Решение:
Пусть 
и 
.
По определению равенства множеств покажем, что 
и 
, т.е. 
.
Пусть 
, т.е. по определению объединения и пересечения множеств имеем:
, т.е.
Пусть 
, т.е. по определению объединения и пересечения множеств имеем:
, т.е. .
Т.к. и , то , т.е. 
. Ч.т.д.
5. Пусть 
. Отношение 
задано характеристическим свойством:
Задать отношение другими возможными способами. Выяснить, какими свойствами оно обладает.
Решение:
Отношение R можно задать перечислением всех элементов:
.
Область определения отношение R: 
;
Область значений отношение R: 
.
Наглядно представить отношение R можно с помощью графика:
С помощью схемы:
С помощью графа:
С помощью матрицы отношения:
Выясним, какими свойствами обладает отношение.
Рефлексивность.
При 
условие 
- не выполняется 
- т.е. отношение R не является рефлексивным; 
и не является антирефлексивным.
Симметричность.
Пусть 
. Составим пару 
и для нее проверим характеристическое свойство отношения: 
выполняется. Т.е. отношение 
- симметрично.
Транзитивность: пусть 
и 
, т.е. и 
выясним выполняется ли неравенство 
.
. Т.е. отношение - транзитивно.
Отношение R обладает свойствами симметричности и транзитивности, следовательно, не является отношением эквивалентности.
Дано множество и отношение. Показать, что отношение R является отношением порядка. Построить диаграмму Хассе частично упорядоченного множества. Существует ли в множестве X наибольший и наименьший элементы? Существуют ли несравнимые элементы?
Решение:
Покажем, что отношение R рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Рефлексивность имеет место, так как любое число является своим делителем, т.е. 
.
Пусть одновременно выполняются условия: и . Тогда . Действительно, означает, что 
– делитель 
, т.е. найдется целое число 
такое, что 
. Одновременно найдется целое число 
такое, что 
. Отсюда 
и 
. Последнее равенство выполняется при 
или 
, но все элементы множества X – положительные числа, и второй случай невозможен. Следовательно, , т.е. , и отношение R антисимметрично.
Пусть и , значит, найдутся 
такие, что , 
. Тогда 
, где 
. Следовательно, является делителем 
и . Отношение R транзитивно.
Отношение R рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка. Построим диаграмму Хассе частично упорядоченного множества 
. На первом уровне диаграммы поместим элементы 
не имеющие других делителей, кроме себя (
и 
). На втором уровне – элементы , не имеющие других делителей, кроме себя и элементов нижнего уровня 
. На третьем уровне – элементы , не имеющие других делителей, кроме себя и элементов второго и первого уровня 
. Соединяем отрезком элементы соседних уровней, если элемент нижнего уровня является делителем элемента соседнего верхнего уровня.
Диаграмма Хассе построена.
Пара элементов тогда и только тогда, когда двигаясь по диаграмме только вверх, мы можем пройти от элемента до элемента . По диаграмме Хассе легко обнаружить несравнимые элементы: 3 и 5. Наибольшим элементом является 
(для всех выполнено условие «
является делителем 30»). Наименьшего элемента нет, но есть два минимальных 
и 
.
7. Заданы отношения и 
:
| 
|
|
|
|
| 
|
|
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
|
|
|
|
| 
|
|
Записать обозначения операций реляционной алгебры и выполнить их:
а) проекция отношения S на список (2,1);
