ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА
Цель практической работы
Изучение систем счисления и получение практических навыков перевода чисел из одной системы счисления в другую.
Методические указания
Представление числовой информации с помощью систем счисления
Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных - не зависит.
К непозиционной системе счисления относится и римская, символы алфавита которой и обозначаемое ими количество представлены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
| Римскиецифры | I | V | X | L | С | D | М |
| Значение (обозначаемоеколичество) | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложны- ми способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.
Позиционные системы счисления
Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположе- нием (позицией) в изображении числа, называют позиционной.
Упорядоченный набор символов (букв и цифр) {а0, a1,..., аn}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, назы- вают ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита p = n + 1 — ее основанием, а са- му систему счисления называютр-ричной.
Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
Самой привычной для нас является десятичная система счисления. Ее алфавит — {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а основание р = 10, т. е. в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр). Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа, начиная с 10 и т. д., обозначаются уже без использования новых цифр. Десятичная система счисления основана на том, что 10 единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10. На- пример,визображениичисла222,22цифра2повторяется5раз,приэтомперваясле-
ва цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 102); вторая — количество десят-
ков (ее вес равен 10), третья — количество единиц (ее вес равен 100), четвертая — ко- личество десятых долей единицы (ее вес равен 10-1) и пятая цифра — количество со- тых долей единицы (ее вес равен 10-2), т. е. число 222,22 может быть разложено по степеням числа 10:
222,22 = 2 × 102 + 2 × 101 + 2 × 100 + 2 × 10-1 + 2 × 10-2.
Аналогично
725 = 7 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100;
1304,5 = 1 × 103 + 3 × 102 + 0 × 101 + 4 × 100 + 5 × 10-1;
50328,15 = 5 × 104 + 0 × 103 + 3 × 102 + 2 × 101 + 8 × 100 + 1 × 10-1 + 5 × 10-2.
Таким образом, любое число А можно представить в виде полинома путем раз- ложения его по степеням числа 10:
A10 = аn × 10n + аn-1 × 10n-1 +... + а1 × 101 + а0 × 100 + a-1 × 10-1 +... + а–m×10-m+...,
последовательность из коэффициентов которого представляет собой десятичную за- пись числа А10:
A10 = аn аn-1... а1 а0, a–1... a –m …
Запятая, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации кон- кретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является нача- лом отсчета.
Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системысчисления
Примеры изображения чисел в данных системах счисления представлены в табл. 1.2.
В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи ис- пользуется в основном двоичная система счисления, что обусловлено рядом преиму- ществ данной системы счисления перед другими системами. Так, для ее реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями, например материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски), отверстие есть или отсутствует (перфолента и перфокарта). Этот метод обеспечивает более надежное и помехоустойчивое представление информации, дает возможность применения аппа- рата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации. Кроме того, арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются наиболее просто.
Таблица 1.2
| Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
| 0 | 00000 | 0 | 0 |
| 1 | 00001 | 1 | 1 |
| 2 | 00010 | 2 | 2 |
| 3 | 00011 | 3 | 3 |
| 4 | 00100 | 4 | 4 |
| 5 | 00101 | 5 | 5 |
| 6 | 00110 | 6 | 6 |
| 7 | 00111 | 7 | 7 |
| 8 | 01000 | 10 | 8 |
| 9 | 01001 | 11 | 9 |
| 10 | 01010 | 12 | А |
| 11 | 01011 | 13 | В |
| 12 | 01100 | 14 | С |
| 13 | 01101 | 15 | D |
| 14 | 01110 | 16 | Е |
| 15 | 01111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 17 | 10001 | 21 | 11 |
| 18 | 10010 | 22 | 12 |
| 19 | 10011 | 23 | 13 |
| 20 | 10100 | 24 | 14 |
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи больших чисел. Этот недостаток не имеет существенного значения для ЭВМ. Если же возникает необходимость кодировать информацию, «вручную», на- пример при составлении программы на машинном языке, то используют восьмерич- ную или шестнадцатеричную системы счисления. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в 3 (восьмеричная) и в 4 (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (числа 8 и 16 — соответственно 3-я и 4-я степени числа 2), а перевод их в двоичную систему счисле- ния и обратно осуществляется гораздо проще в сравнении с десятичной системой счисления.
