Лекция 11 Электромагнитные волны. Излучение

Электромагнитное поле. Инвариантность заряда и теоремы Гаусса в выбранной инерциальной системы отсчёта. Преобразования Лоренца векторов

E напряжённости электрического и B индукции магнитного полей в различных инерциальных системах отсчёта. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Скорость распространения электромагнитных волн. Волновое уравнения плоской электромагнитной волны, его решение. Вектор Пойнтинга. Теорема Пойнтинга для плоской электромагнитнойволны. Энергия и импульс плоской электромагнитной волны. Волновой характер электромагнитного поля движущегося заряда. Определение электромагнитного поля движущегося точечного заряда. Дипольный излучатель Герца. Интенсивность излучения диполя Герца. Средняя мощность электромагнитной волны, излучаемой движущимся с ускорением или колеблющимся точечным зарядом. Явления отражения и прохождения электромагнитной волны на плоской границе раздела двух сред. Закон Снеллиуса. Скин - эффект для плоской электромагнитной волны

 

    Электромагнитное поле. Инвариатность заряда и теоремы Гаусса в выбранной                                                         инерциальной системе отсчёта

 

       Электрические заряды, неподвижные относительно выбранной инерциальной системы отсчёта (ИСО), образуют в окружающем эти заряды пространстве электростатическое поле, характеризующихся вектором E напряжённости этого электростатического поля. Магнитное поле в окружающем неподвижные электрические заряды пространстве отсутствует.

       Если электрический заряд в выбранной ИСО движется, то в этой ИСО существует в рассматриваемой точке пространстве кроме электрического поляс (5.6) из раздела 5.1 " Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля " результирующим вектором E напряженности также и магнитное поле (7.7) из раздела 7.1 " Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях " с вектором B магнитной индукции. При этом в каждой точке пространства выбранной ИСО с движущимися зарядами модули E, B векторов E напряженности электрического поля и B индукции магнитного поля переменны во t времени.

       Поэтому электрическое поле с вектором E напряженности и магнитное поле с вектором

B магнитной индукции являются различными компонентами единой материи, которое называется электромагнитным полем.

       Заряд q любой частицы не зависит от величины и направления её вектора скорости в выбранной ИСО, т.е. q заряд любой частицы является инвариантной величиной по отношению к выбору ИСО, в которой этот q заряд измеряется.

       Теорема Гаусса (5.17) из раздела 5.1 " Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля " для электрического поля в интегральной форме в вакууме для одиночного q _i заряда, имеющая следующий вид: N_E = ∫ E d S = q _i / ε₀,

                          (S)

применима не только для покоящегося одиночного q _i заряда, но и движущегося в выбранной ИСО

q _i заряда, т.е.эта теорема Гаусса справедлива во всех ИСО. При этом поверхностный интеграл в теореме Гаусса (5.17) из раздела 5.1 " Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля " для электрического поляв случае движущегося в выбранной ИСО одиночного q _i заряда следует вычислять полностью в заданный момент t времени.                                                                                                                                                 

       Преобразования Лоренца векторов E напряжённости электрического и B индукции                        магнитного полей в различных инерциальных системах отсчёта

 

       Векторы E ′ напряженности электрического и B ′  индукции магнитного полей в K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО при (рис. 9.1) её движении вдоль положительного направления OY оси K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО с вектором v постоянной скорости связаны с векторами E напряженности электрического и B  индукции магнитного полей в произвольной M точке пространства неподвижной  ИСО с использованием(3.11) из раздела 3.0 " Релятивистская механика " частных преобразований Лоренца следующими соотношениями:            

       E_|| ′ = E_||; B_|| ′ = B_||; E_┴ ′ = ( E_┴ + [ v, B ] )/[1-( v ² /c²)]^1/2; B_┴ ′ = [ B_┴ -([ v, E] )/c²]/[1-( v ² /c²)]^1/2,          (9.1)

 

где E||′ = E|| - равные (рис. 09.0.1) составляющие векторов E′, E напряжённости электрического поля, параллельные вектору v постоянной скорости, с которой K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OY оси K(x, y, z, t) неподвижной ИСО;

E_┴ ′, E_┴ - составляющие (рис. 9.1) векторов E ′, E напряжённости электрического поля, перпендикулярные  вектору v постоянной скорости, с которой K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OY оси K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО; B_|| ′ = B_|| - равные (рис. 9.2) составляющие векторов B ′, B индукции магнитного поля, параллельные вектору v постоянной скорости, с которой K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OY оси K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО; B_┴ ′, B_┴ - составляющие (рис. 9.2) векторов B ′, B индукции магнитного поля, перпендикулярные  вектору v постоянной скорости, с которой K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OY оси K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО.

       Составляющие(рис. 9.1) E_┴ ′,(рис. 9.2) B_┴ ′  векторов E ′, B ′ в K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО соответственно напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля, перпендикулярные  вектору v постоянной скорости, с которой K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OY оси K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО, отличаются согласно (9.1) от составляющих(рис. 9.1) E_┴,(рис.9.2) B_┴ векторов E, B в K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО соответственно напряжённости электрического поля, индукции магнитного поля на Δ E, Δ B величины.     Например, при отсутствии в K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО составляющей(рис.9.1) E_┴ вектора напряжённости электрического поля, перпендикулярного  вектору v постоянной скорости, с которой K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OY оси K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО, но наличия  в K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО составляющей

B_┴ вектора индукции магнитного поля в K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО возникает составляющаявектора напряжённости электрического поля,равная Δ E _┴ ′ величине и направленная (9.1) по O′ Z′ оси.

       Например, при отсутствии в K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО составляющей(рис.9.2) B_┴ вектора индукции магнитного поля, перпендикулярного  вектору v постоянной скорости, с которой K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OY оси K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО, но наличия  в K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО составляющей E_┴ вектора напряжённости электрического поля в K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО возникает составляющаявектора индукции магнитного поля,равная Δ B _┴ ′ величине и направленная (9.1) противоположно O′ X′ оси.

 

Волновое уравнение для электромагнитного поля. Скорость распространения                                                 электромагнитных волн                                                                                      

    Для случая однородной, незаряжённой, т.е. с плотностью свободных зарядов ρ = 0, непроводящей, т.е. с вектором j = 0 плотности токов проводимости, среды, что выполняется, например, для вакуума,  первые производные по t времени от левой и правой частей выражения (5.87) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля ", связывающих вектор D электрического смещения с вектором E напряжённости электрического поля, и первые производные по t времени от левой и правой частей выражения(7.127) из раздела 7.2 " Магнитное поле в веществе ", связывающих вектор B   магнитной индукции с напряжённостью H магнитного поля, имеют следующий вид:                                                                                                ∂ D/ ∂ t= ε₀ε∂ E/ ∂ t;

                                                                                                                           ∂ B/ ∂ t= μ₀μ∂ H/ ∂ t.     (9.2)

       Подставим (9.2) в дифференциальную форму уравнений Максвелла (8.69), (8.77) из раздела 8.0 " Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля", вследствие чего эти выражения (9.2) принимают следующий вид: [ E] = - ∂ B /∂ t ↔ [ E] = - μ₀μ∂ H/ ∂ t;                                                                                     [H] = (∂ D /∂ t) ↔ [H] = ε₀ε∂ E/ ∂ t,         (9.3) где в уравнении полного тока в теории Максвелла (8.77) из раздела 8.0 " Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля" [H] = j + (∂ D /∂ t) вектор плотности токов проводимости среды, вследствие отсутствия её проводимости, равен нулю, т.е. j = 0.

        Возьмём ротор от обеих частей в 2-ух уравнениях (9.3), вследствие чего имеют место следующие выражения:                                                         [ [ E]] = - μ₀μ [ ∂ H/ ∂ t ];

                                                                                                       [[H]] = ε₀ε [    ∂ E/ ∂ t ].        (9.4)                                                    Т.к. согласно (7.117) из раздела 7.2 " Магнитное поле в веществе " операция определения ротора связана с вычислением производных поосям декартовых координат, то в (9.4) можно произвести дифференцирование по t времени после определения ротора, т.е. вынести ∂ / ∂ t оператор в правой части 2-ух уравнений (9.4) перед ротором, вследствие чего эти выражения (9.4)  принимают следующий вид:                                                                   [ [ E]] = - μ₀μ(∂ / ∂ t) [ H];

                                                                                                            [[H]] = ε₀ε(∂ / ∂ t) [    E].              (9.5)        В левой части (9.5) возьмём двойное векторное произведение, а в правую часть подставим (9.3) с учётом двойного дифференцирования по t времени, вследствие чего выражения (9.5) принимают следующий вид:              ( E ) - E (  )  = - μ₀μ ε₀ε ∂² E / ∂ t²↔     ( E ) - ∆ E = - μ₀μ ε₀ ε∂² E / ∂ t²;    

                                          (  H ) - H ( ) = - ε₀εμ₀μ∂² H/ ∂ t² ↔  ( H ) - ∆ H  = - μ₀μ ε₀ε∂² H/ ∂ t,       (9.6)            

где = i (∂ / ∂ x) + j (∂ / ∂ y) + k (∂ / ∂ z) - векторный дифференциальный оператор или оператор набла;   (  ) = (∂² / ∂ x²) + (∂² / ∂ y²) + (∂² / ∂ z²) = ∆ -   скалярное произведение двух операторов набла есть         ∆ - оператор Лапласа.                                                                                             

       Учтём в дифференциальной форме уравнения Максвелла (5.21)из раздела 5.1 " Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля "равенство нулю плотности свободных зарядов,

т.е. ρ = 0, а в дифференциальной форме уравнения Максвелла   (7.20) из раздела 7.1 " Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях "     равенство нулю div B вектора     B магнитной индукции, вследствие чего получим следующие выражения:                                                                                                                                                                   E = 0;

                                                                                                                                               H   = 0.       (9.7)       Подставим (9.7) в (9.6) с учётом       0 = 0 и получим следующие выражения:                                                                                                                                                        ∆ E = μ₀μ ε₀ε∂² E/ ∂ t²; 

                                                                                                                        ∆ H  = ε₀εμ₀μ∂² H/ ∂ t². (9.8)       Введём в (9.8) полную (9.6) форму   оператора ∆ Лапласа и получим следующие два волновых уравнения:                                                (∂² E/ ∂ x²) + (∂² E/ ∂ y²) + (∂² E/ ∂ z²) = (εμ/ c²)(∂² E/ ∂ t²);                                                                        (∂² H/ ∂ x²) + (∂² H/ ∂ y²) + (∂² H/ ∂ z²) = (εμ/ c²)(∂² H/ ∂ t²),    (9.9) где c² = 1/ ε₀μ₀ - квадрат скорости электромагнитной волны в вакууме.

       Всякая функция, удовлетворяющая (9.9), описывает некоторую волну, причём корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по t времени в правой части (9.9), даёт фазовую скорость этой волны. Следовательно, уравнение (9.9) указывает на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая vскорость которых имеет следующий вид:                                                                             v = с/(εμ)^1/2. (9.10)      В вакууме при равенстве единице постоянных диэлектрической и магнитной проницаемостей соответственно ε = μ = 1 с учётом (10.9) скорость v электромагнитных волн равна скорости с света.

 

              Волновое уравнения плоской электромагнитной волны, его решение

       Плоская (рис.9.3) электромагнитная волна, подобная упругой плоской волне (рис.2.17) из раздела 2.0 "Колебания и волны", распространяется в нейтральной, непроводящей среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, равенства нулю ρ плотности свободных зарядов, т.е. ρ= 0, и равенства нулю вектора j = 0 плотности токов проводимости, т.е. j = 0. Ось OY (рис.9.3) перпендикулярна A плоскости равных фаз, т.е. характеристики электромагнитной волны в т.т. 1, 2 и 3 одинаковы, поэтому векторы E, H напряжённости в этих т.т. 1, 2 и 3 соответственно  

	электрического и магнитного полей не будут зависеть от x и z координат. Дифференциальная скалярная форма уравнений Максвелла (табл. 8.1) из раздела 8.0 "Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля"имеет следующий вид:                   а) из (8.65), (табл. 8.1) из раздела 8.0 "Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля"

                                                                                                                    

 (∂ E _Z/∂ y) - (∂ E _Y/∂ z) = - ∂ B _X/∂ t; (∂ E _X/∂ z) - (∂ E _Z/∂ x) = - ∂ B _Y/∂ t; (∂ E _Y/∂ x) -(∂ E _X/∂ y) = - ∂ B _Z/∂ t

с учётом ∂ E _Y/∂ x = 0; ∂ E _Y/∂ z = 0; ∂ E _Z/∂ x = 0; ∂ E _X/∂ z = 0 в пределах (рис. 09.0.3) плоскости A равных фаз имеет следующий вид:                                       ∂ E _Z/∂ y = - ∂ B_X/∂ t ↔ ∂ E _Z/∂ y = - μ₀μ(∂ H_X/∂ t);                                                                                                        0 = ∂ B_Y/∂ t ↔ 0 = μ₀μ(∂ H_Y/∂ t);

                                                                               ∂ E _X/∂ y = ∂ B_Z/∂ t ↔ ∂ E _X/∂ y = μ₀μ(∂ H_Z/∂ t),(9.11) где B_X= μ₀ μ H_X, B_Z   = μ₀ μ H_Z - проекциина OX, OZ оси вектора B   магнитной индукции, связанные с H_X, H_Z проекцияминаэтижеоси вектора H напряжённости магнитного поля согласно (7.127) из раздела 7.2 " Магнитное поле в веществе ";

        б) из (7.20) из раздела 7.1 " Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях ", (табл. 8.1) из раздела 8.0 " Переменные электрические и магнитные поля. Уравнения Максвелла " (∂ B_X/∂ x) +  (∂ B_Y/∂ y)+ (∂ B_Z/∂ z) = 0 с учётом       ∂ B_X/∂ x= 0; ∂ B_Z/∂ z = 0 в пределах (рис. 09.0.3) плоскости A равных фаз имеет следующий вид:

                                                                                                          ∂ B_Y/∂ y = 0 ↔ μ₀μ(∂ H_Y/∂ y) = 0,    (9.12) где B_Y= μ₀ μ H_Y - проекцияна OY ось вектора B   магнитной индукции, связанная с H_Y   проекцией наэтужеось вектора H напряжённости магнитного поля согласно (7.127) из раздела 7.2 " Магнитное поле в веществе ";

                   в) из (8.78), (табл. 8.1) из раздела 8.0 " Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля" (∂ H_Z /∂ y) - (∂ H_Y /∂ z) = j_x + (∂ D _X /∂ t); (∂ H_X/∂ z) - (∂ H_Z /∂ x) = j_y + (∂ D _Y/∂ t); (∂ H_Y /∂ x) - (∂ H_X /∂ y) = j_z + (∂ D _Z /∂ t) с учётом ∂ H_Y /∂ x= 0; ∂ H_Y /∂ z = 0; ∂ H_Z /∂ x = 0; ∂ H_X/∂ z = 0, а также с учётом равенства нулю вектора j = 0 плотности токов проводимости, т.е. j = 0, вследствие чего j_x = 0; j_y= 0; j_z = 0, в пределах (рис. 09.0.3) плоскости A равных фаз имеет следующий вид: ∂ H_Z /∂ y = ∂ D _X /∂ t ↔ ∂ H_Z /∂ y = ε₀ε(∂ E _X /∂ t);                                            0 = ∂ D _Y/∂ t ↔ 0 = ε₀ε(∂ E _Y /∂ t);

                                                                               ∂ H_X /∂ y = - ∂ D _Z /∂ t ↔ ∂ H_X /∂ y = - ε₀ε(∂ E _Z/∂ t). (9.13)        г) из (5.88) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля ", (табл. 8.1) из раздела 8.0 " Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля" (∂ D _X/∂ x) + (∂ D _Y/∂ y)+ (∂ D _Z/∂ z) = ρ с учётом ∂ D _X/∂ x = 0; ∂ D _Z/∂ z = 0, а также с учётом равенства нулю ρ плотности свободных зарядов, т.е. ρ= 0, в пределах (рис.9.3) плоскости A равных фаз имеет следующий вид:                                                                                                        ∂ D _Y/∂ y = 0 ↔ ε₀ε(∂ E _Y /∂ y) = 0.     (9.14) где D _Y= ε₀ε E _Y - проекцияна OY ось вектора D   электрического смещения, связанная с E _Y проекцией наэтужеось вектора E напряжённости электрического поля согласно (5.87) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля "

        Согласно (9.11), (9.12) справедливы следующие выражения:               ∂ H_Y/∂ t = ∂ H_Y/∂ y = 0. (9.15)                    Согласно (9.13), (9. 14) справедливы следующие выражения:               ∂ E _Y/∂ t = ∂ E _Y/∂ y = 0.       (9.16)              Равенство нулю первых производных в (10.14), (10.15) по t времени и y координатеот проекций E _Y, H _Y векторов E, H напряжённости соответственно  электрического и магнитного полей на OY ось координат при изменяющемся во t времени электромагнитном поле в произвольной     

y координате пространства возможно, если эти проекции E _Y, H_Y векторов E, H напряжённости соответственно  электрического и магнитного полей на OY ось координат имеют следующий вид:                                                                                                                                             E _Y =   H _Y = 0.      (9.17)         С учётом (9.17) уравнения (9.12) и (9.14) исключаются. Из уравнений (9.11) и (9.13) сгруппируем следующие две системы из двух уравнений, в которые входят проекции E _X, H_Z и E _Z, H_X на OY, OZ оси      векторов E, H напряжённости соответственно  электрического и магнитного полей:                                                                                                                 ∂ E _Z/∂ y = - μ₀μ(∂ H_X/∂ t)    (9.18)

                                                                                                            ∂ H_X /∂ y= - ε₀ε(∂ E _Z /∂ t)  ;

                                                                                                                      ∂ E _X/∂ y = μ₀μ(∂ H_Z/∂ t)

                                                                                                                      ∂ H_Z/∂ y = ε₀ε(∂ E _X /∂ t). (9.19)

        В уравнения (9.18), (9.19) входят только проекции E _Z, H _X  и E _X, H_Z от векторов                        E, H напряжённости соответственно  электрического и магнитного полей по OX, OZ осям координат, т.к.согласно (9.17)проекции E _Y, H_Y, т.е. направленные по OY оси координат, равны  нулю. Для описания плоской   электромагнитной волны достаточно взять одно из уравнений (9.18) или (9.19). Допустим, что первоначально было создано переменное во t времени   электрическое поле с вектором

E _Z напряжённости, направленное (рис.9.3) вдоль OZ оси. Согласно второму (9.18) уравнению переменное во t времениэлектрическое полес вектором E _Z напряжённостиэлектрического поля, создаст магнитное поле с вектором H _X напряжённости, направленное вдоль OX оси. Электрическое поле с вектором E _X напряжённости, направленное вдоль OX оси и магнитное поле с вектором H_Z напряжённости, направленное вдоль OZ оси, при этом не возникают.

        Аналогичная последовательность возникновения полей происходит, если рассмотреть уравнение (9.18) с отличием в том, что существуют электрическое поле с вектором

E _X напряжённости и магнитное поле с вектором H_Z напряжённости.

        Принято (рис.9.3) электрическое поле плоской   электромагнитной волны направлять вдоль OZ оси с вектором E _Z напряжённости, а магнитное поле направлять вдоль OX оси с вектором     H _X напряжённости, поэтому для математического описания плоской   электромагнитной волны выбрали (9.18) уравнение, положив E _X= H_Z = 0.                                                   

        Продифференцируем по y координате первое уравнение   (9.18) и поменяем в смешанной производной очередность дифференцирования, вследствие чего получим следующее выражение:                                                     ∂² E _Z/∂ y² = - μ₀μ(∂ / ∂ y)(∂ H_X/∂ t) ↔ ∂² E _Z/∂ y² = - μ₀μ(∂ / ∂ t)(∂ H_X/∂ y). (9.20) Подставим в (9.20) из второго (9.18) уравнения  выражение ∂ H_X /∂ y= - ε₀ε(∂ E _Z /∂ t) с учётом      (9.9) квадрата c² = 1/ ε₀μ₀ скорости света в вакууме, вследствие чего получим следующее выражение:                                                                                                                     ∂² E _Z/∂ y² = εμ(∂² E _Z/∂ t²) / c².        (9.21)         Продифференцируем по y координате второе уравнение   (9.18) и поменяем в смешанной производной очередность дифференцирования, вследствие чего получим следующее выражение:                                                            ∂² H_X/∂ y² = - ε₀ε(∂ / ∂ y)(∂ E _Z/∂ t) ↔ ∂² H_X/∂ y² = - ε₀ε(∂ / ∂ t)(∂ E _Z/∂ y).      (9.22)        Подставим в (9.22) из первого уравнения   (9.18) выражение ∂ E _Z/∂ y = - μ₀μ(∂ H_X/∂ t) с учётом   (9.10) квадрата c² = 1/ ε₀μ₀ скорости света в вакууме, вследствие чего получим следующее выражение:                                                                                                                   ∂² H_X/∂ y ² = εμ(∂² H_X/∂ t²) / c² .   (9.23)         Сравнивая (9.21), (9.23) с (9. 9), приходим к выводу, что выражения (9.21), (9. 23) являются частным случаем трёхмерных волновых уравнений (9.9) и справедливы для плоской электромагнитной волны, которая распространяется в нейтральной, непроводящей среде с постоянными ε диэлектрической, μ магнитной проницаемостями, в которой равняется нулю                  ρ плотность свободных зарядов, т.е. ρ= 0, и равняется нулю вектор j = 0 плотности токов проводимости, т.е. j = 0.                                                                                                

        Простейшим решением одномерных волновых уравнений (9.21), (9. 23) по аналогии с            

  s отклонением   от положения равновесия частиц упругой среды в произвольный момент t   времени (рис.2.17) из раздела 2.0 " Колебания и волны " является следующая зависимость проекций E _Z, H_X на OZ, OX оси координат соответственно векторов напряжённостей E _Z электрического и H _X магнитного поля, от t времени и y координаты по гармоническому (2.69)из раздела 2.0 " Колебания и волны "закону:                                                                                  E_Z = E_mcos(ωt  - k y+ φ₁)                                                                                                                                  H_X = H _m cos(ωt  - k y+ φ₂), (9.24)          

где ω - циклическая частота колебаний векторов напряжённостей E _Z электрического поля вдоль OZ оси и H _X магнитного поля вдоль OX оси; k = ω/ v (2.70)из раздела 2.0 " Колебания и волны "- волновое число, v = с/(εμ)^1/2 - фазовая (9.10) скорость плоской   электромагнитной волны; E_m и H _m - амплитуды колебаний векторов напряжённостей соответственно E_Z электрического поля вдоль  OZ оси и H _X   магнитного поля  вдоль OX оси; φ₁ и φ₂ - начальные фазы колебанийвекторов напряжённостей соответственно E _Z электрического поля вдоль OZ оси и H _X магнитного поля  вдоль OX оси.                                                                                             

        Подставим (9.24) в (9.18) и продифференцируем по t времени и y координате, вследствие чего получим следующие выражения:                kE_msin(ωt  - k y+ φ₁) = μ₀μ ω H _m sin(ωt  - k y+ φ₂)

                                                            k H _m sin(ωt  - k y+ φ₁) = ε₀ε ωE_msin(ωt  - k y+ φ₂).     (9.25)         Вследствие равенства функций в        (9.25) равны аргументы и коэффициенты передэтими функциями, вследствие чего получим следующие выражения:                              φ₁ = φ₂;     (9.26)                                                                                                                 kE_m = μ₀μ ω H _m

                                                                                                                         k H _m = ε₀ε ωE_m   .        (9.27)

    Согласно (9.26) колебания векторов напряжённостей E _Z электрического поля вдоль OZ оси и H _X магнитного поля  вдоль OX осипроисходят в одной фазе или синфазно.                                               Разделим в (9.27) первое уравнение на второе, вследствие чего получим следующие выражения:                                                                                 E_m/ H _m = μ₀μ H _m/ ε₀ε E_m ↔ E_m/ H _m = (μ₀μ/ ε₀ε)^1/2.        (9.28)     Согласно (9.28) отношение E_m/ H _m амплитуд колебаний векторов напряжённостей           E _Z электрического поля вдоль OZ оси и H _X магнитного поля  вдоль OX оси зависит от постоянных

ε диэлектрической, μ магнитной проницаемостей среды. Для вакуума, у которого ε = μ = 1,выражение (9.28) принимает следующий вид:                                            E_m/ H _m = (μ₀/ ε₀)^1/2.        (9.29)         

               Плотность энергии плоской электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга  

    Вектор E_m напряжённости (рис. 9.4) электрического поля совпадает или направлен противоположно единичному k орту, поэтому в декартовых координатах её вектор E _m амплитуды имеет следующий вид:                                                                               E_m = k E_{Z m} ,    (9.30) где E_{Z m}  - проекция на OZ ось напряжённости электрического поля в y координате по OY оси  и в  t время, когда эта напряжённость отклоняетсяот O координат на максимальное значение, т.е. принимает E _m, "- E _m " значения.        

Векторы E напряжённостей электрического поля вдоль OZ осии      H магнитного поля вдоль OX осив произвольной y координате по OY оси  и произвольное t время образуют с направлением распространения волны, совпадающем на рис.9.4 с направлением единичного j орта правовинтовую систему, т.е. если смотреть из конца единичного j орта, то для совмещения вектора E с вектором H по кратчайшему пути следует вращать вектор E против "часовой стрелки". В фиксированной точке пространства, например, в точке с y1 координатой (рис.9.4) векторы E напряжённостей электрического поля вдоль OZ осии H магнитного поля вдоль OX осиизменяются по гармоническому закону.

    Вектор H _X напряжённости (рис.9.4) магнитного поля совпадает или направлен противоположно единичному i орту, поэтому в декартовых координатах её вектор H_X амплитуды имеет следующий вид:                                                                                   H_m = i H_{X m} ,    (9.31)   где H_{X m}  - проекция на OX ось напряжённости магнитного поля в y координате по OY оси  и в          t время, когда эта напряжённость отклоняетсяот O координат на максимальное значение, т.е. принимает H _m, "- H _m " значения.                                                                                       Векторы напряжённостей E электрического поля вдоль OZ осии H магнитного поля вдоль OX оси   в произвольной y координате по OY оси  и произвольное t время по уравнениям (9.24) с учётом (9.30), (9.31) и равенства начальные фаз колебаний φ₁ = φ₂ = 0 имеют следующий вид:                                                                                     E = k E_mcos(ωt  - k y); H = i H _m cos(ωt  - k y).     (9.32)                                           

Y

 

    Например (рис.9.4), если в момент t₁ времени в точке с y₁ координатой они имели значение, равное нулю то через интервал времени, равный  четверти T/4 периода колебаний электромагнитной волны, векторы напряжённостей E электрического поля вдоль OZ осии  H магнитного поля вдоль OX оси достигнут максимального значения, т.е. (9.30), (9.31)значений E _m и H _m .          

    В произвольный момент t времени  и произвольной y координате электромагнитная волна, распространяясь по OY оси в направлении единичного j орта,имеет(9.32) векторы                   E напряжённостей электрического поля вдоль OZ оси   и H магнитного поля вдоль OX оси. Вследствие наличия вектора E напряжённости электрического поля электромагнитная волна в среде с ε диэлектрической проницаемостью обладает (5.152) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " следующей плотностью w_e   энергии электрического поля:

                                                                                                                                     w_e  = ε₀ε E²/2,       (9.33) где E - модуль вектора E напряжённостиэлектрического поля электромагнитной волны в вакууме в произвольный момент t времени  и произвольной y координате.                                  Вследствие наличия вектора H напряжённостимагнитного поля электромагнитная волна в среде с μ магнитной проницаемостью обладает (8.35) из раздела 8.0 " Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля" следующей плотностью     энергии магнитного поля:                                                                                                                                                                                                                                               w_m = μ₀ μ H²/2,(9.34)где H - модуль вектора H напряжённостимагнитного поля электромагнитная волна в вакууме в произвольный момент t времени  и произвольной y координате.                                         

    Суммарная w плотность   энергии электромагнитной волны в среде с постоянными               ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями с учётом (9.33) и (9.34) имеет следующий вид:                                                                         w = w_e + w_m = (ε₀ε E²/2) + (μ₀ μ H²/2). (9.35)    Преобразуем        (9.35) с учётом условия (9.28) E_m/ H_m = (μ₀μ/ ε₀ε)^1/2, справедливого при распространении электромагнитной волны в среде с постоянными ε диэлектрической и               μ магнитной проницаемостями для значений модулей E, H   векторов напряжённостей E и H соответственно электрического и магнитного полей в произвольный момент t времени  и произвольной y координате, вследствие чего выражение суммарной w плотности   энергии электромагнитной волны имеет следующий вид:

                                       w = (1/2)(ε₀ε E² ε₀ε E²)^1/2 + (1/2)(μ₀ μ H²μ₀ μ H²)^1/2 = (1/2)(ε₀ε E²μ₀ μ H²)^1/2 +                                                                    + (1/2)(μ₀ μ H² ε₀ε E²) ^1/2 = (μ₀μ ε₀ε)^1/2 E H = (1/ v ) E H,          (9.36) где v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 - фазовая скорость   электромагнитной волны в среде с постоянными                 ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями по аналогии со скоростью волны в упругой среде (2.75) из раздела 2.0 "Колебания и волны"            

    Умножим (9.36) на фазовую v скорость  электромагнитной волны в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями и получим количество S энергии, переносимой электромагнитной волной через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитной волны и равной единичной площади, за единицу t времени ив данный момент этого t времени. Эта величинаявляется S модулём плотности потока энергии и имеет следующий вид:                                                                                                            S = v w = E H.      (9.37)    Векторы E напряжённостейэлектрического поля вдоль OZ осии H магнитного поля вдоль OX оси   в произвольной y координате по OY оси и произвольное t время образуют правовинтовую систему с направлением распространения волны, совпадающем на рис.9.4 с направлением

  j единичного орта.          

    Направление распространения электромагнитной волны является направлением переноса энергии. Векторное произведение [ E H] совпадает (рис.9.4) с направлением j единичного орта, а значит совпадает с направлением переноса энергии. В силу взаимной перпендикулярности векторов напряжённостей E электрического и H магнитного полей модуль | [ E H]| векторного произведения с учётом (9.37) равен S модулю плотности потока энергии, вследствие чего выражение этого S модуля плотности потока энергии электромагнитной волны имеет следующий вид:                                                                                            | [ E H]|   =   E H = S.    (9.38)       С учётом (9.38) вектор S плотности потока энергии электромагнитной волны или вектор Пойнтинга имеет следующий вид:                                                                             S = [ E H].    (9.39)       Согласно (9.39) вектор S Пойнтинга имеет направление, совпадающее с направлением переноса электромагнитной волной энергии. Моду