Лабораторная работа №121.
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Цель работы. Изучение методов и отработка навыков перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.
Количество различных цифр 
, используемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием -ой системы счисления.
Любое число N в позиционной системе счисления с основанием может быть представлено в виде полинома от основания :
,
где 
— число, 
— цифры числа (коэффициенты при степенях ), — основание системы счисления ( >1).
Числа записывают в виде последовательности цифр:
. 
, точка в последовательности отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при неотрицательных степенях, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если число целое (нет отрицательных степеней).
В компьютерных системах применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.
В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из которых обозначается 0, а другое — 1. Поэтому арифметико-логической основной ЭВМ является двоичная система счисления.
Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде: 
. 
, где 
либо 0, либо 1.
Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:
Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (см. таблицу 1).
Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел используется 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр — латинскими буквами: A (10), В (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Шестнадцатеричная система, так же как и восьмеричная, используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (см. табл. 1).
Таблица 1.
Алфавиты позиционных систем счисления (сс)
| Двоичная сс (Основание 2) | Восьмеричная сс (Основание 8) | Десятичная сс (Основание 10) | Шестнадцатеричная сс (Основание 16) | ||
| Двоичные триады | Двоичные тетрады | ||||
| 0 1 | 0 1 2 3 4 5 6 7 | 000 001 010 011 100 101 110 111 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A (10) B (11) C (12) D (13) E(14) F(15) | 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
Задание 1. Переведите числа из заданных систем счисления в десятичную систему.
Методические указания.
Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления суммы степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение этой суммы.
Примеры.
а) Перевести 
с.с.*
.
Ответ:. .
б) Перевести 
с.с.
.
Ответ: 
.
в) Перевести 
с.с.
.
Ответ: 
.
Задание 2. Переведите целые числа из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.
Методические указания.
Перевод целых десятичных чисел в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное равное нулю. Число в новой системе записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего.
Примеры.
а) Перевести 
с.с.
Ответ: 
.
б) Перевести 
с.с.
 |
Ответ: 
.
Задание 3. Переведите правильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.
Методические указания.
Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь последовательно умножают на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части полученных произведений. Если в результате умножения на некотором шагу дробная часть становится равной нулю, это означает, что получили конечную дробь в новой системе счисления. В новой системе дробь записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого. Не все конечные дроби в результате перевода станут конечными, зачастую в новой системе счисления получается бесконечная дробь.
Примеры.
а) Перевести 
с.с.
| 0, | 3125 ´ 8 |
| 2, | 5000 ´ 8 |
| 4 | 0000 |
 0,
| 3125 ´ 8 |
| 2 | 5000 ´ 8 |
| 4 | 0000 |
Условно разделим вертикальной чертой целую и
дробную часть полученных произведений.
Результат перевода – есть последовательность
цифр, состоящих из целых частей произведений,
записанная сверху вниз.
Ответ: 
.
б) Перевести с точностью до 6 знаков после запятой 
с.с.
| 0, | 65´ 2 |
| 1 | 3´ 2 |
| 0 | 6 ´ 2 |
| 1 | 2 ´ 2 |
| 0 | 4 ´ 2 |
| 0 | 8 ´ 2 |
| 1 | 6 ´ 2 |
| ... |
0,65´2=1,3 далее умножаем дробную часть полученного произведения
0,3´2=0,6
0,6´2=1,2 каждый раз умножаем только дробную часть
произведения
0,2´2=0,4
0,4´2=0,8
0,8´2=1,6
0,6´2=1,2
Ответ: 
.
Задание 4. Переведите неправильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.
Методические указания.
Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.
Пример. Перевести 
с.с.
1) Переведем целую часть: 2) Переведем дробную часть:
| 23 | 2 | |||||
| 22 | 11 | 2 | ||||
| 1 | 10 | 5 | 2 | |||
| 1 | 4 | 2 | 2 |
| |
| 1 | 2 | 1 | 2 | |||
| 0 | 0 | 0 | ||||
1
0,
2
; 
. Результат перевода 
.
= 
; 
= 
.
с.с. 
с.с.
с.с.
.
