Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Плоскость и прямая в пространстве

Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется уравнение F (x, y, z)=0, которое обращают в верное равенство координаты всех точек данной поверхности, и которому не удовлетворяют точки вне данной поверхности.

Уравнение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Для того, чтобы три точки пространства M ₁(x ₁; y ₁; z ₁); M ₂(x ₂; y ₂; z ₂); M ₃(x ₃; y ₃; z ₃), определяли плоскость , они не должны лежать на одной прямой. Поскольку точки лежат в одной плоскости, то для произвольной точки M (x; y; z) из этой плоскости векторы
={ x – x ₁; y – y ₁; z – z ₁}, ={ x ₂– x ₁; y ₂– y ₁; z ₂– z ₁} и ={ x ₃– x ₁; y ₃– y ₁; z ₃– z ₁} будут компланарны, а их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение в координатной форме имеет вид

.                            (1)

Это равенство и определяет уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки.

2 Уравнение плоскости с нормальным вектором

Пусть плоскость  проходит через точку M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) перпендикулярно вектору =(A; B; C). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор  называется нормальным вектором плоскости .

Для произвольной точки M (x; y; z) из плоскости  вектор ={ x – x ₀; y – y ₀; z – z ₀} будет перпендикулярен вектору =(A; B; C), а скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. =0. В координатной форме последнее равенство имеет вид

.                                             (2)

Уравнение (2) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору =( A; B; C ) и проходящей через данную точку M ₀ ( x ₀; y ₀; z ₀).

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость  пересекает ось O x в точке A (a; 0; 0), ось Oy в точке B (0; b; 0), а ось Oz в точке C (0; 0; c). Тогда уравнение плоскости в отрезках (каноническое уравнение плоскости) имеет вид

.                                                                                         (3)

Общее уравнение плоскости

Уравнение плоскости (2), записанное в виде

,                                                                    (4)

где , называется общим уравнением плоскости.

При различных сочетаниях значений коэффициентов получаются различные плоскости.

1) A =0; B 0; C 0; D 0 – уравнение плоскости, параллельной оси Ox.

2) A 0; B =0; C 0; D 0 – уравнение плоскости, параллельной оси O y.

3) A 0; B 0; C =0; D 0 – уравнение плоскости, параллельной оси O z.

4) A 0; B 0; C 0; D =0 – уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

5) A= B=0; C 0; D 0 – уравнение плоскости, параллельной плоскости Ox y.

6) A= C =0; B 0; D 0 – уравнение плоскости, параллельной плоскости Ox z.

7) A 0; B = C =0; D 0 – уравнение плоскости, параллельной плоскости O yz.

8) A= D =0; B 0; C 0 – уравнение плоскости, проходящей через ось Ox.

9) A 0; B = D =0; C 0 – уравнение плоскости, проходящей через ось O y.

10) A 0; B 0; C = D =0– уравнение плоскости, проходящей через ось O z.

11) A = B = D =0; C 0 – уравнение плоскости Ox y.

12) A = C = D =0; B 0 – уравнение плоскости Ox z.

13) A 0; B = C = D =0 – уравнение плоскости O yz.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости  и  заданы своими общими уравнениями  и . Их нормальные вектора определяются как =(A ₁; B ₁; C ₁) и =(A ₂; B ₂; C ₂).

Две плоскости параллельны, если параллельны их нормальные вектора. В этом случае их координаты пропорциональны, т.е. .

Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора. В этом случае их скалярное произведение равно нулю, т.е. .

Угол между плоскостями

Под углом  между плоскостями  и , заданными своими общими уравнениями  и , понимают угол между их нормальными векторами =(A ₁; B ₁; C ₁) и =(A ₂; B ₂; C ₂). Тогда .