Нормальное или Гауссово распределение

На рис. 3 а в виде диаграммы показано распределение результатов n измерений некоторой физической величины x относительно среднего значения . Ось абцисс разбита на равные интервалы шириной d x. Высота каждого столбика диаграммы показывает количество N (x) близких результатов измерений, попадающих в интервал d x с центром в точке x. Пунктирная кривая (которая здесь не является симметричной) вычерчена, чтобы показать зависимость числа отсчетов N (x) от x при относительно небольшом числе измерений.

Рис. 3.

Если число измерений n становится очень большим, то результаты измерений стремятся к симметричному распределению около среднего значения (рис. 3 б). Как показывается в теории вероятности, в идеальном случае такая кривая описывается аналитическим выражением

,                        (4)

где n - очень большое число измерений,  - среднее значение, а s - стандартное отклонение, определяемое по формуле (2) при условии n ® ¥. Величина s² называется дисперсией. Уравнение (4) представляет собой распределение Гаусса или нормальное распределение.

Для большого числа измерений n распределение Гаусса описывает теоретическое распределение измеренных значений x относительно среднего значения . Если измерения выполняются с высокой точностью, то s будет малым, и нормальное, или Гауссово, распределение будет иметь острый пик при x =  (рис. 4).

Рис. 4.

Разделив обе части уравнения (4) на n и определив N (x)/ n как Р (x), имеем:

.                         (5)

Выражение (5) имеет смысл плотности вероятности того, что в результате измерения мы получим значение х. Таким образом, вероятность того, что измеренное значение x будет лежать в некотором интервале x ₁ < x < x ₂, определяется площадью под соответствующим участком кривой:

.

Заметим, что наиболее вероятным значением, которое можно ожидать в результате измерения, является среднее значение. Следует также отметить, что полная площадь под кривой, представляющей функцию P (x), всегда равна единице:

.

Особенностью распределения Гаусса является то, что 68% всех результатов измерений попадают в интервал от  до , 95% всех результатов измерений попадают в интервал от  до , а 99,7% всех результатов измерений попадают в интервал от  до . Другими словами, с вероятностью 0,68 истинное значение величины x лежит в интервале , с вероятностью 0,95 – в интервале , и т.д.

Следует иметь в виду, что распределение Гаусса не является единственно возможным. Могут существовать и другие виды распределений, например, распределение Пуассона, экспоненциальное распределение, c²-распределение и т.д. Тем не менее, нормальное распределение встречается достаточно часто, причём все остальные распределения в пределе (при n ® ¥) переходят в распределение Гаусса.

На практике, однако, число измерений обычно сравнительно невелико. В этом случае для повышения достоверности результатов измерений следует при оценке погрешности пользоваться модифицированными формулами. Так, абсолютная погрешность D x измеряемой величины x при относительно малом (скажем, менее 10) количестве измерений определяется как:

,                        (6)

где t _{a, n} – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и от величины доверительной вероятности a. Значения коэффициентов t _{a, n} для некоторых различных значений n и a приведены в табл. 1.

В соответствии с действующими государственными стандартами рекомендуется при оценке погрешностей пользоваться доверительной вероятностью a = 0,95.

       Таблица 1.

n	a	0,90	0,95	0,98
2		6,31	12,71	31,82
3		2,92	4,30	6,96
4		2,35	3,18	4,54
5		2,13	2,78	3,75
6		2,02	2,57	3,36
7		1,94	2,45	3,14
8		1,90	2,36	3,00
9		1,86	2,31	2,90
10		1,83	2,26	2,82

Таким образом, окончательный результат измерений запишется в виде:

, (a),                                    (7)

где D x определяется из выражения (6). Запись (7) означает, что истинное значение величины x с вероятностью a находится в интервале значений от  до .