Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системысчисления

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА

Цель практической работы

Изучение систем счисления и получение практических навыков перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Методические указания

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных - не зависит.

К непозиционной системе счисления относится и римская, символы алфавита которой и обозначаемое ими количество представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

 

 

Римскиецифры	I	V	X	L	С	D	М
Значение (обозначаемоеколичество)	1	5	10	50	100	500	1000

 

В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложны- ми способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.

 

Позиционные системы счисления

Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположе- нием (позицией) в изображении числа, называют позиционной.

Упорядоченный набор символов (букв и цифр) {а0, a1,..., аn}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, назы- вают ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита p = n + 1 — ее основанием, а са- му систему счисления называютр-ричной.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Самой привычной для нас является десятичная система счисления. Ее алфавит — {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а основание р = 10, т. е. в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр). Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа, начиная с 10 и т. д., обозначаются уже без использования новых цифр. Десятичная система счисления основана на том, что 10 единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10. На- пример,визображениичисла222,22цифра2повторяется5раз,приэтомперваясле-

ва цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 102); вторая — количество десят-

ков (ее вес равен 10), третья — количество единиц (ее вес равен 100), четвертая — ко- личество десятых долей единицы (ее вес равен 10-1) и пятая цифра — количество со- тых долей единицы (ее вес равен 10-2), т. е. число 222,22 может быть разложено по степеням числа 10:

 

 

222,22 = 2 × 102 + 2 × 101 + 2 × 100 + 2 × 10-1 + 2 × 10-2.

Аналогично

725 = 7 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100;

1304,5 = 1 × 103 + 3 × 102 + 0 × 101 + 4 × 100 + 5 × 10-1;

50328,15 = 5 × 104 + 0 × 103 + 3 × 102 + 2 × 101 + 8 × 100 + 1 × 10-1 + 5 × 10-2.

Таким образом, любое число А можно представить в виде полинома путем раз- ложения его по степеням числа 10:

A10 = аn × 10n + аn-1 × 10n-1 +... + а1 × 101 + а0 × 100 + a-1 × 10-1 +... + а–m×10-m+...,

последовательность из коэффициентов которого представляет собой десятичную за- пись числа А10:

A10 = аn аn-1... а1 а0, a–1... a –m …

Запятая, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации кон- кретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является нача- лом отсчета.

 

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системысчисления

Примеры изображения чисел в данных системах счисления представлены в табл. 1.2.

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи ис- пользуется в основном двоичная система счисления, что обусловлено рядом преиму- ществ данной системы счисления перед другими системами. Так, для ее реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями, например материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски), отверстие есть или отсутствует (перфолента и перфокарта). Этот метод обеспечивает более надежное и помехоустойчивое представление информации, дает возможность применения аппа- рата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации. Кроме того, арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются наиболее просто.

 

 

Таблица 1.2

 

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	00000	0	0
1	00001	1	1
2	00010	2	2
3	00011	3	3
4	00100	4	4
5	00101	5	5
6	00110	6	6
7	00111	7	7
8	01000	10	8
9	01001	11	9
10	01010	12	А
11	01011	13	В
12	01100	14	С
13	01101	15	D
14	01110	16	Е
15	01111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13
20	10100	24	14

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи больших чисел. Этот недостаток не имеет существенного значения для ЭВМ. Если же возникает необходимость кодировать информацию, «вручную», на- пример при составлении программы на машинном языке, то используют восьмерич- ную или шестнадцатеричную системы счисления. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в 3 (восьмеричная) и в 4 (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (числа 8 и 16 — соответственно 3-я и 4-я степени числа 2), а перевод их в двоичную систему счисле- ния и обратно осуществляется гораздо проще в сравнении с десятичной системой счисления.