Основні теореми теорії імовірностей

Лекційний курс

Тема 5. Схема і формула Бернулі

Лекція 7. формула бернулі

Мета: ознайомлення студентів з умовами застосування формули Бернулі.

Професійна спрямованість: уміння застосовувати формулу Бернулі.

Основні поняття: схема Бернулі, формула Бернулі, незалежні випробування.

План:

1. Схема Бернулі.

2. Зауваження до використання формули Бернулі.

Література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К. Центр учбової літератури, 2010. – 424 с.

2. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлінська С.Ю. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

3. Жильцов О.Б. Теорія ймовірностей та математична статистика у прикладах і задачах: навчальний посібник для студентів нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів. – К.: Київський університет імені Б. Грінченка, 2015. – 336 с.

4. Кушлик-Дивульська О.І., Поліщук Н.В., Орел П.Б., Штабалюк П.І. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: НТТУ КПІ, 2014. – 210 с.

5. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – К., 2011. – 256 с.

 

 

Тема 6. Послідовність випробувань із різними ймовірностями

Лекція 8. послідовність випробування із різними ймовірностями

Мета: ознайомлення студентів з послідовністю випробувань із різними імовірностями.

Професійна спрямованість: уміння застосовувати правила пошуку імовірностей.

Основні поняття: теорема Пуассона, послідовність випробувань, правило пошуку імовірностей.

План:

1. Теорема Пуассона.

2. Послідовність випробувань.

3. Основне правило шукання імовірностей.

Література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К. Центр учбової літератури, 2010. – 424 с.

2. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлінська С.Ю. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

3. Жильцов О.Б. Теорія ймовірностей та математична статистика у прикладах і задачах: навчальний посібник для студентів нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів. – К.: Київський університет імені Б. Грінченка, 2015. – 336 с.

4. Кушлик-Дивульська О.І., Поліщук Н.В., Орел П.Б., Штабалюк П.І. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: НТТУ КПІ, 2014. – 210 с.

5. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – К., 2011. – 256 с.

 

 

Тема 6. Послідовність випробувань із різними ймовірностями

Лекція 9. проста течія подій

Мета: ознайомлення студентів з означеннями простої течії подій.

Професійна спрямованість: уміння застосовувати математичну модель простої течії подій.

Основні поняття: проста течія подій, пуассонівська течія подій, властивості простої течії подій, математична модель простої течії подій, інтенсивність течії.

План:

1. Означення простої течії подій.

2. Теорема течії подій.

Література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К. Центр учбової літератури, 2010. – 424 с.

2. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлінська С.Ю. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

3. Жильцов О.Б. Теорія ймовірностей та математична статистика у прикладах і задачах: навчальний посібник для студентів нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів. – К.: Київський університет імені Б. Грінченка, 2015. – 336 с.

4. Кушлик-Дивульська О.І., Поліщук Н.В., Орел П.Б., Штабалюк П.І. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: НТТУ КПІ, 2014. – 210 с.

5. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – К., 2011. – 256 с.

 

 

Практичні заняття

 

Тема 5. Схема і формула Бернулі

Практичне заняття 9. формула Бернулі

Мета: ознайомлення студентів з умовами застосування формули Бернулі.

Професійна спрямованість: уміння застосовувати формулу Бернулі.

Основні поняття: схема Бернулі, формула Бернулі, незалежні випробування.

План:

1. Схема Бернулі.

2. Зауваження до використання формули Бернулі.

Практичні завдання.

1. Є 12 стандартних і 4 нестандартних деталі. Навмання беруть 3 з них (з поверненням). Знайти імовірність того, що серед взятих деталей: а) усі три стандартні; б) не більше однієї нестандартної; в) хоча б одна нестандартна.

2. У виробництві деякої продукції третій сорт складає 20%. Знайти імовірність того, що з 5 навмання взятих виробів цієї продукції не менше, ніж 3, будуть третього сорту.

3. Імовірність виготовлення стандартного виробу дорівнює 0,95. Яка ймовірність того, що серед 10 виробів не більше одного нестандартного?

Завдання для самостійної роботи

§ опрацювати основні поняття
§ опрацювати питання
§ виконання практичного завдання

Оцінювання

§ виконання практичного завдання

1 оцінка

Література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К. Центр учбової літератури, 2010. – 424 с.

2. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлінська С.Ю. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

3. Жильцов О.Б. Теорія ймовірностей та математична статистика у прикладах і задачах: навчальний посібник для студентів нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів. – К.: Київський університет імені Б. Грінченка, 2015. – 336 с.

4. Кушлик-Дивульська О.І., Поліщук Н.В., Орел П.Б., Штабалюк П.І. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: НТТУ КПІ, 2014. – 210 с.

5. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – К., 2011. – 256 с.

Контрольні питання і завдання:

1. Яка послідовність випробувань утворює схему Бернулі?

2. Яку формулу звуть формулою Бернулі і що вона дозволяє обчислити?

3. За якими формулами знаходять появи події А менше m або не менше за m разів у n випробуваннях схеми Бернулі?

4. За якою формулою знаходять імовірність появи події А хоча б один раз у n випробуваннях?

 

 

Тема 6. Послідовність випробувань із різними ймовірностями

Практичне заняття 10. Послідовність випробування із різними ймовірностями

Мета: ознайомлення студентів з послідовністю випробувань із різними імовірностями.

Професійна спрямованість: уміння застосовувати правила пошуку імовірностей.

Основні поняття: теорема Пуассона, послідовність випробувань, правило пошуку імовірностей.

План:

1. Теорема Пуассона.

2. Послідовність випробувань.

3. Основне правило шукання імовірностей.

Практичні завдання.

1. Прилад складено з 1000 незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови будь-якого елементу за час Т дорівнює 0,002. Знайти імовірність того, що за час Т відмовлять 3 елементи.

2. Імовірність виробництва бракованого виробу дорівнює 0,008. Знайти імовірність того, що серед 1000 виробів бракованих буде, не більше, ніж а) 3; б) 4; в) 5; г) 10.

3. Прилад складено із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність безвідмовної роботи елементів 0,7, 0,8 та 0,9. Знайти імовірність того, що будуть працювати безвідмовно

а) всі три елементи;

б) два елементи;

в) один елемент;

г) жоден із елементів.

Завдання для самостійної роботи

§ опрацювати основні поняття
§ опрацювати питання
§ виконання практичного завдання

Оцінювання

§ виконання практичного завдання

1 оцінка

Література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К. Центр учбової літератури, 2010. – 424 с.

2. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлінська С.Ю. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

3. Жильцов О.Б. Теорія ймовірностей та математична статистика у прикладах і задачах: навчальний посібник для студентів нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів. – К.: Київський університет імені Б. Грінченка, 2015. – 336 с.

4. Кушлик-Дивульська О.І., Поліщук Н.В., Орел П.Б., Штабалюк П.І. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: НТТУ КПІ, 2014. – 210 с.

5. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – К., 2011. – 256 с.

Контрольні питання і завдання:

1. У яких випадках доцільно використати граничні теореми у схемі Бернулі?

2. Коли доцільно застосовувати формулу Пуассона?

Тема 6. Послідовність випробувань із різними ймовірностями

Практичне заняття 11. проста течія подій

Мета: ознайомлення студентів з означеннями простої течії подій.

Професійна спрямованість: уміння застосовувати математичну модель простої течії подій.

Основні поняття: проста течія подій, пуассонівська течія подій, властивості простої течії подій, математична модель простої течії подій, інтенсивність течії.

План:

1. Особливості вираховування подій у випадкові моменти часу.

Практичні завдання.

1. Середня кількість замовлень таксі, що надходять таксі, що надходять щохвилини, дорівнює 3. Знайти імовірність того, що за 2 хвилини надійде

а) 4 замовлення;

б) менше 4 замовлень;

в) не менше 4 замовлень.

2. Середня кількість обривів нитки на ткацькому верстаті в одну хвилину дорівнює 3. Знайти імовірність того, що за три хвилини буде:

а) 5 обривів нитки;

б) менше 5 обривів нитки;

в) не менше 5 обривів нитки.

Завдання для самостійної роботи

§ опрацювати основні поняття
§ опрацювати питання
§ виконання практичного завдання

Оцінювання

§ виконання практичного завдання

1 оцінка

Література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К. Центр учбової літератури, 2010. – 424 с.

2. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлінська С.Ю. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

3. Жильцов О.Б. Теорія ймовірностей та математична статистика у прикладах і задачах: навчальний посібник для студентів нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів. – К.: Київський університет імені Б. Грінченка, 2015. – 336 с.

4. Кушлик-Дивульська О.І., Поліщук Н.В., Орел П.Б., Штабалюк П.І. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: НТТУ КПІ, 2014. – 210 с.

5. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – К., 2011. – 256 с.

Контрольні питання і завдання:

1. За якою формулою знаходять імовірність появи у випадку простої течії?

 

 

Лабораторні заняття

 

Тема 6. Послідовність випробувань із різними ймовірностями

Лабораторне заняття 6. ТЕОРЕМА ПУАССОНА

Мета: ознайомлення студентів з послідовністю випробувань із різними імовірностями.

Професійна спрямованість: уміння застосовувати правила пошуку імовірностей.

Основні поняття: теорема Пуассона, послідовність випробувань, правило пошуку імовірностей.

План:

1. Приклади вирішення завдань з теоремою Пуассона.

2. Послідовність випробувань.

Практичні завдання.

1. Завод відправив до бази 500 виробів. Імовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0,002. Знайти імовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено виробів: а) три; б) менше трьох; в) більше трьох.

2. Ткаля обслуговує 1000 веретен. Імовірність обриву нитки на одному веретені протягом однієї хвилини дорівнює 0,005. Знайти імовірність того, що протягом однієї хвилини обрив станеться на 7 веретенах.

Завдання для самостійної роботи

§ опрацювати основні поняття
§ опрацювати питання
§ виконання практичного завдання

Оцінювання

§ виконання практичного завдання

1 оцінка

Література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – К. Центр учбової літератури, 2010. – 424 с.

2. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлінська С.Ю. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

3. Жильцов О.Б. Теорія ймовірностей та математична статистика у прикладах і задачах: навчальний посібник для студентів нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів. – К.: Київський університет імені Б. Грінченка, 2015. – 336 с.

4. Кушлик-Дивульська О.І., Поліщук Н.В., Орел П.Б., Штабалюк П.І. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчальний посібник. – К.: НТТУ КПІ, 2014. – 210 с.

5. Теорія ймовірностей та математична статистика: навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – К., 2011. – 256 с.