а) Если прямые 
и 
параллельны, то угол между ними 
, 
, откуда 
.
б) Если прямые, заданные общими уравнениями 
и 
, параллельны, то их нормальные вектора 
и 
также параллельны, а их координаты пропорциональны. Тогда условие параллельности прямых, заданных общими уравнениями, формулируется как 
.
в) Если прямые и перпендикулярны, то угол между ними 
, 
, откуда 
и 
.
г) Если прямые, заданные общими уравнениями и , перпендикулярны, то их нормальные вектора и также перпендикулярны, а их скалярное произведение равно нулю. Тогда условие перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями, формулируется как 
.
11 Точка пересечения прямых.
Пусть даны две прямые 
и 
. Очевидно, что координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы
.
Если прямые не параллельны, т.е. 
, то решение системы дает единственную точку пересечения прямых.
12 Расстояние от точки до прямой.
Пусть даны точка 
и прямая 
. Под расстоянием от точки 
до прямой 
понимается длина перпендикуляра 
, опущенного из точки на прямую . Можно показать, что его величина определяется по формуле 
.
Кривые второго порядка на плоскости
Окружность
Уравнение окружности радиуса 
с центром 
имеет вид
. (9)
В частности, уравнение окружности с центром в начале координат 
имеет вид 
.
Рассмотрим уравнение второй степени с двумя переменными в общем виде
, (10)
в котором 
, 
и 
не равны нулю одновременно, т.е. 
.
Чтобы уравнения (9) и (10) представляют одну и ту же линию, коэффициент должен равняться нулю, т.е. 
, а все остальные коэффициенты – быть пропорциональны, в частности, 
, откуда 
(т.к. , а ). Тогда получим уравнение
, (11)
называемое общим уравнением окружности.
Поделив обе части уравнения на 
и дополнив члены, содержащие 
и 
, до полного квадрата, получим
. (12)
Сравнивая уравнения (12) и (9), можно сделать вывод что уравнение (12) есть уравнение действительной окружности, если 1) 
; 2) ; 3) 
. При выполнении этих условий центр окружности (12) расположен в точке 
, а ее радиус 
.
Эллипс
Перепишем (10) в виде 
или 
, где 
; 
; 
. В предположении 
уравнение кривой примет вид:
. (13)
Кривая второго порядка (13) называется эллипсом (кривой эллиптического типа), если коэффициенты и имеют одинаковые знаки. Будем считать, что 
и 
(в противном случае обе части уравнения можно умножить на (
)). Тогда возможны три случая:
1) 
– кривая (13) не имеет действительных точек;
2) 
– кривая (13) представляет собой одну точку;
3) 
– кривая (13) переписывается в виде
. (14)
Уравнение (14) называется каноническим уравнением эллипса с полуосями 
и 
. При 
уравнение (14) представляет собой уравнение окружности 
. В предположении, что a > b, обозначим 
, тогда точки 
и 
называются фокусами эллипса, а отношение 
– его эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Очевидно, что 
, причем для окружности 
.
Можно показать, что для любой точки эллипса сумма расстояний от этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 
. Это характеристической свойство эллипса часто принимается за его определение.
Гипербола
Кривая второго порядка (13) называется гиперболой (кривой гиперболического типа), если коэффициенты и имеют противоположные знаки, т.е. 
. Пусть для определенности , 
. Возможны три случая.
1) соответствует гиперболе с каноническим уравнением вида
, (15)
где – действительная полуось, а 
– мнимая полуось. Фокусы гиперболы – точки 
и 
, где 
, а ее эксцентриситет 
принимает любые значения, большие единицы. Вершины гиперболы – точки 
и 
. Можно показать, что для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная : 
. Это характеристическое свойство гиперболы часто принимают за определение гиперболы. Прямые 
, называется асимптотами гиперболы. Для равносторонней гиперболы () 
асимптоты 
взаимно перпендикулярны и представляют биссектрисы координатных углов.
2) При уравнение кривой (15) примет вид 
, т.е. получим пару пересекающихся прямых 
и 
.
3) При получим гиперболу 
с полуосями 
- и , называемую сопряженной с гиперболой (15) (на рисунке она изображена пунктиром).
Парабола
Пусть в уравнении кривой второго порядка (10) , а также один из коэффициентов или равен нулю. Пусть для определенности 
, 
, 
тогда
. (16)
Или, после выделения полного квадрата при y: 
.
Полагая 
, 
, 
, получим
. (17)
Кривая (17) называется параболой, точка 
– вершиной параболы, p – параметром параболы. При 
ветви параболы направлены вправо, при 
- влево. Прямая 
является осью симметрии параболы.
Если вершина параболы находится в начале координат, то уравнение (17) принимает вид:
. (18)
Точка 
называется фокусом параболы, а прямая 
- ее директрисой.
Можно показать, что парабола представляет множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристической свойство параболы часто принимается за определение параболы.
Если в уравнении (18) поменять местами и , то получим 
- уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат. Это уравнение обычно записывают в виде 
, где 
. При ветви параболы направлены вверх, при 
- вниз.
Можно показать, что, график квадратного трехчлена 
есть парабола с вершиной в точке 
и осью симметрии 
, параллельной оси 
.
