Расчет цепей с несинусоидальными колебаниями

Идея расчета цепи состоит в том, что расчет ведется по каждой составляющей несинусоидального колебания в отдельности. Нужно по отдельности рассчитать величину постоянной составляющей тока, вызванной постоянной составляющей напряжения, величину первой гармоники тока, вызванной первой гармоникой напряжения и т.д.

При расчёте цепей с несинусоидальным колебанием нужно учитывать что сопротивление реактивных элементов (индуктивностей и ёмкостей), входящих в цепь будет разным для каждой составляющей несинусоидального колебания. Индуктивное сопротивление растёт с повышением номера гармоники, а ёмкостное сопротивление уменьшается.

Величина каждой из составляющих тока определяется по закону Ома.

Пример 16. Расчёт цепи с несинусоидальным напряжением

    К цепи, содержащей последовательное соединение элементов: резистора R, индуктивности L, и ёмкости C, подведено несинусоидаль­ное напряжение u = 150 sinωt + 50sin3ωt +30sin5ωt.

    Известны сопротивления элементов цепи для частоты первой гармоники: R = 9 Ом, Х_L1 = 5 Ом и Xс₁= 45 Ом.

    Опре­делить действующие значения несинусоидального напряжения U, тока I и актив­ную мощность Р, выделяющуюся в цепи.

Решение

    Математическая запись несинусоидального напряжения, приложенного к цепи содержит три составляющих: первую, третью и пятую гармоники.  

    Полное сопротивление цепи для первой гармоники

В этой формуле использованы, указанные в условии задачи, сопротивления элементов цепи для первой гармоники.

    Аналогично находим полное сопротивление цепи для третьей и для пятой гармоники. Следует учесть, что для третьей гармоники индуктивное сопротивление возрастает втроё, а ёмкостное сопротивление втрое уменьшается по сравнению с сопротивлением для первой гармоники. Соответственно, для пятой гармоники, индуктивное и ёмкостное сопротивления изменятся в пять раз. Активное сопротивление от частоты не зависит.

    Амплитудную величину каждой гармоники тока определяем по закону Ома, зная амплитуду напряжения и полное сопротивление цепи для соответствующей гармоники:

    Действующее значение тока в цепи:

Мощность, выделяющаяся в цепи:

        

 

Трехфазный ток

Основные понятия

В промышленности широко используется трехфазный синусоидальный ток. Однофазный ток, применяемый в быту, является частью трехфазной системы.

Значительный вклад в развитие трёхфазных систем внёс наш соотечественник, русский инженер, М. О. Доливо-Добровольский, который впервые предложил связанную (трёх- и четырёхпроводную) систему трёхфазного тока.

    Широкое применение трёхфазного тока объясняется достоинствами трехфазной системы:

1) упрощается передача и распределение энергии от электростанции к потребителям;

2) на базе трехфазного тока создан простой, дешевый и надежный электродвигатель; это очень важное достоинство, т.к. для производства любой продукции необходим электродвигатель.

    Трехфазной называется система трех одинаковых по амплитуде и частоте синусоидальных величин, смещённых по фазе на 120 градусов относительно друг друга.

    Три синусоиды обозначаются буквами A, B и C и, соответственно, называются фазами A, B или С. Эти синусоиды могут изображать напряжение, ток или ЭДС.

    График трехфазного напряжения показан на рис. 76. На графике изображены синусоиды трёх напряжений: u_А, u_B и u_C.   

По горизонтальной оси графика отложен фазовый угол ωt – угол поворота рамки генератора, в которой индуктируется синусоидальная ЭДС. (Повторите принцип работы и устройство генератора однофазного переменного тока.)

       

Рис. 76. График трехфазной системы напряжений на волновой диаграмме

 

Графики трёхфазной системы токов или трехфазной системы ЭДС будут выглядеть аналогично.

    Напомним, что каждая синусоида формируется за один полный оборот рамки генератора, который составляет 360 градусов или 2π радиан.

    Построение графика трёхфазного тока начинается с построения осей координат, а затем – синусоиды фазы А. Её синусоида начинается из начала координат (в точке 0).

    Чтобы удобнее было строить синусоиды фазы B и фазы С, каждый полупериод синусоиды фазы А разбит на три равные части. Полупериод синусоиды соответствует 180 градусам, следовательно в каждом отрезке будет 60 градусов.

    После построения синусоиды фазы А строятся две другие синусоиды.

    Положительный полупериод синусоиды фазы В начинается на 120 градусов правее начала положительного полупериода синусоиды фазы А. Это означает, что синусоида В отстаёт по фазе от синусоиды фазы А на 120 градусов.

    Синусоида фазы С начинается на 120 градусов правее начала положительного полупериода синусоиды фазы В, т.е. отстаёт от синусоиды фазы В на 120 градусов. Можно также сказать, что синусоида фазы С отстаёт по фазе от синусоиды фазы А на 240 градусов.

    Математически три синусоиды трёхфазной системы можно записать в виде:

        

На рис. 77 синусоидальные величины трёхфазной системы показаны на векторной диаграмме

Рис. 77. Изображение трехфазной системы напряжений

на векторной диаграмме

 

На векторной диаграмме трехфазная система напряжений, токов или ЭДС изображается в виде трех векторов, под углом 120 градусов друг к другу.