Основные уравнения теории тонких оболочек

Оболочки весьма распространены в технике, и теоретические основы их расчета к настоящему времени разработаны достаточно глубоко. Предложенные теории, как правило, применимы к оболочкам из идеальных материалов: упругого, упругопластического, упруговязкого. Железобетон не является идеальным материалом, для него характерна нелинейная диаграмма деформирования, при появлении трещин в отдельных зонах оболочек происходит изменение жесткости и перераспределение усилий. Поэтому для установления условий применимости той или иной теории и ее корректировки применительно к данному типу тонкостенных пространственных покрытий проводят эксперименты на моделях или натурных конструкциях.

В качестве основы для расчета большинства применяемых в практике строительства оболочек покрытий принята техническая теория расчета тонких оболочек [19], согласно которой материал оболочки рассматривается как упругий, и считается справедливой гипотеза прямых нормалей: прямолинейный элемент, перпендикулярный срединной поверхности до деформации, остается прямым и перпендикулярным деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины; при этом нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, считаются пренебрежимо малыми по сравнению с прочими напряжениями.

Выделим из оболочки двумя сечениями, параллельными осям х и у, бесконечно малый элемент (рис. 13.3, а). При действии внешней нагрузки на оболочку в элементе возникнут нормальные N₁, N₂, сдвигающие S₁, S₂ силы (рис. 13.3, б), а также изгибающие М₁ и М₂, крутящие H₁ и H₂ моменты и поперечные силы Q₁ и Q₂ (рис. 13.3, в). В пологих тонких оболочках можно принять: S₁=—S₂=S; H₁=-H₂=H. Составляя уравнения равновесия всех действующих на элемент сил и учитывая геометрические и физические соотношения, а также выражая Q₁ и Q₂ через изгибающие и крутящие моменты, можно получить разрешающую систему уравнений [21]:

Рис. 13.3. Усилия, действующие в тонкой оболочке

где D — цилиндрическая жесткость, для железобетонной оболочки D=E_bh³/12; q=g+v; B=E_bh.

Из решения (13.2) могут быть найдены искомые внутренние усилия, по которым производится подбор сечений. Приняв в системе (13.2) r₁ = r₂ = ∞, N₁=N₂=S=0, можно получить уравнение изгиба плоской пластинки. Это свидетельствует о том, что нормальные и сдвигающие силы обусловлены именно кривизной оболочки.

Однако решение даже этой упрощенной системы (13.2) при заданных условиях на контуре представляет значительные математические трудности. Для получения более удобных для практических расчетов зависимостей анализируют влияние различных условий на усилия, возникающие в оболочке. В инженерной практике встречаются задачи, когда изгибающие и крутящие моменты в оболочке настолько малы, что ими можно пренебречь. Напряженное состояние в этом случае будет определяться главным образом нормальными и сдвигающими усилиями. Такое «безмоментное» состояние имеет место при соблюдении следующих основных условий: 1) оболочка должна быть тонкой, иметь плавно изменяющуюся поверхность (без переломов и скачкообразного изменения толщины); 2) нагрузка на оболочку должна изменяться плавно и быть непрерывной; 3) условия закрепления краев оболочки должны обеспечивать свободные их перемещения в направлении нормали к поверхности.

При выполнении этих условий в системе (13.2) можно принять D = 0 и M₁=M₂=H=0, тогда расчетные усилия безмоментного состояния оболочки определяют из уравнений:

Решения этой системы разработаны достаточно подробно для широкого класса задач. При невыполнении сформулированных выше условий необходимо исходить из общей системы (13.2).

На базе технической теории и результатов экспериментов разработаны практические (инженерные) методы расчета различных тонкостенных пространственных покрытий, изложенные в последующих параграфах. Однако техническая теория справедлива, если прогибы тонкой оболочки малы по сравнению с ее толщиной. Если же они оказываются соизмеримыми с толщиной оболочки, возникает так называемая геометрическая нелинейность, что может повлиять на значения усилий. Система разрешающих уравнений в этом случае усложняется.

В последние годы интенсивно развиваются более точные методы расчета тонкостенных пространственных покрытий, учитывающие геометрическую и физическую нелинейность, наличие трещин и перераспределение усилий, характер армирования, предварительное напряжение и т. п. В их основе лежат численные методы (конечного элемента, конечных разностей), которые реализуются на ЭВМ. Вместе с тем методы, базирующиеся на технической теории, не утрачивают своего значения. Они широко применяются для предварительного подбора сечений элементов оболочек и их армирования, при вариантном проектировании, а также используются при анализе решений, получаемых с помощью ЭВМ.

Для определения полной несущей способности оболочек при действии распределенных и сосредоточенных нагрузок используется метод предельного равновесия (см. гл. 9).