Формы представления чисел в ЭВМ.

При проектировании ЭВМ, создании инструментального и прикладного программного обеспечения разработчикам приходится решать вопрос о представлении в ЭВМ числовых данных. Для решения большинства прикладных задач обычно достаточно использовать целые и вещественные числа. Запись целочисленных данных в запоминающем устройстве ЭВМ не представляет затруднений: число переводится в двоичную систему и записывается в прямом коде. Диапазон представляемых чисел в этом случае ограничивается количеством выделенных для записи разрядов. Для вещественных данных обычно используются две формы записи: число с фиксированной точкой (ЧФТ) и число с плавающей точкой (ЧПТ).

 

Числа с фиксированной точкой.

 

Форма записи числа с фиксированной точкой использовалась в основном на ранних этапах развития вычислительной техники. Запись числа с фиксированной точкой обычно имеет знаковый и цифровой разряды.  Фиксированная точка означает, что на этапе конструирования ЭВМ было определено, сколько и какие разряды машинного слова отведены под изображение целой и дробной частей числа. Запятая в разрядной сетке может быть зафиксирована, в принципе, после любого разряда.

Пример.

Ячейка с целой и дробной частью.

 

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Знак               Целая часть                                   Дробная часть числа             (n разрядов)                                    (m разрядов)

 

Как частный случай числа с фиксированной точкой, может быть рассмотрена запись целого числа (в этом случае все разряды, кроме знакового, используются для записи целой части).

 

Ячейка с записью целого числа.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Знак                                        Цифровые разряды (n)         числа

 

К достоинствам использования чисел с фиксированной точкой относятся простота выполнения арифметических операций и высокая точность изображения чисел. К недостаткам – небольшой диапазон представления чисел.

 

Числа с плавающей точкой.

Для представления чисел с плавающей точкой (ЧПТ) используется полулогарифмическая форма записи числа:

где – основание системы счисления, – порядок числа, – мантисса числа .

Положение точки определяется значением порядка . С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо.

 

Пример.

Для установления однозначности при записи чисел принята нормализованная форма записи числа. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне: . Таким образом, в нормализованных числах цифра после точки должна быть значащей.

 

Пример.

       

ненормализованное нормализованное

         число                      число

 

Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

а) представление чисел в формате полуслова

 

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

                     

Знак Знак   Порядок p               Мантисса m

           (4 разряда)             (10 разрядов)

б) представление чисел в формате слова   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9           31                         ...       Знак Знак               Порядок   p           Мантисса m                       (7 разрядов)            (23 разряда)

Наиболее типично представление ЧПТ в формате слова (32 разряда).

Пример.

а) Число А записывается в ячейку следующим образом:

 

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11					31
0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	...				0

Знак Знак       Порядок p                 Мантисса m                  (7 разрядов)           (23 разряда)

 

б)Число А

 

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12			31
1	0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	1	0	...	0

Знак Знак   Порядок p                 Мантисса m             (7 разрядов)             (23 разряда)

 

 

Максимальным числом представимым в формате слова будет

А  

.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12			31
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	...	1

Зн  Зн       Порядок p             Мантисса m

        

 

 

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12			31
1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	...	1

Зн  Зн   Порядок p            Мантисса m

Минимальным числом из возможно представимых в формате слова будет А

        

 

Минимальным по модулю, отличным от нуля и нормализованным будет А .

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12			31
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	...	0

Зн  Зн p    Порядок p                 Мантисса m

 

0	1	2	3		11	12	13		31		0	1			31
				...				...					...

Знак Знак Порядок p                      Мантисса m          (10 разрядов)               (52 разряда)

Таким образом, числа с плавающей точкой позволяют увеличить диапазон обрабатываемых чисел, но при этом точность изображения чисел определяется только разрядами мантиссы и уменьшается по сравнению с числами с фиксированной точкой. При записи числа в формате слова диапазон представимых чисел будет от  до , а точность определяться мантиссой, состоящей из 23 разрядов. Точность может быть повышена путем увеличения количества разрядов мантиссы. Это реализуется путем представления чисел с так называемой двойной точностью (используется формат двойного слова):

Литература.

1. Пономарев В.С., Красников В.В. Методические указания по курсу "Организация и функционирование ЭВМ и систем". Ч. 1. Арифметические основы ЭВМ. ДГТУ, 1996.

2. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы. М.: Энергоатомиздат, 1991.

3. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. М.: Высшая школа, 1983.

4. Лю Ю-Чжен, Гибсон Г. Микропроцессоры семейства 8086/8088. М.: Радио и связь

 

 

* Здесь и в дальнейшем при одновременном использовании нескольких различных систем счисления основание системы к которой относится число будем указывать в виде нижнего индекса.

* Знаковым разрядом обычно является крайний разряд в разрядной сетке. В дальнейшем при записи кода знаковый разряд от цифровых условимся отделять запятой. Если количество разрядов кода не указано будем предполагать, что под запись кода выделен один байт.