Методика вероятностного расчета сопряжений.

В задачах этого типа обычно требуется:

- найти вероятность получения в переходном сопряжении зазора (натяга);

- найти величину наибольшего (наименьшего) зазора или натяга в сопряжении.

Случайной величиной (СВ) в том и другом случаях является величина зазора (натяга) в сопряжении. Эта СВ является суммой размеров отверстия и вала, считающихся нормально распределенными СВ.

Прежде всего, при решении сформулированных выше задач необходимо определить числовые характеристики нормального закона, то есть математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение σ.

Математическим ожиданием m в рассматриваемом случае является среднее значение СВ:

,                                (6.27)                                         

где S_нб, S_нм – наибольшее и наименьшее значения зазора.

Величина среднего квадратического отклонения нашей СВ – зазора - определяется на основании теоремы о дисперсии суммы случайных величин (см. п. 6.3.):

,                        (6.28)

где σ_D, σ_d - средние квадратические отклонения размеров отверстия и вала соответственно.

Каждая из величин σ_D, σ_d, согласно правилу «трех сигма» составляет шестую часть ширины поля допуска соответствующего размера, то есть определяется по формуле

σ_D,d = T_D,d / 6.                                    (6.29)

                                  

Тогда

.             (6.30)                       

После нахождения числовых характеристик m и σ для расчета вероятности P(S₁ < S < S₂) -? необходимо перейти к нормированным безразмерным пределам

;                                          (6.31)

и далее воспользоваться таблицами функции Лапласа.

Изложенная методика далее иллюстрируется примером.

Требуется рассчитать вероятность браковки годной детали с отверстием Ø20H7 при контроле проходным калибром-пробкой, размер которого также находится в пределах поля допуска. Схема полей допусков размеров контролируемого отверстия и вала проходного калибра приведена ниже.

Рис. 6.7. Схема полей допусков к задаче о вероятности браковки годной детали при контроле проходным калибром

Поставленная выше задача формулируется так: определить вероятность получения отрицательного зазора в рассматриваемом соединении; то есть рассчитать P(S<0) -?

Для решения задачи необходимо найти прежде всего наибольшее и наименьшее значения зазора.

Согласно приведенной на рис. 6.7 схеме полей допусков

S_нб = +24 мкм, S_нм = - 5 мкм.

Средняя величина зазора получается равной. Здесь это – и математическое ожидание m_S.

Среднее квадратическое отклонение находится по формуле (6.30) и получается равным

 _мкм

Нормированные безразмерные пределы, соответствующие заданным границам интервала СВ, рассчитываются по формулам (6.31), где S₁ = -?, S₂ = 0:

z₁ = -?; z₂ = - 2,53.

Искомая вероятность

P(S<0) = P(z >< - 2,53) = Ф(- 2,53)- Ф(-?) = - 0,4943 + 0,5000? 0,006.

Таким образом, в среднем шесть из тысячи годных деталей при контроле их калибром будут забракованы.

В решении задачи нахождения наибольшего вероятного зазора также необходимо сначала найти числовые характеристики m и σ, после чего следует воспользоваться формулой

.

 

Литература

 

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. – 576 с.

2. Белкин В.М. Допуски и посадки (Основные нормы взаимозаменяемости). – М.: Машиностроение, 1992.- 528 с.

3. Дунин-Барковский И.В. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения. – М.: Издательство стандартов, 1987. - 352 с.