Развитие понятия натурального числа

Рассматривая вопрос формирования понятия натурального числа у детей, нужно иметь четкое представление о развитии этого понятия в историческом аспекте — филогенезе. Изучение истории математики, в частности периода ее зарождения, дает возможность понять основные закономерности возникновения первых математических понятий: о множестве, числе, величине, об арифметических действиях, системы счисления и др. и использовать эти закономерности с учетом передового педагогического опыта и современных исследований по разным проблемам обучения математике.

Как показывают научные данные по истории математики, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практической деятельностью возникла потребность как-то количественно оценивать совокупности. Сначала количество элементов в множествах не отделялось от самих множеств, воспринималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть), а мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно потому, что отдельные предметы четко отличались по своим признакам.

На этой стадии развития понятие числа представляло собой также отдельные числа-свойства и числа-качества конкретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии — чисел-свойств.

С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые совокупности, но и создавать совокупности определенного количества. Для этого предметы определенной совокупности по одному сопоставлялись непосредственно с предметами другой совокупности или непосредственно с помощью некоторого эталона — зарубок, узелков, части тела человека и

др. Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так практически человек овладевал операцией установления равенства, взаимно-однозначного соответствия.

Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствие с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой перехода к счету. Однако число как общее свойство равночисленных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке, и т.д. Этот период в истории развития натурального числа называется стадией счета на пальцах.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запястью, локтю, плечу и т.д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке. У островитян Торресового пролива счет с помощью частей человеческого тела был возможен до 33. Если совокупность имела больше 33 элементов, использовали палочки. Именно в этом случае, когда исчерпывалась возможность использования частей тела, начинали пользоваться палочками (причем "все палочки были приблизительно одинаковые). Это дает нам ключ к пониманию начального назначения такой «живой шкалы». Очевидно, она сначала была нужна не для индивидуализации чисел, выделения каждого отдельного числа, а лишь для сравнения, установления взаимно-однозначного соответствия между предметами обеих совокупностей.

Для проведения арифметических операций человек использовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные совокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с помощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.

Выдающийся русский ученый и путешественник М.М.Миклухо-Маклай (1846—1888) описывает жизнь папуасов — жителей Новой Гвинеи, любимый способ счета которых состоял в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, при этом произносит определенный звук, например «бе, бе, бе,...». Досчитавши до 5, он говорит «ибон-бе» (рука), потом загибает пальцы другой руки, снова по-

вторяет «бе, бе, бе,...», пока не дойдет до «ибон-али» (две руки). Тогда он идет дальше, пока не дойдет до «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого.

В процессе развития общества все больше и больше совокупностей приходилось пересчитывать, простое установление равночисленности и счета на пальцах уже не могло удовлетворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет значительно больших совокупностей.

Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую систему счета можно назвать групповой, или счетом с помощью чисел-совокупностей. Идея считать группы была подсказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встречаются на практике постоянными группами (парами, тройками, десятками, пятерками).

У туземцев Флориды «на-куа» означает 10 яиц, «на-бана-ра» — 10 корзин с едой, но отдельно «на», которому бы соответствовало число 10, не используется. На одном из диалектов индийцев западной части Канады слово «тха» означает 3 вещи, «тхе» — 3 раза, «тха-тоэн» — в трех местах и др. Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, у них нет. Наличие в определенных совокупностях именно этой части показывает, что люди уже начинают примечать и отображать в своем языке группы, имеющие общие свойства. На этой стадии развития счета не каждой группе приписывается число, а только те группы являются числами-совокупностями, которые часто встречаются в хозяйственной или другой деятельности племени.

Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел. Эту стадию развития числовых представлений пережило все человечество. Во всех языках, в том числе и славянском, есть такие грамматические формы, как единичная, двойственная и множественная. Слово, которое обозначает количество, имеет различное значение в зависимости от того, идет ли речь об одном, двух или большем количестве предметов. В некоторых языках есть особая форма тройственности. Эти речевые формы — пережитки той отдаленной эпохи развития, когда человечеством были освоены только числа «один», «два» и «три».

Под влиянием обмена одна из групп предметов становится мерой для других, своеобразным эталоном. С этой груп-

пой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, которая использовалась для сравнения других) постепенно привело к тому, что позднее начала осознаваться количественная сторона этой группы. Количественная характеристика группы предметов постепенно приобретает самостоятельное значение. Так возникло понятие числа и его название, т.е. понятие о конкретных числах. Числа использовались прежде всего для практических целей людей: счет скота, шкур и др. Постепенно эти числа начали использоваться для пересчитывания некоторых множеств. Так, например, возникло слово-число сорок. В русских народных легендах ему принадлежит особенная роль. Корень слова сорок, или соро- чок, тот же самый, что и в слове сорочка. На шубу шло 40 штук соболей. Известно, что соболиные шкуры играли роль единицы ценности. Сорок, или сорочок, соболей составляли целую шубу и также были единицей ценности.

Первые числа были своеобразными «островами», определенными ориентирами в счете. Счет велся пятерками, десятками, дюжинами некоторых предметов, т.е. числа-совокупности были узловыми числами, это название закрепилось в арифметике. Узловые числа — это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные числа, названия. Остальные числа называют алгорифмическими. Они возникли намного позже и совершенно по-другому. Ал-горифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соединительные нити между узловыми числами.

Во многих языках в названиях алгорифмических чисел используются специальные слова-классификаторы для характеристики определенного способа действий с конкретным множеством. Так, в речи индейцев Северной Америки, а также племен Британской Колумбии выкладывание первых двух десятков предметов не сопровождается этими словами-классификаторами. А счет последующих единиц словесно оформляется как результат действия. Например, число 26 обозначается так: «на дважды десять я кладу еще шесть». Слова-классификаторы не сопровождают чисел, кратных десяти. Таким образом, эти термины существуют лишь для того, чтобы размещать по разрядам единицы, которые идут за десятками, но не сами десятки.

Операции с числами сначала были не арифметическими, а двигательными. Следы этого сохранились во многих языках, в том числе и в русском языке. Так, числа от одиннадцати до девятнадцати произносятся как соответствующее чис-

ло единиц, положенных на десять: один на дцать, пять на дцать и т.д. В этом случае частицу на следует понимать именно как положенное на. Позднее возникли арифметические операции.

Постепенно определился последовательный ряд натуральных чисел. Основную роль в создании алгорифмических чисел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умножение. Особенно это прослеживается в римской нумерации: VI=5+1; ХС=100—10 и т.д. Образование алгорифмических чисел на основе использования арифметических операций нашло отражение в названиях некоторых чисел в украинском, белорусском, французском и других языках.

Однако числовой ряд на этой стадии еще не был однородным и бесконечным. Долгое время он был ограниченным (конечным). Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12, и 40 и др. Наибольшее освоенное число натурального ряда, которое граничило с бесконечностью, часто приобретало особый ореол необыкновенного и, очевидно, было основой для возникновения запретов, связанных с этими числами. Некоторые из этих поверий сохранились до настоящего времени, такими числами были: 7, 13, 40 и др.

Число 40 в легендах многих восточных народов играет особую роль. Выражение сорок сороков, часто используемое в русском языке, является обозначением очень большого, бесконечно большого числа.

Что касается счета сороками, то есть и еще одно предположение, что это исходит от счета по суставам пальцев. Сибирские звероловы считали большим пальцем по двум суставам остальных четырех пальцев. Таким образом досчитывали до сорока. Использование третьего сустава в этом процессе считалось неудобным.

Постепенно узловые и алгорифмические числа заполняли ряд, который является бесконечным. Натуральных чисел бесконечно много, среди них нет наибольшего. Какое бы большое число мы ни взяли, если прибавим к нему единицу, то получим еще большее число. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом осмыслении арифметики.

Упражнения для самопроверки

числа

Понятие натурального... возникло на заре развития человеческого обще-

количество множества

числа качества

ства. Сначала человек научился отделять... как основное качество... от других качеств (пространственных и количественных).

На этой стадии развития в понятии... отражались свойства,... готовых (стандартных) множеств.

однозначное считать

ручной

натуральных

узловыми алгорифмические

В практической деятельности человеку
приходилось сравнивать множества, уста
навливать взаимно-... соответствие, т.е.......

При этом широко использовались части собственного тела (пальцы рук), отсюда и название... счет.

Числа-совокупности были прообразами... чисел. Первые натуральные числа были островками и называются... числами.... числа появились как результат операций с узловыми числами.

натуральных

Постепенно определился последовательный ряд... чисел — натуральный ряд.

§ 3. Основные математические понятия

Как и любая наука, математика имеет свои основные понятия, которыми оперирует: множество, число, счет, величина, форма и др. Исходным содержанием большинства математических понятий служат реальные предметы и явления окружающей жизни и деятельности людей.

Основное понятие в математике — понятие множества. Множество — это совокупность объектов, которые рассматриваются как единое целое. Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами: множество звезд на небе, растений, животных вокруг него, множество разных звуков, частей собственного тела. Множество характеризуется различными свойствами, т.е. множество задано некоторыми характеристиками. Под этими характеристиками подразумеваются такие свойства, которыми владеют все объекты, принадлежащие данному множеству, и не владеет ни один предмет, который не принадлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом. Множество в отличие от неопределенной множественности имеет границы и может быть охарактеризовано натураль-

ным числом. В таком случае считают, что число обозначает мощность множества.

В начале развития счетной деятельности сравнение множеств осуществляется поэлементно, один к одному. Элемен тами множества называют объекты, составляющие множества. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки, рисунки), а также звуки, движения, числа и др. Сравнивая множества, человек не только выявляет равномощность множеств, но и отсутствие у множества того или другого элемента, той или другой его части. Есть два способа определения мощности множества: первый — пересчитывание всех его элементов и называние результата числом; другой — выделение характерологических особенностей множества.

Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете парами, тройками, десятками. В этих случаях элементами множества выступает не один предмет, а два, три, десять — совокупность.

Основными операциями с множествами являются: объе динение, пересечение и вычитание.

Объединением (суммой) двух множеств называют третье множество, которое включает все элементы этих множеств. При этом сумма множеств не всегда равняется сумме чисел элементов множеств. Она равна сумме чисел элементов только тогда, когда в обоих множествах нет общих элементов. Если таковые есть, то в сумму они включаются только один раз. Например, в загадке «Два отца и два сына. Сколько их всего?» видим пример объединения множеств, когда сумма элементов не равна сумме чисел. Поскольку один и тот же человек включается дважды (и в первое, и во второе множество), он считается один раз. Или другой пример: чтобы определить количество дисциплин, которые изучаются учащимися педколледжа в семестре, необходимо из расписания каждого дня сделать выборку: ко множеству предметов, которые изучают учащиеся в понедельник, добавить не все уроки последующих дней недели, а лишь те, которые не назывались в понедельник. Таким образом, количество предметов будет меньше, чем общее количество уроков в неделю, так как есть предметы, повторяющиеся в разные дни.

Действия с множествами лучше всего изобразить графически. Так, на рисунке 1 изображено объединение множеств.

Пересечением двух множеств называется множество, которое состоит из их общих элементов. На рисунке 2 заштрихованная часть является пересечением множеств. Так, на-

Рис.2

Рис.3

Рис.1

пример, если одно множество характеризуется по признаку формы (различные треугольники), а второе множество — по цвету (красные геометрические фигуры), то объединением этих множеств будут красные треугольники.

При вычитании двух множеств получаем третье множество, называемое разностью. Разность включает элементы первого множества, не принадлежащие второму. На рисунке 3 заштрихованная часть является разницей двух множеств.

Характеризуя множества, в математике используются такие понятия: конечное и бесконечное множества, равномощ- ное и неравномощное, одно- двухэлементное, пустое множество, часть множества, или подмножество. Дети раннего и дошкольного возраста знакомятся только с конечными, т.е. имеющими границы, множествами.

Счет — первая и основная математическая деятельность, основанная на поэлементном сравнении конечных множеств. Характеризуя это понятие, прежде всего следует подчеркнуть, что это есть установление взаимооднозначного соответствия между двумя множествами. В истории развития человечества долгое время использовался дочисловой счет. Человек сравнивал множества, констатировал их равночис-ленность (равенство) или не равночисленность (столько же, меньше, больше...).

С появлением натуральных чисел человек в качестве одного из множеств стал использовать числовой ряд.

Число — показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не является постоянной характеристикой, оно относительно к той единице, которая принимается за меру (считать можно парами, десятками; измерять можно разными мерами — результат будет разный).

Понятие величина в математике рассматривается как основное. Возникло оно в глубокой древности и на протяжении истории развития общества подвергалось ряду обобщений и конкретизации. Величина — это и протяженность, и объем, и скорость, и масса, и число, и т.д. В данном же

случае мы сужаем понятие величина и будем характеризовать им только размер предметов.

Величина предмета — это его относительная характеристика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных. Величина является свойством предмета, воспринимаемым различными анализаторами: зрительным, тактильным и двигательным. При этом чаще всего величина предмета воспринимается одновременно несколькими анализаторами: зрительно-двигательным, тактильно-двигательным и т.д.

Величина предмета, т.е. размер предмета, определяется только на основе сравнения. Нельзя сказать, большой это или маленький предмет, его только можно сравнить с другим. Восприятие величины зависит от расстояния, с которого предмет воспринимается, а также от величины предмета, с которым он сравнивается (рис. 4). Чем дальше предмет от того, кто его воспринимает, тем он кажется меньшим, и наоборот, чем ближе — тем кажется большим.

Рис.4

Характеристика величины предмета зависит также от расположения его в пространстве. Один и тот же предмет может характеризоваться то как высокий (низкий), то как длинный (короткий). Это зависит от того, в горизонтальном или вертикальном положении он находится. Так, на рисунке 5, а предметы расположены в вертикальном положении и характеризуются как высокий и низкий, а на рисунке 5, б эти же самые предметы характеризуются как длинный и короткий.

Величина предмета всегда относительна, она зависит от того, с каким предметом он сравнивается. Сравнивая предмет с меньшим, мы характеризуем его как больший, а сравнивая этот же самый предмет с большим, называем его меньшим. Данное положение представлено на рисунке 6.

Итак, величина конкретного предмета характеризуется такими особенностями: сравнимость, изменчивость и относительность.

Величина предмета определяется человеком только в сравнении с другой величиной — мерой. Мера является этало-

Рис.5

А)