Модуль FA ед.об. (9.52) вектора FA ед.об. силы Ампера, действующего на проводник единичного

V ₀ объёма, определяется с учётом перпендикулярности векторов j плотности тока проводимости и H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны, т.к. вектор j плотноститока проводимости коллинеарен вектору E напряжённостиэлектрического поля электромагнитной волны, а вектора H напряжённостей магнитного и E электрического полей в электромагнитной волне взаимно перпендикулярны, вследствие чего этот модуль F_{A ед.об.} вектора F _{A ед.об.} силы Ампера имеет следующий вид:                                                                            F_ед.об. = μ₀ jH.        (9.53)    Поверхностному слою (рис.9.6) тела M с единичным V ₀ объёмом и dh толщиной вектором F _ед.об. (9.52) силы Ампера сообщается в единицу t времени модуль dK вектора d K импульса cилы (1.43) из раздела 1.0 " Физические основы механики ", который с учётом (9.53) имеет следующий вид:                                                                                                            dK = F_ед.об. dh = μ₀ jHdh.   (9.54)    В этом же слое dh толщиной в единицу t времени согласно (9.48) поглощается dW энергия, которая имеет следующий вид:                                                                              dW = Ejdh,   (9.55)      

где (9.48) Ej - количество джоулевой теплоты, поглощаемой   единичным V ₀ объёмом.         Возьмём отношение (9.54), (9.55) и получим следующее выражение для отношения K модуля    вектора K импульса cилы, действующего на проводник произвольного V объёма в единицу                   t времени, к количеству W джоулевой теплоты, поглощаемой  этим проводником произвольного V объёма в единицу t времени:                                             dK/ dW =   μ₀ H/ E ↔ K/ W =   μ₀ H/ E. (9.56)    Подставим в(9.56) соотношение ε₀^1/2 E = μ₀^1/2 H (9.29), справедливое при распространении плоской электромагнитной волны в вакууме для значений модулей E, H векторов

E и H напряжённостей соответственно электрического и магнитного полей в произвольный момент t времени и произвольной y координате, вследствие чего это выражение(9.56) принимает следующий вид:                                                                                         K/ W = (ε₀μ₀)^1/2 = 1/ c, (9.57) где с = 1/(ε₀ μ₀)^1/2 - скорость света в вакууме.                                                                                                   Согласно (9.57) плоская электромагнитная волна, несущая в единицу t времени

W энергию, обладает модулем K вектора K импульса cилы, действующего на проводник произвольного V объёма в единицу t времени, который определяется следующим выражением:                                                                                                                                              K = W/ c.     (9.58)     Если проводник имеет единичный V ₀   объём, то в выражении (9.58) нужно использовать суммарную   (9.35) w плотность   энергии электромагнитной волны и модуль K_{ед.об .} вектора        

K _{ед.об .} импульса cилы, действующего на проводник единичного V ₀ объёма в единицу t времени, в связи с чем выражение (9.58) принимает следующий вид:                           K_ед.об.= w/ c.             (9.59)     Согласно(9.37) связь суммарной w плотности   энергии плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, с модулём S плотности потока энергии, т.е. с модулем вектора          S Пойнтинга, имеет следующий вид:                                                              w = S/ c.     (9.60)      Подставляем (9.60) в (9.59) и получаем следующее выражение, использующее модуль S вектора S Пойнтинга, для  модуля K_ед.об. вектора K_ед.об. импульса, передаваемого плоской электромагнитной волной проводнику единичного V ₀ объёма в единицу t времени:                     K_ед.об.= S/ c². (9.61)    Выражение для вектора K_ед.об импульс с учётом сонаправленности этого K _ед.об вектора импульса, передаваемого плоской электромагнитной волной в вакууме проводнику V ₀ объёма единичного объёма в t единицу времени, вектору S Пойнтинга, а также с учётом связи (9.39) вектора S Пойнтинга  и векторов E напряжённостейэлектрического и H магнитного полей электромагнитной волны имеет следующий вид: K_ед.об. = S / c² =   [ E, H]/ c² ↔ S = c² K_ед.об. (9.62)       Согласно (9.62) при переносе в вакууме энергии плоской электромагнитной волной вектор          S плотности потока энергии равен вектору K_ед.об импульса, передаваемого этой электромагнитной волной проводнику единичного V ₀ объёма в единицу t времени, умноженному на квадрат c² скорости света в вакууме.                            

 

      Волновой характер электромагнитного поля движущегося заряда

 

       Заряд Q имеет ρ(x, у, z, t) плотность заряда (рис.9.7), зависящую от t времени и

x, у и z координат, в шаре V объёмом с R радиусом, который намного меньше

r расстояния до M точки, в которой определяется поле электромагнитной волны, т.е. R << r.

       Заряд Q c ρ(x, у, z, t) плотностью этого заряда двигается по OZ оси как единое целое с вектором u скорости, модуль u которого много меньше v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скорости электромагнитной волны в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, т.е. u << v.

Это движение Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью эквивалентно (6.7) из раздела 6.0 "Электрический ток" протеканию электрического тока со следующим значением вектора jт(x, у, z, t) плотности тока проводимости, зависящим от (рис.9.7) координат x, у и z, в котором в данный момент t времени находится этот Q заряда:                                                                        jт(x, у, z, t) = ρ(x, у, z, t)u(z, t),  (9.63) где u(t) - вектор u скорости Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью, направленный в

                                  

                                                                                                 

 

данный момент t времени по OZ оси. 

       Согласно закону Био - Савара - Лапласа и принципу суперпозиции (7.6) из раздела 7.1 " Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях "  результирующий вектор B_M   магнитной индукции в данной M точке от движущегося Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, равняется следующему интегралу:                                              B_M = (μμ₀/4 π)∫([ j_т, r]/ r³) dV, (9.64)

                                                                                                                            V                    

где r - радиус-вектор, проведённый из точки с координатами x, у, z, находящейся внутри шара         V объёмом с R радиусом и Q зарядом, в M точку с координатами x _M, у _M, z _M, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция; r = [(x _M - x)² + (y_M  - y)² +(z_M - z)²]^1/2 -  модуль r радиуса-вектора или расстояние между точкой с координатами x, у, z, находящейся внутри шара V объёмом с R радиусом и Q зарядом, и M точкой с x _M, у _M, z _M координатами, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция.

              Векторное [ j_т, r] произведение (9.64) в прямоугольной декартовой системе координат с учётом равенства нулю в произвольный момент t времени проекций j _{т X}, j _{т Y} по OX, OZ осям вектора

j_т (x, у, z, t) плотности тока проводимости, т.е. j _{т X}   = 0, j _{т Y} = 0,имеет следующий вид:  

                                                                                                           [j_т, r] = -j _{т Z} (y_M - y) i + j _{т Z} (x_M - x) j .   (9.65)

       Подставим (9.65) в (9.64) и получим следующее выражение результирующего вектора     

B_M   магнитной индукции в (рис.9.7) данной M точке от движущегося Q зарядаc            

ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями:                                             B_M = (μμ₀/4 π)∫{[- j _{т Z} (y_M - y) i + j _{т Z} (x_M - x) j ]/ r³} dV,   (9.66)                                                                                                 V

где r = [(x _M - x)² + (y_M - y)² +(z_M - z)²]^1/2 -  модуль r радиуса-вектора или расстояние между точкой с координатами x, у, z, находящейся внутри шара V объёмом с R радиусом и Q зарядом, и M точкой с координатами x _M, у _M, z _M, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция.

       Представим результирующий вектор B_M   магнитной индукции в (рис.9.7) данной M точке от движущегося Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями в следующем виде:                             B_M = (μμ₀/4 π) rot ∫( j_т/ r) dV,     (9.67)                                                                                                                                    V

       Cогласно правилам вычисления ротации ротор от суммы векторов равен сумме роторов от каждого из векторов, входящих в эту сумму, поэтому (9.67) принимает следующий вид:                  

                                                                        B_M = (μμ₀/4 π) rot ∫( j_т/ r) dV = (μμ₀/4 π)∫ rot ( j_т/ r) dV,      (9.68)                                                                                                     V                  V

       Cогласно (5.42) из раздела 5.1 " Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля " координаты (9.68) ротации в прямоугольной декартовой системе координат с учётом равенства нулю в произвольный момент

t времени производных ∂ j _{т X}/ ∂ x, ∂ j _{т X}/ ∂ y, ∂ j _{т X}/ ∂ z и ∂ j _{т Y}/ ∂ x, ∂ j _{т Y}/ ∂ y, ∂ j _{т Y}/ ∂ z  от соответствующих  проекций j _{т X}, j _{т Y}   по OX, OY осям вектора j_т (x, у, z, t) плотности тока проводимости, т.е. ∂ j _{т X}/ ∂ x = 0, ∂ j _{т X}/ ∂ y = 0, ∂ j _{т X}/ ∂ z = 0 и ∂ j _{т Y}/ ∂ x = 0, ∂ j _{т Y}/ ∂ y = 0, ∂ j _{т Y}/ ∂ z = 0, имеют следующий вид:

rot ( j_т/ r) = i ∂ { j _{т Z}/[(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M - z)²]^1/2}/ ∂ y - j ∂ { j _{т Z}/[(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M - z)²]^1/2}/ ∂ x ↔         

                   ↔ rot ( j_т / r) = - i j _{т Z}(y_M - y)/[(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M - z)²]^3/2} + j { j _{т Z}(x_M - x)/[(x_M - x)² +                                              + (y_M - y)² +(z_M - z)²]^3/2}   ↔ rot ( j_т / r) = [- j _{т Z} (y_M - y) i + j _{т Z}(x_M - x) j ]/ r³,  (9.69)

где учтено, что амплитуда j _{т Z} плотности тока проводимости по OZ оси величина постоянная, т.е. j _{т Z} = const, а также использовано правило дифференцирования отношения функций и 

"цепного правила" при дифференцировании.  

       Подставим (9.69) в (9.68) и получим следующее выражение результирующего вектора    

B_M   магнитной индукции в (рис.9.7) данной M точке от движущегося Q зарядаc                                   ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, равного выражению (9.66):               B_M = (μμ₀/4 π)∫{[ - j _{т Z} (y_M - y) i + j _{т Z} (x_M - x) j ]/ r³} dV,   (9.70)                                                                                   V

       Вследствие равенства (9.70), которое получено преобразованием (9.67), выражению (9.66), которое получено преобразованием (9.64), возможно приравнять (9.64) и (9.67), вследствие чего результирующий вектор B_M   магнитной индукции в (рис.9.7) данной M точке от движущегося Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями можно представить в следующем виде:        B_M = (μμ₀/4 π)∫([ j_т, r]/ r³) dV= (μμ₀/4 π) rot ∫( j_т/ r) dV,        (9.71)                                                                                      V                                  V

                   Вектор B индукции магнитного поля, создаваемый током проводимости с вектором        j_т (x, у, z, t) плотности, в (рис. 9.7) произвольной   M точке пространства в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, имеет на основании (9.71) следующий вид:                                                                 B_M ≈ (μμ₀/4π) rot {(1/ r)∫ u ρ[t - (r/ v )] dV,    (9.72)                                                                                                                                       V

где [t - (r/ v )] - параметр по аналогии (2.69) из раздела 2.0 "Колебания и волны", учитывающий           ρ плотность заряда в шаре V объёмом с R радиусом, а также учитывающий τ = r/ v временное запаздывание, согласно которому вектор B индукции магнитного поля в M точке, находящейся на     r расстоянии от заряженного шара V объёмом будет определяться не ρ(t) плотностью заряда в этом шаре V объёмом в данный момент t времени, а ρ[t - (r/ v )] плотностью заряда в заряженном шаре

V объёмом, которое было раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой   скоростью распространится от заряженного шара V объёмом до M точки; 1/ r - обратная величина r расстояния от заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B индукции магнитного поля, вынесен за знак интеграла, поскольку это r расстояние намного больше R радиуса заряженного шара, т.е. r >> R, а интегрирование ведётся по V объёму, поэтому для удалённой на r расстояние M точки заряженный шар можно считать (рис.5.2), (рис.5.3) из раздела 5.1 " Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля " точечным Q зарядом; j_т (x, у, z, t) = u ρ[t - (r/ v )] - вектор плотности тока проводимости, вызванный (9.72) движением Q заряда по OZ оси как единое целое с вектором u скорости, который был раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой   скоростью распространится от заряженного шара V объёмом до M точки.

              Поскольку Q заряд ρ плотностью (рис. 9.7) двигается как единое целое, т.е. все части этого

Q заряда двигаются с одинаковой  скоростью, в выражении (9.72) из под знака интеграла может быть вынесен вектор u скорости движения этого заряда, вследствие чего это выражение примет следующий вид:                                                  B_M ≈ (μμ₀/4π) rot ( u / r)∫ρ[t - (r/ v )] dV = {μμ₀ Q[t - (r/ v )]/4π} rot ( u / r),       (9.73)                                                                                        V

где Q[t - (r/ v )] = ∫ρ[t - (r/ v )] dV - полный заряд ρ плотностью в заряженном шаре V объёмом, который был

                               V

раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой   скоростью распространится от заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B_M индукции магнитного поля.

                   Вектор (рис.9.7) p _Q дипольного электрического момента (5.61) из раздела 5.1 " Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля "  полного Q заряда, имеющего z координату, имеет следующий вид:                                                                                                                   p _Q = Qz k,    (9.74)

где k - единичный (1.1) из раздела 1.0 "Физические основы механики" вектор по OZ оси.

     Первая p _Q ′ производная по t времени от вектора (9.74) p _Q дипольного электрического момента имеет следующий вид:                                                    p _Q ′ = Q(dz/ dt) k = u Q ↔ u = p _Q ′ / Q,     (9.75)

где u = j (dz/ dt) - вектор u скорости Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью, направленный в данный момент t времени по OZ оси.

         Подставляем (9.75) в (9.73) и получаем выражение вектора B_M индукции магнитного поля в произвольной   M точке пространства, находящейся (рис.9.7) на r расстоянии от заряженного шара      V объёмом, считая его точечным Q зарядом, в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями в зависимости от величины первой p _Q ′ производной по t времени от вектора (10.74) p _Q дипольного электрического момента, которое имеет следующий вид:                                                                                                                                                  B_M ≈ (μμ₀/4π) rot { p _Q ′ [t - (r/ v )]/ r},        (9.76)

где p _Q ′ [t - (r/ v )] - первая производная по t времени от вектора (9.74) p _Q дипольного электрического момента, учитывающая величину Q[t - (r/ v )] заряда шара V объёмом, который был   раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой   скоростью распространится от этого заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B индукции магнитного поля.

 

     Определение электромагнитного поля движущегося точечного заряда                        

       Заряд Q c ρ плотностью этого заряда двигается (рис.9.8) по OZ оси с вектором u скорости, т.е. вектор j_т плотности тока направлен по OZ оси, поэтому (рис.7.3) из раздела 7.1 " Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях "  вектор B   индукции магнитного поля от этого движущегося Q заряда находится на окружности, плоскость которой параллельна координатной OXY плоскости. С использованием (5.42) из раздела 5.1 «Электростатика» определяем следующие проекции B _{M X}, B _{M Y} соответственно на OX,   OY оси (9.76) вектора B_M индукции магнитного поля (рис.9.8) в произвольной   M точке пространства

использованием правила определения проекций ротора (9.76) вектора pQ ′ [ t - (r/ v )]/ r в прямоугольной декартовой системе координат, а также с использованием правил дифференцирования отношения pZQ ′ [ t - (r/ v )]/ r функций и "цепного правила" при дифференцировании ∂{ pZQ ′ [ t - (r/ v )}/∂ x, ∂{ pZQ ′ [ t - (r/ v )}/∂ y, где r = (x2 + у2 + z2)1/2: BMX = - (μμ0/4π)(y/ r2){(1/ r) pZQ ′ [ t - (r/ v )] + (1/ v ) pZQ ′′ [ t - (r/ v )]} ≈                                                          ≈ - (μμ0/4π)(y/ r2){(1/ v ) pZQ ′′ [ t - (r/ v )]};  (9.77)

 

B _{M Y} = (μμ₀/4π)(x/ r²){(1/ r) p_ZQ ′ [ t - (r/ v )] + (1/ v ) p_ZQ ′′ [ t - (r/ v )]} ≈ (μμ₀/4π)(x/ r²){1/ v ) p_ZQ ′′ [ t - (r/ v )]}, (9.78)

где p_ZQ ′′ [t - (r/ v )] - вторая производная по t времени от вектора (10.74) p _Q дипольного электрического момента Q заряда; r = (x² + у² + z²)^1/2 - модуль (рис. 09.0.8) r радиуса-вектора или расстояние между шаром V объёмом с R радиусом и Q зарядом, и M точкой с координатами x, у, z, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция; r >> R - расстояние от заряженного шара        V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B_M индукции магнитного поля, поэтому для удалённой на r расстояние M точки заряженный шар можно считать (рис.5.2), (рис.5.3) из раздела 5.1 "Электростатика" точечным Q зарядом; знак " ≈"  использован потому, что для случая большого r расстояния произвольной   M точки пространства, в которой определяется вектор

B_M индукции магнитного поля, от Q заряда, т.е. при r → ∞, первым (1/ r) p_{Z Q} ′ [t - (r/ v )] слагаемым в (9.77), (9.78) можно пренебречь по сравнению со вторым (1/ v ) p_ZQ ′′ [t - (r/ v )] слагаемым.

       Проекция B_Z на OZ осьвектора B_M индукции магнитного поля (рис.9.8) в произвольной              M точке пространства равна нулю, т.к. вектор B_M индукции магнитного поля от движущегося по OZ оси     Q заряда находится на окружности, плоскость которой параллельна координатной OXY плоскости.

       В сферической системе координат вектор B_M индукции магнитного поля согласно выражению сферических координат через декартовы имеет проекцию B _{M φ}, отличную от нуля, по направлению

(рис.9.8) e_φ орта, вследствие чего выражение вектора B_M индукции магнитного поля в M точке имеет следующий вид:                                             B_M = (μμ₀/4π r){(1/ v ) p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]} sinθ e_φ,  (9.79)

где θ - угол, называемый в сферической системе координат полярным расстоянием.

       Вектор H_M напряжённости магнитного поляв произвольной   M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис.9.8) по OZ оси с учётом связи вектора

B   магнитной индукции  с вектором H напряжённости магнитного поля (7.127)  из раздела 7.2 " Магнитное поле в веществе "   B = μ₀ μ H, имеет следующий вид:         

                                                                                             H_M = (1/4π r v )p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]sin θ e_φ .         (9.80)

      

На значительном r расстоянии M точки от O начала  координат, в котором находится Q заряд, электромагнитную волну можно считать (рис. 9.3) плоской, поэтому (рис.9.9) векторы E напряжённостейэлектрического поля и H магнитного поля в произвольное t время образуют с направлением вектора SПойнтинга правовинтовую систему. С учётом (9.28) отношения Em/ Hm = (μ0μ/ ε0ε)1/2 амплитуд Em, Hm колебаний соответственно векторов E, H напряжённостей электрического и магнитного поля, а также с учётом (9.10) фазовой скорости v = 1/(ε ε0μμ0)1/2 электромагнитной волны в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями,

 выражение для вектора E напряжённости электрического поля электромагнитной волны имеет следующий вид:                                                                                          E = H (μ₀μ/ ε₀ε)^1/2

v = 1/(ε ε₀μμ₀)^1/2↔ (μ₀μ)^1/2 = 1/ v (ε₀ε)^1/2    ↔ E = H / v ε₀ε  ↔ E = (1/4πε ε₀ r v ²) p_ZQ ′′ [t - (r/ v )] sinθ e _θ.      (9.81) 

где (рис. 9.9) e _θ   - орт в сферической системе координат, направленный по касательной в M точке к координатной линии, представляющей собой окружность, вдоль которой меняется θ уголполярного расстояния в сферической системе координат; вектор H напряжённостимагнитного поля направлен по e_φ орту φ угла долготы; вектор S Пойнтинга направлен по e_r орту r радиуса-вектора, поэтому вектор E напряжённостиэлектрического поля, составляющий правовинтовую систему с векторами H, S,   направлен по e _θ   орту θ углаполярного расстояния.

                   Вектор D смещения электрического поля электромагнитной волны в произвольной   M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис.9.9) по OZ оси с учётом выражения (5.87) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля ", связывающих вектор D электрического смещения с вектором E напряжённости электрического поля D = ε₀ε E,  имеет с учетом (9.81) следующий вид:                                                                   D = (1/4π r v ²) p_ZQ ′′ [t - (r/ v )] sinθ e _θ.        (9.82) 

       Вектор (9.80) H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны в произвольной  

M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис.9.9) по OZ оси, имеет следующую проекцию H _φ на направление e_φ орта в сферической системе координат:    

                                                                                                     H _φ   = (1/4π r v ) p_ZQ ′′ [ t - (r/ v )] sinθ,    (9.83)

 где p_ZQ ′′ [ t - (r/ v )] - проекция на OZ ось второй производной по t времени вектора p _Q дипольного электрического момента Q заряда, двигающегося по OZ оси, учитывающая величину Q[t - (r/ v )] заряда шара V объёмом, который был   раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой   скоростью распространится от этого заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор

B индукции магнитного поля.      

        Проекция H _r на направление e_r орта равна нулю, т.к. вектор S Пойнтинга направлен по e_r орту. Векторы E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны согласно (9.39) S = [ E H] образуют с направлением вектора S Пойнтинга правовинтовую систему, т.е. эти векторы E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны перпендикулярны e_r орту и, следовательно, вектору S Пойнтинга.  

       Проекция H _θ на направление e_θ вектора H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны в произвольной   M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда

(рис.9.9) по OZ оси, равна нулю, т.к. этот вектор H напряжённости магнитного поля электромагнитной волныперпендикулярен e_θ орту в сферической системе координат.                                 

       Проекции H _θ, H _r на направление соответственно e_θ, e_r ортов в сферической системе координат вектора H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны в произвольной   M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис.9.9) по OZ оси, имеют следующий вид:                                                                                                                              H _θ   = 0; H _r = 0.   (9.84)        Векторы (рис.9.9) E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны согласно (9.39) S = [ E H] образуют с направлением вектора S Пойнтинга правовинтовую систему, поэтому вектор E напряжённости электрического поля электромагнитной волны перпендикулярен e_φ орту, по которому направлен вектор H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны, т.е. этот вектор E напряжённости электрического поля электромагнитной волны направлен по e_θ орту и имеет в сферической системе координат только одну отличную от нуля E_θ проекцию, имеющую следующий вид: E_θ = (1/4πε ε₀ r v ²) p_ZQ ′′ [t - (r/ v )] sinθ,    (9.85)

где при выводе E_θ проекции вектора E напряжённости электрического поля электромагнитной волны использовано соотношение (9.28) E_m/ H_m = (μ₀μ/ ε₀ε)^1/2 амплитуд E_m, H_m колебаний векторов напряжённостей соответственно E электрического и H магнитного поля электромагнитной волны, а также использовано выражение (9.10) фазовой скорости v = 1/(ε ε₀μμ₀)^1/2 электромагнитной волны в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями.

       Проекции E _φ, E _r на направление соответственно e_θ, e_r ортов в сферической системе координат вектора E напряжённости электрического поля электромагнитной волны в произвольной   M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис.9.9) по OZ оси, имеют следующий вид:                                                                                                                                       E _φ   = 0; E _r = 0. (9.86)

       Согласно (9.85), (9.83) численные значения  модулей E, H соответственно векторов (рис.9.9)

E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны обратно пропорциональны r расстоянию до M точки, в которой определяется поле электромагнитной волны. В направлении движения Q заряда по OZ оси, т.е. когда полярный θ угол равен нулю, эти E, H модули соответственно векторов E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны равны нулю.

           

Дипольный излучатель электромагнитных волн Герца. Интенсивность излучения диполя Герца

           

       Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является колеблющийся э лектрический диполь. Это (рис.9.10) неподвижный положительный q₊ точечный заряд  и колеблющийся около него с ω циклической частотой по аналогии с (1.19) из раздела 1.0 «Физические основы механики» q_- отрицательный заряд. Вектор p дипольного   электрического момента такой системы будет зависеть от t времени согласно следующему уравнению с гармонической функцией:                                                                                            p = p_m cosω t,         (9.87)

где p_m = - ql_m k  - амплитудное значение вектора по аналогии с (5.61) из раздела 5.1 " Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля " электрического момента диполя с расстоянием l_m между зарядами q₊ и q_- в начальный момент времени t₀ = 0 с учётом выбранного направления OZ оси координат   и направления вектора p дипольного   электрического моментаэтого диполя; k – единичный вектор. Проекция p_ZQ ′′ на OZ ось вектора второй p ′′ (t) производной по t времени от вектора   (9.87) p дипольного электрического момента, применяющаяся в (9.83), (9.85) для определения проекций E_θ, H _φ, на направление соответственно e_φ, e_θ ортов в сферической системе координат векторов (рис. 09.0.9)

E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны в произвольной  

M точке пространства, имеет следующий вид:                                       p_ZQ ′′ (t) = - ω² p_Zmcosω t,        (9.88)

где pZm = - qlm - проекция на OZ ось (9.87) амплитудного значения вектора электрического момента диполя в начальный момент времени t0 = 0 с учётом выбранного направления OZ оси координат   и направления вектора p дипольного   электрического моментаэтого диполя. Подставим (9.88) в (9.83), (9.85) и получим следующие выражения проекций Eθ, Hφ на направление соответственно eθ, eφ ортов в сферической системе координат векторов (рис.9.9) E, H напряжённостей электрического и магнитного поля

Z

 

электромагнитной волны в произвольной   M точке пространства в данный момент t времени, вызванного колеблющимся с циклической ω частотой (рис.9.10) по OZ оси координат   э лектрическим диполем:                                                 E_θ = - (ω² p_Zmsinθ /4πε ε₀ r v ²) cos[ω t - (2π r/ λ)],    (9.89)

                                                                                                         H _φ  = -(ω² p_Zm sinθ /4π r v ) cos[ω t - (2π r/ λ)],        (9.90)

где (2π r/ λ) - отставание по аналогии (2.69) из раздела 2.0 "Колебания и волны" фазового угла электромагнитной волны с λ длиной волны в среде с постоянными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями в зависимости от r расстояние до M точки, в которой определяется поле электромагнитной волны, от фазового ω t угла колеблющегося э лектрического диполя вданныймомент t времени.                                                               

         А мплитуды (9.89) E_θm = ω² p_Zmsinθ /4πε ε₀ r v ²,(9.90) H _{φ m}  = ω² p_Zmsinθ /4π r v векторов

E и H напряжённостей соответственно электрического и магнитного полей уменьшаются при удалении на расстояние r от центра электрического диполя или возбудителя электромагнитной волны и кроме этого зависят (рис.9.9) от полярного θ расстояния, т.е. θ угла между направлением

r радиуса - вектора  и осью электрического диполя, находящейся на OZ оси координат, поэтому имеет место следующее соотношение:                                                                        E_θm, H _{φ m}  ~ (1/ r) sinθ.    (9.91)

	Согласно (9.38) для модуля S плотности потока энергии или вектора  SПойнтинга его среднее значение < S > за Δ t интервал времени в   (рис.9.9) произвольной M точке волновой зоны электрического диполя с r радиусом - вектором, проведённым из центра электрического диполя в эту произвольную M точку, с учётом (9.89), (9.90) имеет следующий вид:

        

                                                     Δ t                                                                                                                                      < S> =   ∫{[ E_θm H _{φ m} cos²[ω t - (2π r/ λ)]/Δ t} dt ~ E_θm H _{φ m} ~ (1/ r²) sin²θ,     (9.92)                                                           0

где < S> называют интенсивностью электромагнитной волны при излучении диполем Герца.                 Зависимость < S (θ) > интенсивности электромагнитной волны от θ угла между направлением

r радиуса - вектора  (рис.9.11) и осью электрического диполя, находящейся на OZ оси координат,

называют диаграммой направленности. Сильнее всего излучает электрический диполь в направлениях, перпендикулярных к его оси, находящейся на OZ оси координат, т.е. при θ = π/2. В направлениях, совпадающих (рис.9.11) с осью электрического диполя, находящейся на OZ оси координат, т.е. при θ = 0 или π, электрический диполь не излучает.

 

Средняя мощность электромагнитной волны, излучаемой движущимся с                                  ускорением или колеблющимся точечным зарядом

 

       Вектор (9.39) S Пойнтинга, модуль S  которого, т.е. количествоэнергии, переносимое электромагнитной волной через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитной волны и равной единичной площади за единицу t времени и в данный момент этого t времени от движущегося (рис.9.12) по OZ оси   Q заряда, с учётом (9.83), (9.85) направления векторов   E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны в произвольной M точке пространства по направлению соответственно e_θ, e_φ ортов в сферической системе координат имеет следующий вид:

                   S = [ E, H] =[ E_θ e_θ, H _φ e_φ] = [ e_θ (1/4πε ε₀ r v ²) p_Q ′′ [ t - (r/ v )] sinθ, e_φ (1/4π r v ) p_Q ′′ [ t - (r/ v )] sinθ ] =                                                                                                                 = (p_Q ′′ sinθ/4π r)²(1/ε ε₀ v ³) e_r, (9.93)

где p_Q ′′ = | p_ZQ ′′| - модуль второй производной по t времени от вектора (9.74) p _Q дипольного электрического момента Q заряда, который равен модулю проекции | p_ZQ ′′| на OZ ось второй производной по t времени вектора p _Q дипольного электрического момента Q заряда, поскольку этот Q заряд двигается только по OZ оси; e_r - орт в сферической системе координат, направленный по r радиусу-вектору, направленного в произвольную   M точку пространства, в которой определяется поле электромагнитной волны, и совпадающий по направлению с вектором S Пойнтинга.

О рт (рис.9.12) e_r в сферической системе координат и орты e_θ, e_φ образуют правовинтовую систему, поэтому имеет место следующее выражение:                                                             e_r = [ e_θ, e_φ].      (9.94) Мощность (рис.9.12) P излучения, т.е. количествоэнергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени в данный момент t времени через всю сферическуюповерхность F площадью, с учётом направления вектора S Пойнтинга электромагнитной волны по (9.93)   e_r орту и перпендикулярности этого вектора S Пойнтинга элементарной dF площадки в сферической системе координат, равна (9.47) следующему потоку Ф вектора S Пойнтинга через эту сферическуюповерхность F площадью:                          P = Ф = ∫ S d F = ∫ e_r (p_Q ′′ sinθ _dF/4π r)²(1/ε ε₀ v ³) e_r r² sinθ _dF dθ dφ =

                                                        F     F

                                                      π         2π                             π                      2π

                              = [(p_Q ′′ )²/16π²ε ε₀ v ³] ∫ sin³θ _dF dθ ∫ dφ = - [(p_Q ′′ )²/16π²ε ε₀ v ³] ∫(1 - cos²θ _dF) dcosθ _dF ∫ dφ =

                                                     0          0                              0                      0

                                                                   π                π

                     = - [(p_Q ′′ )²/16π²ε ε₀ v ³][(cosθ _dF)| - (cos³θ _dF/3)|]2π = - [(p_Q ′′ )²/16π²ε ε₀ v ³][-2 - (-2/3)]2π =                                                                            0             0

                                                                        = - [(p_Q ′′ )²/8πε ε₀ v ³](- 4/3) = (p_Q ′′ )²/6πε ε₀ v ³,           (9.95)

 

 

где dF = r2 sinθ dF dθ dφ - площадь элементарной поверхности в сферической системе координат, имеющей (рис.9.12) θ dF угол полярного расстоянияи φdF угол долготы и находящейся от O начала координат на r расстоянии. Подставляем в (9.95) модуль (9.74) pQ ′′ = Qd2 z/ dt2 второй производной по t времени вектора pQ дипольного электрического момента Q заряда и получаем следующее выражение, связывающее мощность(рис.9.12) P излучения движущегося Q заряда в данный t времени с его a модулемвектора   a ускорения: P = Q2 a2/6πε ε0 v 3,         ( <== предыдущая лекция | следующая лекция ==> Лекция 11 Электромагнитные волны. Излучение | Концепция устойчивого развития. Поделиться с друзьями: Дата добавления: 2018-10-17; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 171 | Нарушение авторских прав Поиск на сайте: Лучшие изречения: Бутерброд по-студенчески - кусок черного хлеба, а на него кусок белого. © Неизвестно ==> читать все изречения... 1664 - | 1623 - © 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление Ген: 0.173 с.