Элементы аналитической геометрии на плоскости
Декартова система координат на плоскости. Уравнение линии
Для задания декартовой системы координат на плоскости определяют точку О – начало координат, пару неколлинеарных векторов, образующих базис, и единицу измерения длины. Прямые, проведенные через начало координат параллельно и сонаправленно базисным векторам, называют осями координат. Если оси перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной. С горизонтальной осью абсцисс Ox и вертикальной осью ординат Oy. Ортонормированный базис на плоскости принято обозначать векторами 
для оси абсцисс и 
для оси ординат. Тогда координатами точки M на плоскости O xy будут проекции ее радиус-вектора 
на соответствующие оси.
Если 
, 
, то для определения координат точки 
, делящей отрезок в заданном соотношении 
, используются формулы 
, 
. Расстояние между точками A и B определяется как 
.
Уравнением линии (кривой) на плоскости 
называется уравнение, которому удовлетворяют координаты 
и 
каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
В общем случае уравнение линии может быть записано в неявном виде 
или в явном виде 
, где 
и – некоторые функции.
Чтобы убедиться, что точка 
лежит на данной линии , надо проверить, обращают ли координаты этой точки уравнение в верное равенство.
Прямая на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая пересекает ось Oy в точке 
и образует с осью Ox угол 
(
).
Возьмем на прямой произвольную точку . Тогда тангенс угла наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника 
:
.
Введем угловой коэффициент прямой 
, откуда получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
(1)
1. Если 
, то получаем 
– уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при 
острый угол с осью Ox, а при 
– тупой угол.
2. Если 
, то 
, и уравнение прямой, параллельной оси Ox, имеет вид 
, а самой оси Oy – вид 
.
3. Если 
, то прямая перпендикулярна оси Ox и 
не существует, т.е. прямая не имеет углового коэффициента, т.е. вертикальна и параллельна оси Oy. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Ox отрезок, равный a. Очевидно, что уравнение такой прямой 
, т.к. абсцисса любой точки прямой равна 
, а уравнение оси Oy есть 
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (с заданным угловым коэффициентом)
Пусть прямая проходит через точку 
и образует с осью Ox угол 
. Т.к. точка лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), т.е. 
.
Вычитая его из равенства (1), получим уравнение искомой прямой
. (2)
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с направляющим вектором
Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору 
. Рассмотрим произвольную точку прямой M (x; y). Поскольку искомая прямая и вектор 
параллельны то векторы 
={ x – x 1; y – y 1} и также параллельны, а их координаты пропорциональны, т.е.
(3)
Уравнение (3) и называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку M с направляющим вектором .
