарная тетрадь в клеточку. А, точнее, много такого рода тетрадей. Только чтобы клеточки в них имели правильную форму квадрата со стороной 0,5 см или с минимальный отклонением от этого параметра.

Практика показывает, что ученику первого класса, обучающемуся в соответствии с вероятностными стратегиями, может понадобиться в год до двух десятков двенадцатилистовых тетрадей для активного математического моделирования.

Но это единственная техническая (и финансовая - для родителей) сложность, связанная с предлагаемой моделью обучения. Если в традиционной системе обучения первокласснику может оказаться достаточно трех-четырех тертадей, то здесь - почти на порядок больше. С чем это связано?

Дело в том, что все вероятностные задачи ориентированы на формирование математического азарта. Любая задача такого рода - это своего рода саморазвивающаяся реальность, раскручивающаяся со скоростью снежного кома. А непрерывное использование графики клеточного листа, непрерывное моделирование разнообразного математического содержания с помощью тетрадных клеточек приводит к тому, что решение даже самых простых задач оказывается весьма объемным с точки зрения используемого тетрадного пространства.

 Вероятностные задачи носят принципиально открытый характер.

Это значит, что практически в любой задаче ребенок может построить неограниченное количество графических моделей; а если у него уже сформирован-таки достаточный азарт, этот ребенок будет строить свои графические модели и интерпретации с необыкновенной увлеченностью и с необыкновенным удовольствием. Все это неизбежно ведет к тому, что ребенок чрезвычайно активно осваивает все новые и новые клеточные пространства.

Даже решая одну-единственную задачу модельно-вероятностного типа, первоклассник способен исчертить своими графическими интерпретациями целую двенадцатилистовую тетрадь в течение одного учебного дня.

Впрочем, обычно силы первоклассника не безграничны, и его хватает максимум на несколько страниц в день. Однако и этого оказывается достаточно для того, чтобы каждую неделю исписывать и исчерчивать очередную тетрадь. И это в первом классе!

Думается, уже один только уровень работоспособности, демонстрируемый первоклассниками при решении задач вероятностной математики, способен впечатлить. Если дети работают с таким удовольствием и азартом, если они выполняют столь фантастические объемы работы уже на первом году обучения, значит, в предлагаемых задачах действительно есть нечто существенное с точки зрения психологии ребенка соответствующего возраста.

Тем не менее, я смею настаивать, что не только психологическое, но и чисто математическое содержание этих задач находится на весьма высоком уровне, позволяя формировать структуры математического мышления и математического понимания значительно более успешно, нежели какая бы то ни было из существующих ныне дидактических систем.

 

Странные шаги.

 

Впрочем, я не сомневаюсь, что у многих учителей попытка работать с описываемыми ниже задачами может вызвать на первых порах некоторое замешательство.

Вероятностные задачи, как я уже говорил, носят принципиальн открытый характер, и это создает неизбежный психологический барьер в сознании традиционного учителя.

Стереотипное учительское мышление привыкло к математическим задачам с жестко фиксированными очертаниями, когда существуют четкие условия, и столь же четкое решение, "закрывающее" задачу.

 Что же касается задач вероятностной математики, то это своего рода БЕСКОНЕЧНО ВЕТВЯЩИЕСЯ задачи, когда любое решение - это всего лишь вариант, и одновременно - источник для множества новых задач и новых вариантов.

Напрашивается аналогия с шахматами: каждая шахматная партия так же развивается по вероятностному принципу и представляет собой множество встроенных друг в друга задач с практически бесконечным количеством разветвлений и вариантов. Понятно, что изложение такого рода задач в дидактическом пособии для учителя - дело невероятной сложности. И потому ниже будет предложен лишь один из возможных вариантов изложения такого рода задач.

Недостаток этого варианта - известный схематизм.

Я описываю некие условные "шаги", которые должен (или, точнее, МОЖЕТ) делать учитель в совместном с учениками движении в пространстве той или иной задачи. Однако следует иметь в виду, что такого рода "шаги" - это условность. Живая работа с этими задачами будет приводит к множеству эвристических “взрывов”. И потому я лишний раз подчеркиваю, что описываемые ниже "шаги" менее всего являются МЕТОДИЧЕСКИМИ шагами в традиционном смысле этого слова, а вся совокупность описанных шагов менее всего является чем-то вроде программного сценария.

Это, скорее, некоторого рода раздражители, провокации для учителя.

Каждый "шаг" - это всего лишь возможная "затравка" для работы; реальное же движение в пространстве описываемых задач будет закладывать совершенно неожиданные и невероятные виражи, и реальный характер движения будет зависеть исключительно от взаимного творческого потенциала учителя и класса.

Ниже будут описаны несколько задачных комплексов "ветвящегося" типа, разработанных в процессе многолетних экспериментов на учебных площадках Екатеринбурга, Нижнего Новгорода, Москвы и других городов России. Результаты экспериментальной работы убедительно свидетельствуют: описываемые задачные комплексы являются весьма эффективной альтернативой существующей системе начального математического образования и позволяют, с одной стороны, сформировать мощную мотивацию к математическому обучению как таковому, а, с другой - заложить основы того, что выше было названо "структурами математического понимания". Иными словами, это задачные комплексы, которые позволяют совершить весьма эффективное вхождение в мир математики ученику первого класса или просто ребенку, достигшему возраста шести-семи лет.

 

Удивление как начало математики.

 

С чего начинается математика?

 Для миллионов людей кажется очевидным, что математика начинается со счета. И оттого озабоченные родители, а после и учителя тратят немыслимо много времени на то, чтобы научить ребенка счету. Вначале - просто последовательности называния чисел ("один, два, три, четыре..."), а чуть позже - и элементарным арифметическим процедурам.

Позволю, однако, оспорить общеизвестную истину и ответственно заявить, что настоящая математика начинается вовсе не со счета как такового, а с… загадки.

Естественно, не с любой загадки, а с загадки, имеющей математическое содержание. Важно только, чтобы загадка была КРАСИВОЙ и одновременно доступной для ребенка того или иного возраста. И если ребенок почувствовал завораживающую красоту математической загадки и красоту ответа (даже если ему не удалось самому эту загадку разгадать), в нем совершился маленький шажок к математике.

Другими словами, чтобы ребенок почувствовал вкус математики, нужно, чтобы он почувствовал красоту  математического парадокса.

Например, ребенку показывают большой-пребольшой арбуз и три маленьких арбузных семечка, и спрашивают: "Чего больше?"

Понятно, что по объему, по весу арбуз гораздо больше трех маленьких семечек. Но вот что удивительно: оказывается, есть некий параметр (и этим параметром является КОЛИЧЕСТВО), по которому три маленьких арбузных семечка… в три раза больше, чем огромный арбуз!

Ведь семечек - три, а арбуз - один.

И мы уверенно можем сказать: КОЛИЧЕСТВО семечек в три раза больше КОЛИЧЕСТВА арбузов. И в этом парадоксальном сравнении уже заложен один из фундаментальных математических парадоксов.

Ну, так вот.

Если ребенок уловил красоту этой загадки и красоту ее парадоксального решения - он почти состоялся как математик. Ведь из такого рода парадоксов и состоит, по сути дела, вся математика.

 Одна беда: школа о такого рода математических парадоксах говорит с унылой невнятностью, или не говорит вовсе. А ребенок, сталкиваясь с такого рода парадоксами в неявной форме (а происходит это на каждом шагу, поскольку вся математика сплетена из такого рода парадоксов), полагает, что, либо у него, либо у математиков попросту "съехала крыша".

В том-то и состоит суть дела, что даже “самая элементарная” математика глубоко философична по своему существу и требует серьезного философского анализа своих парадоксов. Однако как раз философского анализа математических парадоксов дети начальной школы начисто лишены.

То, что в своих глубинных и наиболее элементарных основаниях математика есть не что иное, как философия, было прекрасно известно отнюдь не только Пифагору. 

Другой великий грек, Аристотель заметил как-то, что подлинная философия начинается с удивления; но ведь ничуть не в меньшей степени это относится и к математике. Только через удивление перед завораживающей красотой математического построения может ребенок войти в удивительный мир математики, и одновременно - в мир философии математики, коль скоро в самих основаниях математики лежат фундаментальные философские идеи.

 Однако именно удивление - это то, что даже не ночевало в современных учебниках по математике для начальной школы. И уж во всяком случае, никак не явлено в этих учебниках ФИЛОСОФСКОЕ содержание, ФИЛОСОФСКИЙ смысл математики.

Речь не о том, конечно же, чтоб разводить “турусы на колесах" и с помощью каких-то малопонятных слов пытаться объяснить первокласснику глубинные философемы, лежащие в основании элементарного математического знания или элементарных математических аксиом и понятий. Важнее другое: так построить доступный первокласснику математический практикум, чтобы философские основания математики оказались в нем ЯВЛЕНЫ С ОЧЕВИДНОСТЬЮ даже для сознания семилетнего ребенка.

И такова, если угодно, сверхзадача разработанного нами комплекса задач, направленного на формирования структур математической очевидности.

 

Всевозрастные задачи.

 

И еще одно предварительное замечание.

Все описываемые ниже задачи - это задачи, которые предназначены для работы с детьми разных возрастов и разной степени математической подготовленности.

 Это значит, что каждая задача существует как принципиально многоуровневая. На простейших уровнях сложности она доступна детям пятилетнего или шестилетнего возраста; однако в своем развитии (а, повторяю, речь идет о саморазвивающихся задачах) каждая из описываемых задач может достичь такого уровня сложности, который способен вызвать азарт даже у взрослого человека, знакомого с математикой в пределах школьной программы.

 Минимальный уровень предварительной подготовки, который предполагается этими задачами - это умение сосчитать пальцы на одной руке (а это умение, которым безусловно владеют дети пятилетнего или шестилетнего возраста); максимальный уровень предварительной подготовки ничем не ограничен.

ГЛАВА IV