Геометрическое пространство

Геометрическим пространством принято считать бесконечное множе ство геометрических элементов. Например, прямую можно считать пространством, если она представляется как множество точек. Плоскость как пространство является множеством точек или прямых. Этот ряд примеров можно продолжать достаточно долго, что обеспечивается универсальностью определения пространства.

Распространенным способом образования пространства является кинематический. Суть его заключается в том, что некоторый элемент, например точка, или прямая, или плоскость, перемещаясь по какому-либо закону, образует это пространство. Например, результатом перемещения точки является линия. Прямолинейное перемещение образует прямую линию, криволинейное – кривую линию. Перемещение прямой или кривой линии образует плоскость, поверхность или пространство и т. д.

Геометрическое пространство отличают следующие свойства, которые необходимо учитывать при работе с ним:

· относительность;

· абстрактность;

· размерность;

· проективность.

Относительность. Любой геометрический элемент может являться одновременно пространством, и наоборот, любое пространство может оказаться элементом. Здесь важно понять, что принцип относительности действует и в геометрии. Любое определение не является жестко фиксированным по отношению к определяемому объекту. Например, прямая может быть представлена как множество точек, тогда она представляет собой пространство. Если она мыслится как неделимый объект, тогда она может быть элементом плоскости или другого пространства.

Абстрактность. Геометрическое пространство является математическим объектом, и, как любой математический объект, оно не существует в реальной действительности. Действительно, любой геометрический объект является неким свойством, которое присуще большому множеству реальных объектов. Например, свойство «быть малым» обладают большое количество реальных объектов. Если отвлечься отреальность, то оно превращается геометрическое понятие «точка», которая вообще не имеет размеров. В жизни не существует идеально прямолинейных объектов, но это свойство в своем идеальном варианте порождает геометрическую прямую. Такой же вывод можно сделать о любом геометрическом объекте. Поскольку пространство представляет собой множество таких объектов, то оно тоже не существует в реальности, т.е. абстрактно.

Размерность. Одной из распространенных операций над геометрическими пространствами является выделение элемента этого пространства. Для этого в пространстве фиксируется система координат и намечается процедура соотнесения элементов с этой системой. В результате образуется некий набор чисел, который принято считать размерностью этого пространства.

Рассмотрим несколько примеров применительно к линейным пространствам. Положению произвольных точек А и В на прямой l (рис. 3) ставится в соответствие набор из одного числа. Это расстояние от выбранной точки до некоторой фиксированной точки О, играющей роль координатной системы. В результате прямая, как множество точек, представляет собой одномерное пространство.

Рис. 3. Выделение точки из множества точек прямой

Положению точки А в плоскости ставится в соответствие набор из двух чисел (рис. 4), которые считываются на координатных осях х и у. Процедура сопоставления заключается в проведении через точку прямых, параллельных осям координат. Множество точек плоскости – двухмерное пространство.

Рис. 4. Выделение точки из множества точек в плоскости

Положению точки А в трехмерном пространстве соответствует набор из трех чисел (рис. 5). Для того чтобы ее выделить, необходимо выполнить известную процедуру. Через заданную точку провести три плоскости α, β, γ. Каждая из этих плоскостей пересечет ось координат, которой она перпендикулярна, и выделит на ней точку. Расстояние от этой точки до начала координат измеряется конкретными числами а x, а y, а z. В результате получим три числа, которые позволяют выделить в трехмерном пространстве одну точку из бесконечного множества ей подобных.