Вопрос 17. Численное решение уравнения с одной переменной. Постановка задачи. Метод половинного деления.

Постановка задачи:

В общем случае не линейное уравнение может быть записано в виде        (1)

 – определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале [a;b].

Любое число ε принадлежащее [a;b], такое, что  назовем корнем уравнения (1).

Не линейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Уравнение (1) является алгебраическим, если функция  в результате алгебраических преобразований может быть представлена в виде:

, где

Если левую часть уравнения невозможно представить в таком виде, то уравнение называется трансцендентное.

Решить уравнение (1) это значит установить имеет ли оно корни, установить сколько корней и определить эти корни с заданной точностью или доказать, что уравнение не имеет корней. Задача численного нахождения корня уравнения (1) состоит из 2-х этапов:

1) Отделение корней

2) Уточнение корней

Отделение корней – это нахождения достаточно малых отрезков в которых локализован один корень.

Уточнение – вычисление корней с заданной точностью.

Выбор численного метода зависит от числа корней, от задания точности и от поведения функции .

Метод половинного деления

Дано нелинейное уравнение:

Найти корень уравнения, принадлежащий интервалу [a;b], с заданной точностью ε.

Для уточнения корня методом половинного деления последовательно осуществляем следующие операции:

Делим интервал пополам:

[a;b].

В качестве нового интервала изоляции принимаем ту половину интервала, на концах которого функция имеет разные знаки (рис.4.4).

Для этого:

a) Вычисляем значение функции f(x) в точках a и t.

b) Проверяем: если f(a)f(t) < 0, то корень находится в левой половине интервала [a,b] (рис.4.4.а). Тогда отбрасываем правую половину интервала и делаем переприсвоение b=t.

c) Если f(a)f(t) < 0 не выполняется, то корень находится в правой половине интервала [a,b] (рис.4.4.б). Тогда отбрасываем левую половину и делаем переприсвоение a=t. В обоих случаях мы получим новый интервал [a,b] в 2 раза меньший предыдущего.

Процесс, начиная с пункта 1, циклически повторяем до тех пор, пока длина интервала [a,b] не станет равной либо меньшей заданной точности, т.е. ≤ε.

Метод - половинного деления имеет много достоинств. Главным достоинством этого метода является то, что для приближенных решений автоматически получается оценка точности. Второе достоинство данного метода состоит в том, что этот метод легко реализуем. Однако у этого метода есть и недостатки. Для реализации этого метода мы должны знать отрезок, на концах которого функция принимает значения разного знака. А также этот метод является сугубо скалярным и не может быть обобщен на многомерный случай.