Пользуясь только определениями операций над множествами и определением равенства множеств, доказать.

Решение:

Пусть и .

По определению равенства множеств покажем, что и , т.е. .

Пусть , т.е. по определению объединения и пересечения множеств имеем:

, т.е.

Пусть , т.е. по определению объединения и пересечения множеств имеем:

, т.е. .

Т.к. и , то , т.е. . Ч.т.д.

5. Пусть . Отношение задано характеристическим свойством:

Задать отношение другими возможными способами. Выяснить, какими свойствами оно обладает.

Решение:

Отношение R можно задать перечислением всех элементов:

Область определения отношение R: ;

Область значений отношение R: .

Наглядно представить отношение R можно с помощью графика:

С помощью схемы:

С помощью графа:

С помощью матрицы отношения:

Выясним, какими свойствами обладает отношение.

Рефлексивность.

При условие - не выполняется - т.е. отношение R не является рефлексивным; и не является антирефлексивным.

Симметричность.

Пусть . Составим пару и для нее проверим характеристическое свойство отношения: выполняется. Т.е. отношение - симметрично.

Транзитивность: пусть и , т.е. и выясним выполняется ли неравенство .

. Т.е. отношение - транзитивно.

Отношение R обладает свойствами симметричности и транзитивности, следовательно, не является отношением эквивалентности.

Дано множество и отношение. Показать, что отношение R является отношением порядка. Построить диаграмму Хассе частично упорядоченного множества. Существует ли в множестве X наибольший и наименьший элементы? Существуют ли несравнимые элементы?

Решение:

Покажем, что отношение R рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Рефлексивность имеет место, так как любое число является своим делителем, т.е. .

Пусть одновременно выполняются условия: и . Тогда . Действительно, означает, что – делитель , т.е. найдется целое число такое, что . Одновременно найдется целое число такое, что . Отсюда и . Последнее равенство выполняется при или , но все элементы множества X – положительные числа, и второй случай невозможен. Следовательно, , т.е. , и отношение R антисимметрично.

Пусть и , значит, найдутся такие, что , . Тогда , где . Следовательно, является делителем и . Отношение R транзитивно.

Отношение R рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка. Построим диаграмму Хассе частично упорядоченного множества . На первом уровне диаграммы поместим элементы не имеющие других делителей, кроме себя ( и ). На втором уровне – элементы , не имеющие других делителей, кроме себя и элементов нижнего уровня . На третьем уровне – элементы , не имеющие других делителей, кроме себя и элементов второго и первого уровня . Соединяем отрезком элементы соседних уровней, если элемент нижнего уровня является делителем элемента соседнего верхнего уровня.

Диаграмма Хассе построена.

Пара элементов тогда и только тогда, когда двигаясь по диаграмме только вверх, мы можем пройти от элемента до элемента . По диаграмме Хассе легко обнаружить несравнимые элементы: 3 и 5. Наибольшим элементом является (для всех выполнено условие « является делителем 30»). Наименьшего элемента нет, но есть два минимальных и .