Развитие понятия натурального числа

Рассматривая вопрос формирования понятия натурально­го числа у детей, нужно иметь четкое представление о разви­тии этого понятия в историческом аспекте — филогенезе. Изу­чение истории математики, в частности периода ее зарожде­ния, дает возможность понять основные закономерности возникновения первых математических понятий: о множе­стве, числе, величине, об арифметических действиях, систе­мы счисления и др. и использовать эти закономерности с уче­том передового педагогического опыта и современных иссле­дований по разным проблемам обучения математике.

Как показывают научные данные по истории математи­ки, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практи­ческой деятельностью возникла потребность как-то количе­ственно оценивать совокупности. Сначала количество эле­ментов в множествах не отделялось от самих множеств, вос­принималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть), а мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно пото­му, что отдельные предметы четко отличались по своим при­знакам.

На этой стадии развития понятие числа представляло со­бой также отдельные числа-свойства и числа-качества конк­ретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии — чисел-свойств.

С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые со­вокупности, но и создавать совокупности определенного ко­личества. Для этого предметы определенной совокупности по одному сопоставлялись непосредственно с предметами другой совокупности или непосредственно с помощью не­которого эталона — зарубок, узелков, части тела человека и

17

др. Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так практически человек овладевал опе­рацией установления равенства, взаимно-однозначного со­ответствия.

Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствие с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой пере­хода к счету. Однако число как общее свойство равночислен­ных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке, и т.д. Этот период в истории развития натурального числа называ­ется стадией счета на пальцах.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запяс­тью, локтю, плечу и т.д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке. У островитян Торресового пролива счет с помощью частей человеческого тела был возможен до 33. Если сово­купность имела больше 33 элементов, использовали палоч­ки. Именно в этом случае, когда исчерпывалась возмож­ность использования частей тела, начинали пользоваться па­лочками (причем "все палочки были приблизительно одинаковые). Это дает нам ключ к пониманию начального назначения такой «живой шкалы». Очевидно, она сначала была нужна не для индивидуализации чисел, выделения каж­дого отдельного числа, а лишь для сравнения, установления взаимно-однозначного соответствия между предметами обе­их совокупностей.

Для проведения арифметических операций человек ис­пользовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные со­вокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с по­мощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.

Выдающийся русский ученый и путешественник М.М.Миклухо-Маклай (1846—1888) описывает жизнь па­пуасов — жителей Новой Гвинеи, любимый способ счета которых состоял в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, при этом произносит определенный звук, на­пример «бе, бе, бе,...». Досчитавши до 5, он говорит «ибон-бе» (рука), потом загибает пальцы другой руки, снова по-

18

вторяет «бе, бе, бе,...», пока не дойдет до «ибон-али» (две руки). Тогда он идет дальше, пока не дойдет до «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого.

В процессе развития общества все больше и больше сово­купностей приходилось пересчитывать, простое установле­ние равночисленности и счета на пальцах уже не могло удов­летворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет значительно боль­ших совокупностей.

Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую сис­тему счета можно назвать групповой, или счетом с помо­щью чисел-совокупностей. Идея считать группы была под­сказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встреча­ются на практике постоянными группами (парами, тройками, десятками, пятерками).

У туземцев Флориды «на-куа» означает 10 яиц, «на-бана-ра» — 10 корзин с едой, но отдельно «на», которому бы соответствовало число 10, не используется. На одном из ди­алектов индийцев западной части Канады слово «тха» озна­чает 3 вещи, «тхе» — 3 раза, «тха-тоэн» — в трех местах и др. Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, у них нет. Наличие в определенных совокупностях именно этой части показывает, что люди уже начинают примечать и ото­бражать в своем языке группы, имеющие общие свойства. На этой стадии развития счета не каждой группе приписывается число, а только те группы являются числами-совокупностя­ми, которые часто встречаются в хозяйственной или другой деятельности племени.

Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел. Эту стадию развития числовых представлений пере­жило все человечество. Во всех языках, в том числе и сла­вянском, есть такие грамматические формы, как единич­ная, двойственная и множественная. Слово, которое обозна­чает количество, имеет различное значение в зависимости от того, идет ли речь об одном, двух или большем количестве предметов. В некоторых языках есть особая форма тройствен­ности. Эти речевые формы — пережитки той отдаленной эпохи развития, когда человечеством были освоены только числа «один», «два» и «три».

Под влиянием обмена одна из групп предметов становит­ся мерой для других, своеобразным эталоном. С этой груп-

19

пой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, которая использовалась для сравнения других) постепенно привело к тому, что позднее начала осознаваться количе­ственная сторона этой группы. Количественная характерис­тика группы предметов постепенно приобретает самостоя­тельное значение. Так возникло понятие числа и его назва­ние, т.е. понятие о конкретных числах. Числа использовались прежде всего для практических целей людей: счет скота, шкур и др. Постепенно эти числа начали использоваться для пересчитывания некоторых множеств. Так, например, воз­никло слово-число сорок. В русских народных легендах ему принадлежит особенная роль. Корень слова сорок, или соро- чок, тот же самый, что и в слове сорочка. На шубу шло 40 штук соболей. Известно, что соболиные шкуры играли роль единицы ценности. Сорок, или сорочок, соболей составляли целую шубу и также были единицей ценности.

Первые числа были своеобразными «островами», опреде­ленными ориентирами в счете. Счет велся пятерками, десят­ками, дюжинами некоторых предметов, т.е. числа-совокуп­ности были узловыми числами, это название закрепилось в арифметике. Узловые числа — это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные чис­ла, названия. Остальные числа называют алгорифмическими. Они возникли намного позже и совершенно по-другому. Ал-горифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соединительные нити между узловыми числами.

Во многих языках в названиях алгорифмических чисел используются специальные слова-классификаторы для ха­рактеристики определенного способа действий с конкрет­ным множеством. Так, в речи индейцев Северной Америки, а также племен Британской Колумбии выкладывание пер­вых двух десятков предметов не сопровождается этими сло­вами-классификаторами. А счет последующих единиц сло­весно оформляется как результат действия. Например, число 26 обозначается так: «на дважды десять я кладу еще шесть». Слова-классификаторы не сопровождают чисел, кратных десяти. Таким образом, эти термины существуют лишь для того, чтобы размещать по разрядам единицы, которые идут за десятками, но не сами десятки.

Операции с числами сначала были не арифметическими, а двигательными. Следы этого сохранились во многих язы­ках, в том числе и в русском языке. Так, числа от одиннад­цати до девятнадцати произносятся как соответствующее чис-

20

ло единиц, положенных на десять: один на дцать, пять на дцать и т.д. В этом случае частицу на следует понимать имен­но как положенное на. Позднее возникли арифметические операции.

Постепенно определился последовательный ряд натураль­ных чисел. Основную роль в создании алгорифмических чи­сел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умножение. Особен­но это прослеживается в римской нумерации: VI=5+1; ХС=100—10 и т.д. Образование алгорифмических чисел на основе использования арифметических операций нашло от­ражение в названиях некоторых чисел в украинском, бело­русском, французском и других языках.

Однако числовой ряд на этой стадии еще не был одно­родным и бесконечным. Долгое время он был ограниченным (конечным). Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12, и 40 и др. Наибольшее освоенное число натурального ряда, которое граничило с бесконечностью, часто приобре­тало особый ореол необыкновенного и, очевидно, было ос­новой для возникновения запретов, связанных с этими чис­лами. Некоторые из этих поверий сохранились до настояще­го времени, такими числами были: 7, 13, 40 и др.

Число 40 в легендах многих восточных народов играет особую роль. Выражение сорок сороков, часто используемое в русском языке, является обозначением очень большого, бесконечно большого числа.

Что касается счета сороками, то есть и еще одно предпо­ложение, что это исходит от счета по суставам пальцев. Си­бирские звероловы считали большим пальцем по двум сус­тавам остальных четырех пальцев. Таким образом досчитыва­ли до сорока. Использование третьего сустава в этом процессе считалось неудобным.

Постепенно узловые и алгорифмические числа заполняли ряд, который является бесконечным. Натуральных чисел бес­конечно много, среди них нет наибольшего. Какое бы боль­шое число мы ни взяли, если прибавим к нему единицу, то получим еще большее число. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом ос­мыслении арифметики.

Упражнения для самопроверки

числа

Понятие натурального... возникло на заре развития человеческого обще-

21

количество множества

числа качества

ства. Сначала человек научился отделять... как основное качество... от других ка­честв (пространственных и количествен­ных).

На этой стадии развития в понятии... отражались свойства,... готовых (стандарт­ных) множеств.

однозначное считать ручной натуральных узловыми алгорифмические

В практической деятельности человеку
приходилось сравнивать множества, уста­
навливать взаимно-... соответствие, т.е.......

При этом широко использовались части собственного тела (пальцы рук), отсюда и название... счет.

Числа-совокупности были прообразами... чисел. Первые натуральные числа были островками и называются... числами.... чис­ла появились как результат операций с уз­ловыми числами.

натуральных

Постепенно определился последова­тельный ряд... чисел — натуральный ряд.

§ 3. Основные математические понятия

Как и любая наука, математика имеет свои основные по­нятия, которыми оперирует: множество, число, счет, вели­чина, форма и др. Исходным содержанием большинства ма­тематических понятий служат реальные предметы и явления окружающей жизни и деятельности людей.

Основное понятие в математике — понятие множества. Множество — это совокупность объектов, которые рассматриваются как единое целое. Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами: мно­жество звезд на небе, растений, животных вокруг него, множество разных звуков, частей собственного тела. Мно­жество характеризуется различными свойствами, т.е. мно­жество задано некоторыми характеристиками. Под этими ха­рактеристиками подразумеваются такие свойства, которы­ми владеют все объекты, принадлежащие данному множеству, и не владеет ни один предмет, который не при­надлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом. Множество в отличие от неопределенной множественности имеет границы и может быть охарактеризовано натураль-

22

ным числом. В таком случае считают, что число обозначает мощность множества.

В начале развития счетной деятельности сравнение мно­жеств осуществляется поэлементно, один к одному. Элемен­ тами множества называют объекты, составляющие множе­ства. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки, рисунки), а также звуки, движения, числа и др. Сравнивая множества, человек не только выявляет равномощность мно­жеств, но и отсутствие у множества того или другого эле­мента, той или другой его части. Есть два способа определе­ния мощности множества: первый — пересчитывание всех его элементов и называние результата числом; другой — вы­деление характерологических особенностей множества.

Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете пара­ми, тройками, десятками. В этих случаях элементами множе­ства выступает не один предмет, а два, три, десять — сово­купность.

Основными операциями с множествами являются: объе­ динение, пересечение и вычитание.

Объединением (суммой) двух множеств называют третье множество, которое включает все элементы этих множеств. При этом сумма множеств не всегда равняется сумме чисел элементов множеств. Она равна сумме чисел элементов толь­ко тогда, когда в обоих множествах нет общих элементов. Если таковые есть, то в сумму они включаются только один раз. Например, в загадке «Два отца и два сына. Сколько их всего?» видим пример объединения множеств, когда сумма элементов не равна сумме чисел. Поскольку один и тот же человек включается дважды (и в первое, и во второе множе­ство), он считается один раз. Или другой пример: чтобы определить количество дисциплин, которые изучаются уча­щимися педколледжа в семестре, необходимо из расписания каждого дня сделать выборку: ко множеству предметов, ко­торые изучают учащиеся в понедельник, добавить не все уроки последующих дней недели, а лишь те, которые не назывались в понедельник. Таким образом, количество пред­метов будет меньше, чем общее количество уроков в неде­лю, так как есть предметы, повторяющиеся в разные дни.

Действия с множествами лучше всего изобразить графи­чески. Так, на рисунке 1 изображено объединение множеств.

Пересечением двух множеств называется множество, ко­торое состоит из их общих элементов. На рисунке 2 заштри­хованная часть является пересечением множеств. Так, на-

23

Рис.2

Рис.3

Рис.1

пример, если одно множество характеризуется по признаку формы (различные треугольники), а второе множество — по цвету (красные геометрические фигуры), то объединением этих множеств будут красные треугольники.

При вычитании двух множеств получаем третье множество, называемое разностью. Разность включает элементы первого множества, не принадлежащие второму. На рисунке 3 зашт­рихованная часть является разницей двух множеств.

Характеризуя множества, в математике используются та­кие понятия: конечное и бесконечное множества, равномощ- ное и неравномощное, одно- двухэлементное, пустое множе­ство, часть множества, или подмножество. Дети раннего и дошкольного возраста знакомятся только с конечными, т.е. имеющими границы, множествами.

Счет — первая и основная математическая деятельность, основанная на поэлементном сравнении конечных множеств. Характеризуя это понятие, прежде всего следует подчерк­нуть, что это есть установление взаимооднозначного соот­ветствия между двумя множествами. В истории развития че­ловечества долгое время использовался дочисловой счет. Человек сравнивал множества, констатировал их равночис-ленность (равенство) или не равночисленность (столько же, меньше, больше...).

С появлением натуральных чисел человек в качестве од­ного из множеств стал использовать числовой ряд.

Число — показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не являет­ся постоянной характеристикой, оно относительно к той еди­нице, которая принимается за меру (считать можно парами, десятками; измерять можно разными мерами — результат будет разный).

Понятие величина в математике рассматривается как ос­новное. Возникло оно в глубокой древности и на протяже­нии истории развития общества подвергалось ряду обобще­ний и конкретизации. Величина — это и протяженность, и объем, и скорость, и масса, и число, и т.д. В данном же

случае мы сужаем понятие величина и будем характеризовать им только размер предметов.

Величина предмета — это его относительная характерис­тика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных. Величина явля­ется свойством предмета, воспринимаемым различными ана­лизаторами: зрительным, тактильным и двигательным. При этом чаще всего величина предмета воспринимается одно­временно несколькими анализаторами: зрительно-двигатель­ным, тактильно-двигательным и т.д.

Величина предмета, т.е. размер предмета, определяется только на основе сравнения. Нельзя сказать, большой это или маленький предмет, его только можно сравнить с дру­гим. Восприятие величины зависит от расстояния, с которо­го предмет воспринимается, а также от величины предмета, с которым он сравнивается (рис. 4). Чем дальше предмет от того, кто его воспринимает, тем он кажется меньшим, и наоборот, чем ближе — тем кажется большим.

Рис.4

Характеристика величины предмета зависит также от рас­положения его в пространстве. Один и тот же предмет может характеризоваться то как высокий (низкий), то как длинный (короткий). Это зависит от того, в горизонтальном или вер­тикальном положении он находится. Так, на рисунке 5, а предметы расположены в вертикальном положении и харак­теризуются как высокий и низкий, а на рисунке 5, б эти же самые предметы характеризуются как длинный и короткий.

Величина предмета всегда относительна, она зависит от того, с каким предметом он сравнивается. Сравнивая пред­мет с меньшим, мы характеризуем его как больший, а срав­нивая этот же самый предмет с большим, называем его мень­шим. Данное положение представлено на рисунке 6.

Итак, величина конкретного предмета характеризуется такими особенностями: сравнимость, изменчивость и отно­сительность.

Величина предмета определяется человеком только в срав­нении с другой величиной — мерой. Мера является этало-

 

24

25

Рис.5