Представление информации в различных системах счисления.

Практическая работа №4.

Цель работы: научиться переводить числа из одной системы счисления в другую.

 

Краткие теоретические сведения.

Примеры решения заданий.

Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (например, десятичной называется система счисления так потому, что ее основание равно 10, т.е. используется десять цифр).

Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Системы счисления, используемые в компьютерах

Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0. Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь чисел 0,1,2,3,4,5,6,7.

Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на q до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

Пример 1. Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀->А₂

Решение:

Ответ: 26₁₀=11010₂

Пример 2. Перевести 19₁₀ в троичную систему счисления. А₁₀->А₃.

Решение:

Ответ: 19₁₀=201₃.

Пример 3. Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления. А₁₀->А₈

Решение:

Ответ: 241₁₀=361₈.

Пример4. Перевести 3627₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. А₁₀->А₁₆

Решение:

Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления 14 – Е, а 11 – В, то получаем ответ Е2В₁₆.

Ответ: 3627₁₀=E2B₁₆.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.

Правило: Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

Пример 5. Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

110110₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰=32+16+4+2=54₁₀.

Ответ: 110110₂ = 54₁₀.

Пример 6. Перевести число 101 из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

101,01₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰+0*2-¹+1*2^-2 =4+0+1+0+0,25=5,25₁₀.

Ответ: 101,01₂ = 5,25₁₀.

Пример 7. Перевести число 122100₃ из троичной системы счисления в десятичную.

Решение:

12201₃=1*3⁴ + 2*3³ + 2*3² + 0*3¹ + 1*3⁰ = 81+54+18+1 = 154₁₀.

Ответ: 12201₃ = 154₁₀.

Пример 8. Перевести число 1637 из семеричной системы счисления в десятичную.

Решение: 1637 = 1*72 + 6*71 + 3*70 = 49+42+3= 9410.

Ответ: 1637 = 9410.

Пример 9. Перевести число 2Е16 в десятичную систему счисления.

Решение:

2Е₁₆ = 2*16¹ +14*16⁰ = 32 +14 = 46₁₀.

Ответ: 2Е₁₆ = 46₁₀.

 

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Перевод целых чисел.

Правило: Чтобы перевести целое двоичное число в восьмеричную (8=2³) систему счисления необходимо:

1. разбить данное число справа налево на группы по 3 цифры в каждой;

2. рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

Пример 10. Перевести число 11101010₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

11 101 010

3 5 2

Ответ: 11101010₂ = 352₈.

Пример 11. Перевести число 11110000010110₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111 110 000 010 110

7 6 0 2 6

Ответ: 11110000010110₂= 76026₈.

Правило: Чтобы перевести целое двоичное число в шестнадцатеричную (16=2⁴) систему счисления необходимо:

разбить данное число справа налево на группы по 4 цифры в каждой;

рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Пример 12. Перевести число 111000102 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

1110 0010

Е 2

Ответ: 11100010₂ = Е2₁₆.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления.

Правило: Для того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр двоичной системы счисления.

Пример 13. Перевести число 523₈ перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

5 2 3

101 010 011

Ответ: 523₈ = 101010011₂.

Пример 14. Перевести число 4ВА35₁₆ перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

4 В А 3 5

100 1011 1010 0011 0101

Ответ: 4ВА35₁₆ = 100 1011 1010 0011 0101₂.

 

Задание

Содержание отчета по результатам выполнения практической работы

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Теоретическую информацию об установке и удалении программ

4. Результаты выполнения задания 1.

5. Результаты выполнения задания 2.

6. Результаты выполнения задания 3.

7. Результаты выполнения задания 4.

8. Результат выполнения Домашнего задания.

9. Вывод по работе.

 

Задание 1. Переведите в десятичную систему счисления следующие числа из … системы счисления.

№ варианта	… двоичной	… восьмеричной	… шестнадцатеричной
1	100011	220,7	А9Е,1
2	11011	35,6	15А
3	101011	40,5	2FA
4	111011	13,7	3C,1
5	110101	27,31	2FВ
6	101001	37,4	19,А
7	100100	65,3	2F,А
8	1011101	43,5	1С,4
9	101011	72,2	АD,3
10	101101	30,1	38,В

Задание 2. Переведите десятичные числа в заданные системы счисления.

№ варианта	в двоичную	в восьмеричную	в шестнадцатеричную
1	36	197	681
2	197	984	598
3	84	996	368
4	63	899	435
5	96	769	367
6	99	397	769
7	98	435	899
8	69	368	996
9	397	598	984
10	435	681	197

Задание 3. Преобразуйте десятичные числа в двоичные и восьмеричные.

№ варианта		№ варианта
1	327	6	265
2	259	7	411
3	428	8	409
4	431	9	356
5	146	10	507

Задание 4. Преобразуйте двоичные числа в восьмеричные и десятичные.

№ варианта		№ варианта
1	100000	6	1010101
2	100100	7	111001
3	101010	8	111100
4	110101	9	100111
5	100011	10	110010

Домашнее задание

№ варианта		№ варианта
1	0,625	6	0,75
2	0,28125	7	7/16
3	0,078125	8	3/8
4	0,34375	9	1/4
5	0,25	10	0,515625

 

Контрольные вопросы

1. Что такое система счисления?

2. Что такое основание системы счисления?

3. Что такое непозиционная система счисления?

4. Что такое позиционная система счисления?

5. Из каких знаков состоит алфавит десятичной и двоичной систем?

6. Почему в вычислительной технике взята за основу двоичная система счисления?

7. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

§ в двоичной системе;

§ в восьмеричной системе;

§ в шестнадцатеричной системе?

Литература: [1], [3], [4], [5], [6], [7], [9], [10], [11], [12].