Ведуча функція потоку відмовлень

 .

Параметр потоку відмовлень:

 ,

 ,

звідси

Параметр потоку відмовлень може бути визначений як імовірність відмовлення виробу в одиницю часу в момент t. За аналогією з неремонтуємимі виробами він відповідає щільності імовірності відмовлення.

І, нарешті, ще одним показником безвідмовності ремонуємого виробу, яким є двигун, служить ресурс безупинної роботи R_н. Це такий наробіток двигуна, у межах якої з імовірністю 90% не відбудеться передчасного відмовлення, що приводить до його змушеної зупинки.

Приклад. Верстат-автомат штампує деталі. Імовірність того, що за зміну не буде випущено ні однієї нестандартної деталі, дорівнює 0,9. Визначити імовірність того, що за три зміни не буде випущено ні однієї нестандартної деталі.

Рішення. Позначимо через А подія, що полягає в тім, що за три зміни не буде випущено ні однієї нестандартної деталі, а через A₁, A₂, A₃ - події, що полягають у тім, що за відповідну зміну не буде випущено ні однієї нестандартної деталі.

Тоді

 ,

тому що подія А настає за умови одночасного настання подій A₁, A₂ і A₃. Помітимо, що події A₁, A₂, A₃ є незалежними, тому що імовірності настання кожного з цих подій рівні 0,9 і не залежать від того, мали місце дві інших чи події ні.

Тому по теоремі множення імовірностей для незалежних подій маємо:

У прикладі розглянута теорема додавання імовірностей для неспільних подій. Користаючись теоремою додавання імовірностей для неспільних подій, разом з теоремою множення доведемо наступну теорему додавання імовірностей для спільних подій.

Теорема. Імовірність появи хоча б одного з двох спільних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їхньої спільної появи:

                                                                .                                                        (…)

Доказ. Для настання події А досить, щоб відбулося хоча б одне з наступних неспільних подій:  чи . Аналогічно, для настання події В досить, щоб відбулося хоча б одне з наступних неспільних подій:  чи .

Тому на підставі правила додавання імовірностей для неспільних подій маємо:

                                                                                                                                            (…)

і

                                                                         .                                                                  (…)

Для настання хоча б одного з подій А чи В досить, щоб відбулося одне з трьох попарно неспільних подій , , . Тому імовірність  дорівнює, сумі імовірностей трьох подій, тобто

                                                            .                                                    (…)

Склавши рівності (15) і (16), знайдемо:

Підставивши це вираження в (17), одержимо:

 .

Теорема доведена.

Приклад. Виробляється два постріли по однієї і тій же мішені. Імовірність улучення при першому пострілі дорівнює 0,6, для другого - 0,8. Знайти імовірність того, що в мішені буде хоча б одна пробоїна.

Рішення. Розглянемо подію А – улучення при першому пострілі і подія В – улучення при другому пострілі. Їхньої імовірності

Р(А)=0,6; Р(У)=0,8.

Тому що А и В є спільними і незалежними подіями, то імовірність того, що в мішені буде хоча б одна пробоїна, відповідно до формули (1.13), дорівнює

 .

Якщо ж перейти до протилежної події, то застосовуючи формулу (1.18) для випадку двох подій, одержимо:

 .

 

Показники довговічності

 

Ресурсом називається наробіток виробу від початку чи експлуатації після капітального ремонту до граничного стану, обговореного в технічній документації.

У технічній документації на двигун можуть бути зазначені різні ресурси: до першого капітального ремонту; між капітальними ремонтами; до списання (чи повний ресурс). При цьому звичайно вказується, чи є цей ресурс середнім (тобто підрахованим як середня величина для розглянутої групи виробів) чи мінімальним. Наприклад, у технічних умовах на двигун може бути зазначено, що середній ресурс до капітального ремонту дорівнює 150 тис. км, чи що ресурс до капітального ремонту повинний бути не менш 150 тис. км.

Середній ресурс оцінюється середнім арифметичної:

де t_i – ресурс i-го двигуна до капітального ремонту;

N₀ – кількість двигунів, що спостерігаються.

Коли говорять, що ресурс до капітального ремонту не менш наприклад, 8000 ч, те це значить, що жоден двигун, на який поширюється ця умова, не повинна проробити до ремонту менша кількість годин. Ясно, що середній ресурс при цьому буде значно більше.

Гамма-процентний ресурс R _g показує, що g відсотків машин повинні мати наробіток до граничного стану не нижче t _g ч. g-процентний ресурс легко визначається на графіку, де представлена імовірність безвідмовної роботи Р(t), тобто крива убули. Для цього треба через крапку Р(t)= g на осі ординат провести горизонталь до перетинання з кривої. Абсциса крапки перетинання і буде g-процентний ресурс R _g.

На мал. 1 показана крива імовірності безвідмовної роботи (крива убули) і відзначені значення Р(t _g), коли g =90%. Це значить, що до моменту наробітку R _g =t₉₀ залишилося працездатних, тобто не мали чи відмовлення не потребуючого капітального ремонту, 90% виробів.

Гамма-процентний ресурс може бути також визначений як наробіток, протягом якого об'єкт не досягне граничного стану з заданою імовірністю g відсотків.

Рис. 1. Визначення g-процентного ресурсу R _g.

 

Граничним станом для невідновлюваних виробів буде перше відмовлення, а для відновлюваних – необхідність капітального ремонту, чи списання зняття з експлуатації з інших причин. У кожнім окремому випадку ми будемо говорити про (-процентний ресурс до капітального ремонту, списання і т.д.

У технічних умовах указується, що, наприклад, 80%-вий ресурс двигуна до капітального ремонту складає 200 тис. км пробігу автомобіля, на якому він працює. Це значить, що 80 з 100 двигунів до, моменту пробігу в 200 тис. км ще не будуть вимагати капітального ремонту, а 20 двигунів будуть уже зношені настільки, що для них буде потрібно капітальний ремонт. Це можна сформулювати також і трохи інакше: імовірність того, що до наробітку в 200 тис. км пробігу двигун автомобіля не вимагає капітального ремонту, дорівнює 80%.

Для двигунів звичайно призначають і визначають g =90% і g =80%, тобто R₉₀ і R₈₀.

Ресурс, при якому g =50%, називається медіанним. При цьому ресурсі половина виробів досягне граничного стану.

Призначений ресурс – наробіток виробу, при досягненні якої експлуатація повинна бути припинена незалежно від стану виробу.

Призначеним ресурсом до капітального ремонту R_к чи перебирання R_п буде називатися сумарний наробіток двигуна, при досягненні якої експлуатація повинна бути припинена незалежно від його стану для проведення капітального чи ремонту перебирання. Названий показник передбачається для тих двигунів, у яких чи перебирання капітальний ремонт визначені як планові види обслуговування. Це звичайно відноситься до великих стаціонарних двигунів.

Якщо ресурс виміряється наробітком, то термін служби визначається як календарна тривалість експлуатації виробу до моменту виникнення граничного чи стану до списання.

Подібно ресурсу, розрізняють «термін служби до першого капітального ремонту», «термін служби між капітальними ремонтами», «термін служби до списання», «призначений термін служби до капітального ремонту» і т.д. Призначений термін служби до капітального ремонту позначають Т_к, до списання – Тс.

Ресурсом оцінюють фактичний наробіток, наприклад, у чи годинник кілометрах. Перерви в роботі ресурсом на враховуються.

Терміном служби оцінюють повну тривалість існування машини в одиницях часу (годинник, місяці, роки) незалежно від того, чи працює вона, або простоює в чи ремонті по організаційних причинах.

Автомобіль «Волга», наприклад, що належить індивідуальному чи власнику працює як таксі, має приблизно той самий ресурс до капітального ремонту, вимірюваний у кілометрах пробігу. Тим часом термін служби, вимірюваний у літах, у першому випадку звичайно в кілька разів більше в зв'язку з менш інтенсивною експлуатацією.

Особливо варто згадати такі показники, як гарантійний наробіток і термін гарантії, указуються постійно в технічній документації.

Гарантійний наробіток – наробіток виробу, до завершення якої виготовлювач гарантує і забезпечує виконання визначених вимог до виробу за умови дотримання споживачем правил експлуатації, у тому числі правил збереження і транспортування.