Преобразование чисел из одной системы счисления в другую

Преобразование из десятичной в прочие системы счисления производится в соответствии с формулой 1.4.2 с помощью правил умножения и деления. При этом целая и дробная части переводятся отдельно. Рассмотрим алгоритм перевода на примере целого числа 137 в двоичную систему. Разделим его нацело на 2, получим , остаток 1. Полученный результат можно записать следующим образом: . Продолжим операцию деления дальше

, остаток 0, ;

, остаток 0, ;

, остаток 1,

;

, остаток 0,

;

, остаток 0,

;

, остаток 0,

.

Далее процесс продолжать нельзя, т. к. 0 не делится нацело на 2. Таким образом, последовательное деление нацело на 2 позволяет разложить число по степеням двойки, а это в краткой записи и есть двоичное изображение числа: . Все приведенные выкладки можно сократить, записав процесс деления в виде следующей схемы:

Читая частное и остатки от деления в порядке, обратном получению, найдем двоичную запись числа. Для других систем счисления все описанные действия выполняются аналогичным способом. Например, это же число 137 в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления переводится по похожим схемам.

Для дробных чисел правило последовательного деления заменяется правилом последовательного умножения. Переведем 0.2 из десятичной системы счисления в двоичную. Умножим 0.2 на 2, т. е.  или .

, ;

, ;

,

;

,

,

т. е. . Все вышеприведенные выкладки можно свести в табл. 4.

 

Таблица 4

0	0.2 2
0	0.4 2
1	0.8 2
1	0.6 2
0	0.2 2
…	…

 

Заметим, что в десятичной системе правильная дробь переводится в десятичную дробь в конечном виде только тогда, когда ее знаменатель имеет множители только степени двоек и пятерок, т. е. дробь имеет вид . Аналогично в двоичной системе счисления конечный вид получают дроби, где в знаменателе только степени двойки. Таким образом, большинство десятичных конечных дробей в двоичной системе счисления будут бесконечными периодическими дробями.

Обратный перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную производится методом подстановки. Для этого необходимо представить число по формуле (1.4.2):

 

.

Между двоичной системой счисления, восьмеричной и шестнадцатеричной существует связь, позволяющая легко переводить числа из одной системы в другую. Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, надо от десятичной запятой вправо и влево выделить группы по три цифры (триады), и каждую группу независимо от других перевести в одну восьмеричную цифру. Для перевода в шестнадцатеричную систему необходимо выделять по четыре цифры (тетрады) и переводить каждую группу в одну шестнадцатеричную цифру.